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Repaso de valor absoluto y ángulo de números complejos

Repasa tu conocimiento de las características de números complejos: valor absoluto y ángulo. Convierte entre ellos y la representación rectangular de un número.
Valor absoluto de a, plus, b, i\mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Ángulo de a, plus, b, itheta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Forma rectangular a partir del valor absoluto r y el ángulo thetar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, dot, i

¿Cuáles son el valor absoluto y el ángulo de números complejos?

Estamos acostumbrados a escribir números complejos en su forma rectangular, que consta de la parte start color #11accd, start text, r, e, a, l, end text, end color #11accd y la start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, i, a, end text, end color #1fab54. Por ejemplo, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.
Podemos graficar números en el plano complejo de acuerdo con sus partes:
Del punto de vista gráfico, hay otra manera única para describir números complejos usando su start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 y su start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff:
El start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10, o start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10, da la distancia del número al origen en el plano complejo, mientras que su start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff, o start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #aa87ff, es el ángulo que forma el número con el eje real.
El valor absoluto de un número complejo z se escribe en la misma forma que el valor absoluto de un número real, vertical bar, z, vertical bar.
¿Quieres saber más sobre el valor absoluto y el ángulo de números complejos? Revisa este video.

Conjunto de práctica 1: encontrar el valor absoluto

Para encontrar el valor absoluto de un número complejo, sacamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes (esto es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras):
vertical bar, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, end square root
Por ejemplo, el valor absoluto de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i es square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Problema 1.1
  • Corriente
vertical bar, 3, plus, 7, i, vertical bar, equals

Da una respuesta exacta.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 2: encontrar el ángulo

Para obtener el ángulo de un número complejo, tomamos la tangente inversa de la razón de sus partes:
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, b, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, right parenthesis
Esto resulta de usar trigonometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje real.

Ejemplo 1: cuadrante start text, I, end text

Vamos a encontrar el ángulo de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i:
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Ejemplo 2: cuadrante start text, I, I, end text

Calculemos el ángulo de start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i. Primero observa que start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i está en el cuadrante start text, I, I, end text.
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
minus, 53, degrees está en el cuadrante start text, I, V, end text, no en el start text, I, I, end text. Debemos sumar 180, degrees para obtener el ángulo opuesto:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Problema 2.1
  • Corriente
z, equals, 1, plus, 4, i
theta, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
De ser necesario, redondea tu respuesta a la décima más cercana. Expresa theta entre minus, 180, degrees y 180, degrees.

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 3: forma rectangular del valor absoluto y el ángulo

Para encontrar las partes real e imaginaria de un número complejo a partir de su valor absoluto y su ángulo, multiplicamos el valor absoluto del seno o coseno del ángulo:
start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #11accd, a, end color #11accd, end superscript, plus, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #1fab54, b, end color #1fab54, end superscript, dot, i
Esto resulta de usar trigonometría en el triángulo rectángulo formado por el vector y el eje real.
Por ejemplo, esta es la forma rectangular de un número complejo cuyo valor absoluto es start color #e07d10, 2, end color #e07d10 y su ángulo es start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff:
start color #e07d10, 2, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, i, equals, start color #11accd, square root of, 3, end square root, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, i
Problema 3.1
  • Corriente
vertical bar, z, start subscript, 1, end subscript, vertical bar, equals, 3 and theta, start subscript, 1, end subscript, equals, 20, degrees
z, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
+
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
i
Redondea tu respuesta a la milésima más cercana.

¿Quieres probar resolver problemas similares? Revisa este ejercicio.

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