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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 3
Lección 5: Módulo (valor absoluto) y argumento (ángulo) de números complejos- El valor absoluto de los números complejos
- Números complejos con el mismo módulo (valor absoluto)
- Módulo (valor absoluto) o números complejos
- El valor absoluto y el ángulo de los números complejos
- El ángulo de los números complejos
- De los valores absolutos y los ángulos a los número complejo
- Repaso de valor absoluto y ángulo de números complejos
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Repaso de valor absoluto y ángulo de números complejos
Repasa tu conocimiento de las características de números complejos: valor absoluto y ángulo. Convierte entre ellos y la representación rectangular de un número.
| Valor absoluto de a, plus, b, i | \mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root | |
| Ángulo de a, plus, b, i | theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis | |
| Forma rectangular a partir del valor absoluto r y el ángulo theta | r, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, dot, i |
¿Cuáles son el valor absoluto y el ángulo de números complejos?
Estamos acostumbrados a escribir números complejos en su forma rectangular, que consta de la parte start color #11accd, start text, r, e, a, l, end text, end color #11accd y la start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, i, a, end text, end color #1fab54. Por ejemplo, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.
Podemos graficar números en el plano complejo de acuerdo con sus partes:
Del punto de vista gráfico, hay otra manera única para describir números complejos usando su start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 y su start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff:
El start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10, o start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10, da la distancia del número al origen en el plano complejo, mientras que su start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff, o start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #aa87ff, es el ángulo que forma el número con el eje real.
El valor absoluto de un número complejo z se escribe en la misma forma que el valor absoluto de un número real, vertical bar, z, vertical bar.
¿Quieres saber más sobre el valor absoluto y el ángulo de números complejos? Revisa este video.
Conjunto de práctica 1: encontrar el valor absoluto
Para encontrar el valor absoluto de un número complejo, sacamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes (esto es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras):
Por ejemplo, el valor absoluto de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i es square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.
Conjunto de práctica 2: encontrar el ángulo
Para obtener el ángulo de un número complejo, tomamos la tangente inversa de la razón de sus partes:
Esto resulta de usar trigonometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje real.
Ejemplo 1: cuadrante start text, I, end text
Vamos a encontrar el ángulo de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i:
Ejemplo 2: cuadrante start text, I, I, end text
Calculemos el ángulo de start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i. Primero observa que start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i está en el cuadrante start text, I, I, end text.
minus, 53, degrees está en el cuadrante start text, I, V, end text, no en el start text, I, I, end text. Debemos sumar 180, degrees para obtener el ángulo opuesto:
¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.
Conjunto de práctica 3: forma rectangular del valor absoluto y el ángulo
Para encontrar las partes real e imaginaria de un número complejo a partir de su valor absoluto y su ángulo, multiplicamos el valor absoluto del seno o coseno del ángulo:
Esto resulta de usar trigonometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje real.
Por ejemplo, esta es la forma rectangular de un número complejo cuyo valor absoluto es start color #e07d10, 2, end color #e07d10 y su ángulo es start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff:
¿Quieres probar resolver problemas similares? Revisa este ejercicio.
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