Probabilidad con combinaciones

hola bienvenidos en este vídeo lo que quiero hacer es tratar de dar otro ejemplo en el que usemos nociones de combinatoria para resolver un problema de probabilidad y lo que me voy a preguntar es voy a volver a utilizar una moneda justa una moneda que es igualmente probable que caiga águila que caiga sol y me voy a preguntar por todo por la probabilidad de obtener exactamente exactamente mente tres águilas en 8 volados en 8 volados eso es lo que voy a querer encontrar cuál es esa probabilidad y bien antes que nada quiero que recuerden una de las primeras definiciones que usamos para probabilidad que nos decía que la probabilidad de algo es igual a el número de casos favorables un número de resultados favorables de resultados estados favorables favorables y que era un resultado favorable pues era simplemente algo que satisfacía nuestra condición en este caso un resultado favorable sería obtener exactamente tres águilas en ocho volados y eso lo voy a dividir entre en número de resultados posibles de resultados todos posibles es decir me echó ocho volados y cuento cuáles son todas absolutamente todas las cosas que me pueden pasar ya sea que tengan tres águilas o no y recuerden son exactamente tres águilas no quiero más que tres águilas bien si me fijo primero en esto en el número de resultados posibles cuánto es ese número pues me voy a echar ocho volados así que en el primer volado me puede salir águila o me puede salir sol ese es el primer volado en el segundo volado me puede salir águila como puede salir sol igual en el tercero en el cuarto quinto sexto séptimo y octavo así que tengo estos ocho volados cada uno tiene dos posibilidades por lo tanto el número de resultados posibles es 2 a la 8 si me fui un poco rápido para ustedes les recomiendo checar los vídeos que hay en el tema así que bien el número de resultados posibles es 2 a la 8 y que hay del número de resultados favorables vamos a ver eso ahora ok para encontrar el número de resultados favorables quiero que pensemos en lo siguiente vamos hacer una pequeña tabla vamos a poner aquí los volados los voy a enumerar podría ponerles en realidad cualquier nombre incluso incluso les podría poner hubo paco y luis y otros cinco nombres pero lo más fácil es simplemente llamarlos bolado uno volado dos volado tres volado cuatro volado cinco volado seis y volados siete ahora bien si quiero exactamente tres águilas en estos ocho volados entonces esencialmente lo que voy a hacer si fuera digamos el dios de la probabilidad es escoger tres de estos a me faltó 13 de estos 8 volados de manera que escojo cuáles de ellos van a ser águilas y todos los demás van a ser soles por ejemplo podría decir vas a obtener un águila en el segundo volado y un águila en el quinto y un águila en el séptimo y todos los demás van a ser soles y ese es un evento posible pero también podría decir vas a obtener águila en el primero águila en el segundo y águila en él cualesquiera de estos dos si todos los demás fueron soles satisfacen mis condiciones así que esencialmente lo que quiero hacer es de estos ocho volados elegir exactamente tres y sólo esos tres van a ser águilas así que si quiero tomar ocho elementos y escoger tres lo que me dice eso es que debo considerar el coeficiente binomial y les recuerdo les recuerdo la fórmula en general siempre que vean este símbolo en acá es el número de combinaciones de n elementos tomados de canca y la fórmula nos dice que esto vale n factorial entre k factorial por n - k factorial si no saben de dónde sale esta fórmula y tienen averiguarlo les recomiendo ver la lista de reproducción de combinatoria pero bueno en este caso en este caso de aquí cuánto vale esta fórmula cuanto vale 8 en 3 pues 8 en 3 es lo mismo que 8 factorial entre 3 factorial por 8 menos 3 factorial es decir 5 factoriales y cuánto es esto pues veamos esto es 8 por 7 por 6 por 5 por 4 por 3 por 2 por 1 dividido entre viviendo / voy a dejar este 3 factorial por aquí ahora y multiplicar por 5 factorial que 5 por 4 por 3 por 2 por 1 ahora bien este caso de aquí 5 x 4 x 3 x 2 x 1 cancela este cachaco los dos son 5 x 4 portales por 2 por 1 así que me queda es esencialmente esto de aquí esto de aquí ahora bien que representa esto de aquí pues si se fijan 8 por 7 por 6 es lo siguiente si yo elijo el primer lugar donde va a aparecer un águila entonces tengo 8 lugares entre los cuales podría elegir y elijo uno ya ocupe ese lugar y me quedan 7 lugares entre los cuales puedo elegir poner la segunda águila y ya que elegí ese me quedan 6 lugares para poner la tercera águila y este 3 factorial lo que está haciendo es evitando que cuente doble e incluso triple en este caso porque ya que puse un águila aquí da lo mismo si es la primera la segunda la tercera las tres son águilas así que esta es la función de dividir entre este 3 factorial quitar esas repeticiones de otro modo sólo tendrían las permutaciones este 3 factorial quita las repeticiones y bien cuánto es esto cuánto es 8 por 7 por 6 pues esto es 8 por 7 por 6 entre 3 factorial que es 3 por 2 por 1 que es un 6 al cancelar esto con esto y obtener simplemente 8 por 7 que es 56 o lo que es lo mismo esto es 2 al cubo por 7 ok y ese es el número este es el número de resultados favorables es el número de resultados en los que obtengo exactamente 3 águilas en 8 volados de modo que la probabilidad vamos a volver ya a la probabilidad original la probabilidad y obtener exactamente tres águilas en ocho volados en 8 volados es de cuánto pues es de el número de eventos favorables que es 2 al cubo por 7 2 al cubo por 7 dividido entre el número de resultados posibles que vimos que era 2 a la 8 entonces entre 2 a la 8 y esto cuanto después es 7 entre 2 a las 5 o lo que es lo mismo 7 entre 32 bien entonces 7 entre 32 cuánto es eso 0.21 87 5 ok entonces este número de aquí es lo mismo que 0.21 87 5 o si lo quisieran escribir como un porcentaje esto es el 21 punto voy a redondear 9 por ciento de los casos dicho de otro modo la probabilidad de obtener exactamente tres águilas en ocho colados es poco mejor que una en cinco pero bueno lo más importante de este problema y qué es lo que espero que se lleven con ustedes es que podemos utilizar métodos combinatorios para atacar problemas de probabilidad este mismo método lo podrían utilizar y de hecho los invito a hacerlo para resolver problemas como cuál es la probabilidad de obtener cinco águilas en 14 bola dos o tres águilas en siete volados cualquier problema de ese estilo se puede resolver con este método nos vemos en el próximo vídeo