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Transcripción del video

en este vídeo es que todos nos sintamos cómodos con la forma de visualizar y de contemplar los números complejos así que vamos a empezar quizás ya estés familiarizado con la idea de un número complejo vamos a llamar a este número o z que es la variable que vamos a intentar usar para denotar a números complejos y digamos que se está es a más b y por supuesto z es complejo porque tiene una parte real esta es la parte real y tiene una parte imaginaria así que usando esta anotación en ocasiones no puede encontrárselo en los libros como que la parte real de z es que es una función que si tú le pones un número complejo que arroja un valor real que en este caso de su parte real que ya denotamos con morado por otro lado tenemos la parte imaginaria de zeta qué es lo que nos va a arrojar aparte a partir de un número complejo nos va a arrojar otro número real que es el número real que define su parte imaginaria en este caso sería la ley el número ve ahora eso nos dice que iu está escalado digamos lo podemos representar por una multiplicación com ve en otras palabras lo que quiero es que veamos que podemos ver este número complejo en el plano cartesiano déjeme pintarlos los ejes perfect eso es ahora lo que tenemos en el eje x en vez del eje x vamos a llamarle la parte real y él en vez de lg llevamos a tener la parte imaginaria o el eje imaginario así que zeta si lo escribimos como a más de y no podemos representar como el punto que tiene a en su parte real y b en su parte imaginaria es decir que ocupa un punto en el plano cartesiano que será el punto a cómo ve este punto a como b expte y aquí lo marcamos es la coordenada a cómo ve muy bien entonces lo representamos como una flecha como un vector en el plano y es la representación gráfica de un número complejo z que tiene parte real a y parte imaginaria ve ahora cuando lo dibujamos de esta forma podríamos también representarlo con coordenadas x polares quizás ya esté familiarizado también con esto pero lo que lo que implica representarlo en coordenadas polares es que este vector hace un ángulo aquí déjame ponerlo con amarillo tiene un ángulo fi genera con el eje real y tiene alguna distancia del origen al punto así que si tú das un ángulo y una distancia también podemos definir este número complejo de esa forma de hecho el ángulo es se le conoce como el argumento y air se le conoce como el módulo o la magnitud o el valor absoluto de este número complejo pensemos un poquito más en esto como calcular y amos r live y bueno r pues es la norma de este punto z1 o el valor absoluto la magnitud como se calcula bueno en realidad tenemos un triángulo rectángulo aquí así que tiene lados a y b y la base la base a esa altura es ve así que calculando eres simplemente usamos el teorema de pitágoras verdad eres era la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados es decir de a cuadrada más ve cuadrada muy bien eso sería el módulo ahora el argumento como como cómo calculamos en el argumento bueno pensamos un poquito en esto tenemos veía pensemos qué función trigonométricas maneja el la el cateto puesto y el cateto adyacente así que escribamos este diagrama mitad el soca tohá realmente nos quedamos con toda verdad es decir la tangente del ángulo relaciona el cateto puesto con el cateto gente como lo relaciona pues simplemente es cateto puesto que en este caso es b entre cateto adyacente que en este caso es a así que si queremos resolver quién es el argumento pues utilizamos la función arco tangente o la tangente inversa bebé entre a ahora pongamos el caso contrario que tengamos el argumento y el módulo y que eran que queremos representar este número como un punto en el plano cartesiano es decir tenemos reeve y cómo conseguimos sus coordenadas cartesianas porque hasta este momento teníamos veía y obteníamos a través de estas fórmulas el argumento y el módulo pero cómo le hacemos para ir en el sentido inverso bueno sí tenemos reeve y y queremos encontrar el lado adyacente que en este caso es ha dado un ángulo y la hipotenusa podemos tener que el coce no el coche lleno de este ángulo es igual al cateto adyacente entre hipotenusa es decir a sobre re a sobre r multipliquemos ambos lados por rr y finalmente tenemos que reconoce no dé fin es igual a muy bien haremos algo similar con b pero ahora en vez de tener el coche no vamos a utilizar el seno del ángulo que es cateto puesto que 'se ve sobre hipotenusa que es r multiplicando otra vez por rr ambos lados tenemos rc no definí igual a ve muy bien ahora como escribiríamos este número complejos y a y b e s tiene esta forma entonces eta sería igual a aa que en este caso es r coseno defi que es nuestra parte real más y veces la parte imaginaria que es rc no define así que escribimos rc no decir por y por y que es la unidad imaginaria