Aprende cómo las matrices de 2x2 actúan como transformaciones del plano.

Introducción

Si pensamos en una matriz como una transformación del espacio, tendremos una mejor comprensión de las operaciones matriciales. Este punto de vista nos ayudará a entender la forma en que se definen operaciones matriciales como la multiplicación, y nos dará una buena excusa para dibujar bonitas figuras. Este material se acerca al álgebra lineal (a menudo un tema universitario).

La multiplicación como una transformación

La idea de una "transformación" te puede parecer al principio más complicada de lo que en realidad es, así que antes de sumergirnos en cómo las matrices de 2, times, 2 transforman el espacio bidimensional, o cómo las matrices de 3, times, 3 transforman el espacio tridimensional, revisemos cómo es que simples números (alias matrices de 1, times, 1) pueden ser pensados como transformaciones del espacio unidimensional.
El espacio "unidimensional" es simplemente la recta numérica.
Recta numérica
¿Qué pasa cuando multiplicas cada número en la recta numérica por un valor particular, como el número 2? Una manera de visualizarlo es la siguiente:
Mantenemos una copia de la recta original como referencia, y deslizamos cada número en la línea 2 veces su valor.
Del mismo modo, multiplicar por start fraction, 1, divided by, 2, end fraction podría visualizarse así:
Y para que los números negativos no se sientan abandonados, aquí está la multiplicación por minus, 3:
Para aquellos de ustedes aficionados a la terminología elegante, estas acciones animadas pueden ser descritas como "transformaciones lineales del espacio unidimensional". La palabra "transformación" significa lo mismo que "función": algo que toma un número y devuelve otro, como f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x. Sin embargo, mientras que típicamente visualizamos las funciones con sus gráficas, usamos la palabra "transformación" para indicar que debemos visualizar algún objeto que se mueve, estira, aplasta, etcétera. Así que la función f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x vista como una transformación nos da el video de "multiplicación por 2" mostrado arriba, donde el punto 1 de la recta numérica se mueve a donde empieza el punto 2, el punto 2 se mueve a donde empieza el punto 4, y así sucesivamente.
La definición técnica de una transformación "lineal" es una función f, left parenthesis, x, right parenthesis, que satisface las dos propiedades
  • f, left parenthesis, x, plus, y, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, y, right parenthesis
  • f, left parenthesis, c, x, right parenthesis, equals, c, f, left parenthesis, x, right parenthesis
Aquí, en una dimensión, x y y son números, en comparación con, digamos, vectores. En el caso especial de una dimensión, las únicas funciones que satisfacen estas propiedades se ven como multiplicaciones por una constante, es decir, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, k, x para alguna constante k.
¿Por qué? Sustituye x, equals, 1 en la segunda propiedad, y observa que f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, c, f, left parenthesis, 1, right parenthesis. Si consideramos a c como una variable y a f, left parenthesis, 1, right parenthesis como una constante, la función completa es tan solo la multiplicación por f, left parenthesis, 1, right parenthesis. Por ejemplo, si f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 8, entonces f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x. De hecho, ni siquiera necesitamos conocer la primera propiedad, pues sabiendo que f se ve como f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, k, x, la relación f, left parenthesis, x, plus, y, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, y, right parenthesis se sigue de la ley distributiva: k, left parenthesis, x, plus, y, right parenthesis, equals, k, x, plus, k, y.
Esta puede parecerte como una manera terriblemente complicada de describir la multiplicación, especialmente porque la primera propiedad es inútil. Sin embargo, la importancia de la linealidad aparece cuando f es una función vectorial. El hecho de que en una dimensión f está completamente determinada por dónde lleva al número 1 tiene un análogo mucho más interesante en dimensiones más altas.
Antes de movernos al espacio bidimensional, hay un simple pero importante hecho que debemos tener en mente. Supón que observas una de estas transformaciones, sabiendo que es la multiplicación por algún número, pero no conoces su valor, como en este ejemplo:
Puedes determinar fácilmente el número por el cual se multiplica la recta si start color goldE, s, i, g, u, e, s, space, e, l, space, 1, end color goldE. En este caso, el 1 termina donde estaba el minus, 3, así que puedes decir que la animación representa multiplicación por minus, 3.
Pensar los números como transformaciones nos da una interpretación alternativa de la multiplicación.
Si aplicamos dos transformaciones al hilo, por ejemplo multiplicar por 2 y luego por 3,
la acción total es la misma que una sola transformación, en este caso la multiplicación por 6:
Esto nos da un entendimiento intrincado de la multiplicación, que será sorprendentemente útil como analogía de la multiplicación de matrices.
Persona A: ¿Cuánto es 4, times, 5?
Persona B: Bueno, considera la única transformación lineal que lleva el 1 al 4, así como la única transformación que lleva el 1 al 5, entonces aplica cada una de estas transformaciones, una después de la otra, y 4, times, 5 será el número donde 1 termina.
Persona A: ...esa es la cosa más estúpida que he escuchado.

¿Cómo se ven las transformaciones lineales en dos dimensiones?

