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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 3

Lección 5: Módulo (valor absoluto) y argumento (ángulo) de números complejos

Repaso de valor absoluto y ángulo de números complejos

Repasa tu conocimiento de las características de números complejos: valor absoluto y ángulo. Convierte entre ellos y la representación rectangular de un número.


Valor absoluto de $a + b i$ ‍		$∣ z ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
Ángulo de $a + b i$ ‍		$θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
Forma rectangular a partir del valor absoluto $r$ ‍ y el ángulo $θ$ ‍		$r \cos (θ) + r \sin (θ) \cdot i$ ‍

¿Cuáles son el valor absoluto y el ángulo de números complejos?

Estamos acostumbrados a escribir números complejos en su forma rectangular, que consta de la parte

real

y la

imaginaria

. Por ejemplo,

3 + 4 i

Podemos graficar números en el plano complejo de acuerdo con sus partes:

Del punto de vista gráfico, hay otra manera única para describir números complejos usando su

valor absoluto

y su

ángulo

valor absoluto

, o

módulo

, da la distancia del número al origen en el plano complejo, mientras que su

ángulo

, o

argumento

, es el ángulo que forma el número con el eje real.

El valor absoluto de un número complejo

z

se escribe en la misma forma que el valor absoluto de un número real,

| z |

¿Quieres saber más sobre el valor absoluto y el ángulo de números complejos? Revisa este video.

Conjunto de práctica 1: encontrar el valor absoluto

Para encontrar el valor absoluto de un número complejo, sacamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes (esto es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras):

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Por ejemplo, el valor absoluto de

3 + 4 i

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Problema 1.1

| 3 + 7 i | =

Da una respuesta exacta.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 2: encontrar el ángulo

Para obtener el ángulo de un número complejo, tomamos la tangente inversa de la razón de sus partes:

θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

Esto resulta de usar trigonometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje real.

Ejemplo 1: cuadrante $I$ ‍

Vamos a encontrar el ángulo de

3 + 4 i

\tan^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Ejemplo 2: cuadrante $II$ ‍

Calculemos el ángulo de

- 3 + 4 i

. Primero observa que

- 3 + 4 i

está en el cuadrante

II

\tan^{- 1} (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

- 53^{\circ}

está en el cuadrante

IV

, no en el

II

. Debemos sumar

180^{\circ}

para obtener el ángulo opuesto:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Problema 2.1

z = 1 + 4 i

θ =

^{\circ}

De ser necesario, redondea tu respuesta a la décima más cercana. Expresa $θ$ ‍ entre $- 180^{\circ}$ ‍ y $180^{\circ}$ ‍.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 3: forma rectangular del valor absoluto y el ángulo

Para encontrar las partes real e imaginaria de un número complejo a partir de su valor absoluto y su ángulo, multiplicamos el valor absoluto del seno o coseno del ángulo:

\overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \cdot i

Esto resulta de usar trigonometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje real.

Por ejemplo, esta es la forma rectangular de un número complejo cuyo valor absoluto es

2

y su ángulo es

30^{\circ}

2 \cos (30^{\circ}) + 2 \sin (30^{\circ}) i = \sqrt{3} + 1 i

Problema 3.1

| z_{1} | = 3

and

θ_{1} = 20^{\circ}

z_{1} =

i

Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.

¿Quieres probar resolver problemas similares? Revisa este ejercicio.

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