ahora no sé a lo mejor te salta algo bastante interesante en este punto si ya has visto la fórmula de tyler vamos a factorizar r primero y nos queda r por josé no déficit y más y vamos a poner y ahora adelante por seno de fi defi muy bien ahora aquí insisto si ya has visto otros vídeos de las series de taylor y bueno otros otra serie de videos en la lista de cálculo pues en realidad lo que hemos visto desde estos resultados que además a mí me pone a temblar de lo emocionante que es la fórmula de hoy leer pues justamente ésta es esta cosa verdad esta misma cosa es lo que ya habíamos visto en las en los desarrollos en series de taylor de otras funciones lo que ya habíamos visto es que josé no de x y cenó dx lo que nos da en este caso es a la iv fi muy bien así que se taló podemos finalmente escribir como r por e a la iv fi correcto ahora hay varias hay dos formas de escribir este número complejo principalmente podríamos escribir lo de esta forma donde tienes la parte real y la parte imaginaria o expo escribirlo en su forma exponencial donde tenemos el módulo y el argumento en largo min el argumento perdón está en la función exponencial y que esta forma nos va a servir mucho para encontrar raíces posteriormente así que hagamos un ejemplo digamos que tuviera yo sé está escrito en coordenadas cartesianas set a 1 digamos no se acepta un no es igual a raíz de tres sobre dos más y más y vamos a dejarla sin más y así que cómo calculamos vamos a calcular su módulo y su y su argumento como lo haríamos entonces el módulo el módulo de no hacerlo así el módulo de z 1 será la raíz cuadrada del primero al cuadrado que es tres cuartos verdad raíz de tres al cuadrado es 3-2 al cuadrado es cuatro más uno más uno pero déjenme poner este uno como cuatro cuartos para poder agrupar así que nos queda tres cuartos más cuatro cuartos es raíz de siete cuartos que es la raíz de siete sobre la raíz de cuatro que es dos muy bien ahora vamos a encontrar cuál es el argumento así que dibujamos nuestro triangulito en nuestro diagrama de gm pintarlo incluso hasta con los ejes el diagrama se vería de esta forma o que ya estaría en el primer cuadrante pero no tengo que preocuparme mucho de eso déjenme dibujarlo de esta forma ok entonces tenemos en el eje x a 3 raíz de tres sobre dos vienen de gm cambiar esto un poco para que sea mucho más fácil la forma de calcular todo esto vamos a limpiar todo esto ok perfecta vamos a hacer un ejemplo mucho más sencillo así que en vez de sólo sumar y vamos a sumar un medio de y entonces eta uno va a ser raíz de tres sobre dos más un medio de y así que otra vez su módulo que va a ser la raíz cuadrada del primero al cuadrado que es tres cuartos más el segundo al cuadrado que es un cuarto verdad un cuarto es un medio al cuadrado ahora esto es la raíz cuadrada de tres cuartos más un cuarto que es uno finalmente es uno ahora vamos a visualizar el argumento tenemos nuestro eje imaginario nuestro eje imaginario y ahora trabajamos nuestro eje real este es mi hija real vamos a colocar este número complejo tiene norma 1 pero en su en su parte real me de raíz de tres entre dos que es un poco menos que una verdad y en su parte imaginaria mide un medio así que se hallan al 1 a candle un medio y este punto es el que representa esta flechita es la que representa al número complejo y tiene magnitud uno así que cómo le hacemos si tenemos aquí el ángulo fi nuestro tenía ángulo y esta altura será perdonó a raíz de tres obreros es un medio la altura muy bien ahora que lo que tenemos bueno hay muchas formas de hacer esto pero bueno podríamos simplemente fijarnos en la tangente en la tangente de un medio entre raíz de tres sobre dos verdad porque tan tangente de fi es un medio sobre la raíz de tres sobre dos como lo vimos anteriormente y utilizando las reglas que ya conocemos para la cndh la división de dos fracciones tenemos que fi es la tangente inversa o el arco tangente de esta fracción que es uno sobre la raíz de tres verdad el 12 cancela ahora también podríamos ver qué fi es el seno inverso de de quién cómo calculamos el seno de philippe mexes cateto puesto entre hipotenusa verdad y el cateto puesto es un medio la hipotenusa es un así que sería seno inverso de un medio ahora también puede reconocer que éste es un triángulo 30 60 90 es decir tiene ángulos 30 60 y además el rectángulo al final fi concluimos que es 30 grados ok podríamos incluso hacerlo con coseno en fin hay muchas formas pero lo que queremos finalizar es llevar afi en términos de radiantes y no de grados así que fi es igual a 30 grados que es lo mismo que pise sextos verdad y sexos en radiales son 30 grados ahora si queremos expresar set a uno de forma exponencial esto sería lo mismo a que pusiéramos uno que es la magnitud por e a lápiz sobre 6 x y verdad y sobre 6 es el argumento y hay que multiplicarlo por iu y con esto concluimos