Una transformación lineal en dos dimensiones es un caso especial de función que toma un vector bidimensional [xy]\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] y devuelve otro. Como antes, nuestro uso de la palabra "transformación" indica que debemos pensar en algo que se estira o aplasta, que en este caso es el espacio bidimensional. Aquí podemos ver algunos ejemplos:
Para nuestros propósitos, lo que hace lineal a una transformación es el siguiente par de reglas geométricas: el origen debe permanecer fijo, y todas las lineas rectas deben mantenerse rectas. Las transformaciones vistas hasta ahora son lineales, pero las siguientes no:
Como en una dimensión, lo que hace a una transformación "lineal" es que satisface las dos propiedades
f, left parenthesis, v, plus, w, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, v, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, w, right parenthesis
f, left parenthesis, c, v, right parenthesis, equals, c, f, left parenthesis, v, right parenthesis
donde v y w ahora son vectores en vez de números. Mientras que en una dimensión la primera propiedad era inútil, ahora tiene un papel más importante, pues de alguna manera determina cómo las dos dimensiones interactúan durante una transformación.

Seguir vectores específicos durante una transformación

Imagina que estás viendo una transformación particular, como esta:
¿Cómo podrías describírsela a un amigo que no está viendo la misma animación? Ya no podrías describirla usando un solo número como hacíamos al seguir al número 1 en el caso unidimensional. Para ayudarnos a mantener registro de todo, pongamos una flecha verde sobre el vector [10]\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}, una flecha roja sobre el vector [01]\redD{\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}, y mantengamos una copia de la malla fija en el fondo.
Ahora es mucho más fácil ver dónde terminan las cosas. Por ejemplo, observa la animación otra vez, y concéntrate en el vector [11]\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right]. Podemos seguirlo más fácilmente y darnos cuenta de que termina en el vector [42]\left[\begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right].
Una forma de representar este hecho es con la siguiente notación:
[11][42]\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right]
Problema de práctica: ¿dónde termina el punto [10]\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array}\right] después de que el plano ha sufrido la transformación mostrada en el video de arriba?
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Problema de práctica: aún cuando se ha salido de la pantalla, ¿puedes predecir dónde termina el punto [30]\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array}\right]?
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Observa que un vector como [20]\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right], que empieza siendo 2 veces la flecha verde, continúa siendo 2 veces la flecha verde después de la transformación. Dado que la flecha verde termina en [12]\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]}, deducimos que
[20]2[12]=[24]\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right] \rightarrow 2 \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -4 \end{array} \right].
Y, en general,
[x0]=x[10]x[12]=[x2x]\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} x \\ 0 \end{array} \right] = x \cdot \greenD{\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right]} &\rightarrow x \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} x \\ -2x \end{array} \right] \\ \end{aligned}
Del mismo modo, el destino de todo el eje y está determinado por el lugar en el que termina la flecha roja [01]\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]} que, para esta transformación, es [30]\redD{\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right]}.
Problema de práctica: después de que el plano ha sufrido la transformación ilustrada arriba, ¿dónde termina el punto [0y]\left[ \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array}\right]?
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De hecho, ya que sabemos dónde terminan [10]\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] y [01]\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right], podemos deducir a dónde debe ir cada punto en el plano. Por ejemplo, sigamos al punto [12]\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array} \right] en nuestra animación:
Empieza en minus, 1 veces la flecha verde más 2 veces la flecha roja, pero también termina en minus, 1 veces la flecha verde más 2 veces la flecha roja, que después de la transformación significa
1[12]+2[30]=[52] -1 \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]} + 2 \cdot \redD{\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right]
Esta capacidad de separar un vector en términos de sus componentes antes y después de la transformación es la que hace que las transformaciones lineales sean tan especiales.
Problema de práctica: usa la misma táctica para calcular dónde termina el vector [11]\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right].
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Representar transformaciones lineales en dos dimensiones con matrices

En general, dado que cada vector [xy]\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] puede ser separado como
[xy]=x[10]+y[01] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = x\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]} + y\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}
Si la flecha verde [10]\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]} termina en algún vector [ac]\greenD{\left[ \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right]}, y la flecha roja [01]\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]} termina en algún vector [bd]\redD{\left[ \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right]}, entonces el vector [xy]\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] debe terminar en
x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy] x \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right]} + y \cdot \redD{\left[ \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} \greenD{a}x + \redD{b}y \\ \greenD{c}x + \redD{d}y \end{array} \right]
Una manera muy linda de describir todo esto es representar la transformación lineal dada con la matriz
A=[abcd]\textbf{A} = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]
donde la primera columna nos dice en qué lugar termina [10]\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}, y la segunda columna nos dice dónde termina [01]\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}. Ahora podemos describir el destino de cualquier vector v=[xy]\textbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] de forma muy compacta como el producto matriz-vector
Av=[ax+bycx+dy]\textbf{Av} = \left[\begin{array}{c} ax + by \\ cx + dy \end{array}\right]
De hecho, de aquí surge la definición del producto de una matriz con un vector.
Así que de la misma manera en que las transformaciones unidimensionales pueden ser descritas como multiplicaciones por algún número, es decir, aquel número en el que termina 1, las transformaciones lineales en dos dimensiones siempre pueden ser descritas por una matriz de 2, times, 2, es decir, aquella en la que la primera columna indica a donde va a parar [10]\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] y en la que la segunda columna indica el destino de [01]\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right].