El valor absoluto y el ángulo de los números complejos

se ve en este vídeo es que todos nos sintamos cómodos con la forma de visualizar y de contemplar los números complejos así que vamos a empezar quizás ya esté familiarizado con la idea de un número complejo vamos a llamar a este número z que es la variable que vamos a intentar usar para denotar a números complejos y digamos que z es a más b y por supuesto z es complejo porque tiene una parte real esta es la parte real y tiene una parte imaginaria así que usando esta anotación en ocasiones uno puede encontrárselo en los libros como que la parte real de zeta es que es una función que si tú le pones un número complejo te arroja un valor real que en este caso es su parte real que ya denotamos con morado por otro lado tenemos la parte imaginaria de zeta que es lo que nos va a arrojar aparte a partir de un número complejo nos va a arrojar otro número real que es el número real que define su parte imaginaria en este caso sería la ley el número b eso nos dice que está escalado digamos lo podemos representar por una multiplicación con b en otras palabras lo que quiero es que veamos que podemos ver este número complejo en el plano cartesiano déjenme pintarlos los ejes perfecto eso es ahora lo que tenemos en el eje x en vez del eje x vamos a llamarle la parte real y el en vez del eje y vamos a tener la parte imaginaria o el eje imaginario así que z si lo escribimos como a más ve y lo podemos representar como el punto que tiene a en su parte real y ve en su parte imaginaria es decir que ocupa un punto en el plano cartesiano que será el punto a cómo ve este punto a b perfecto y aquí lo marcamos es la coordenada a como ve muy bien entonces lo representamos como una flecha como un vector en el plano y esta es la representación gráfica de un número complejo z que tiene parte real y parte imaginaria ve ahora cuando lo dibujamos de esta forma podríamos también representarlo con coordenadas x polares quizás si estás familiarizado también con esto pero lo que lo que implica representarlo polares es que este vector hace un ángulo aquí déjenme ponerlo con amarillo tiene un ángulo fi que genera con el eje real y tiene alguna distancia del origen al punto así que si tú das un ángulo y una distancia también podemos definir este número complejo de esa forma de hecho el ángulo es se le conoce como el argumento y aire se le conoce como el módulo o la magnitud o el valor absoluto de este número complejo pensemos un poquito más en esto cómo calcular y amos r bueno r pues es la norma de este punto z 1 o el valor absoluto la magnitud como se calcula bueno en realidad tenemos un triángulo rectángulo aquí así que tiene lados a y b y la base la base es ahí la altura es b así que calculando r simplemente usamos el teorema de pitágoras verdad r será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados es decir de a cuadrada más b cuadrada muy bien eso sería el módulo ahora el argumento como como como calculamos el argumento bueno pensemos un poquito en esto tenemos b ya pensemos que función trigonométricas maneja el la el cateto opuesto y el cateto adyacente así que escribamos este diagrama está el soca tohá realmente nos quedamos con toda verdad es decir la tangente del ángulo relaciona el cateto opuesto con el cateto adyacente como lo relaciona pues simplemente es cateto opuesto que en este caso es b entre cateto adyacente que en este caso es ad así que si queremos resolver quién es el argumento pues utilizamos la función arco tangente o la tangente inversa de b / a ahora pongamos el caso contrario que tengamos el argumento y el módulo iii que era que queremos representar este número como un punto en el plano cartesiano es decir tenemos grave y como conseguimos sus coordenadas cartesianas porque hace este momento teníamos veía y obteníamos a través de estas fórmulas el argumento y el módulo pero cómo le hacemos para ir en el sentido inverso bueno si tenemos rf y queremos encontrar el lado adyacente que en este caso está dado un ángulo y la hipotenusa podemos tener que el coseno del co seno de este ángulo es igual al cateto adyacente entre hipotenusa es decir a sobre r a sobre él multipliquemos ambos lados por r y finalmente tenemos que recoge no de fin es igual aa muy bien haremos algo similar con be pero ahora en vez de tener el coche no vamos a utilizar el seno del ángulo que es cateto puesto que es b sobre hipotenusa que es r multiplicando otra vez por r a ambos lados tenemos r seno de fi igual a b muy bien ahora como escribiríamos este número complejos y ahí b tiene esta forma entonces z sería igual a que en este caso es r coseno de fi que es nuestra parte real más y veces la parte imaginaria que es r seno de fin así que escribimos rs no decir por y por y que es la unidad imaginaria ahora no sé a lo mejor te salta algo bastante interesante en este punto si ya has visto la fórmula de hoy leer vamos a factorizar r primero y nos queda r por jose no decir más vamos a poner y ahora adelante por seno de fi seno de fi muy bien ahora aquí y si esto si ya has visto otros vídeos de las series de taylor y bueno otra otra serie de vídeos en la lista de cálculo pues en realidad lo que hemos visto desde estos resultados que además a mí me pone a temblar de lo emocionante que es la fórmula de hoy leer pues justamente es esta es esta cosa verdad esta misma cosa es lo que ya habíamos visto en los desarrollos en series de taylor de otras funciones lo que ya habíamos visto es que es coseno de x y seno de x lo que nos da en este caso es el ala y sí muy bien así que z lo podemos finalmente escribir como r por el ala y correcto ahora hay varias hay dos formas de escribir este número complejo principalmente podríamos escribirlo de esta forma donde tienes la parte real y la parte imaginaria uex o escribirlo en su forma exponencial donde tenemos el módulo y el argumento el argumento el argumento perdón está en la función exponencial y que esta forma nos va a servir mucho para encontrar raíces posteriormente así que hagamos un ejemplo digamos que tuviera yo se está escrito en coordenadas cartesianas z1 digamos no sé z1 es igual a raíz de tres sobre dos más más y vamos a dejarlo así así así que como calculamos vamos a calcular su módulo y su argumento como lo haríamos entonces el módulo el módulo déjenme hacerlo así el módulo de zeta 1 será la raíz cuadrada del primero al cuadrado que es tres cuartos verdad raíz de tres al cuadrado es 32 al cuadrado es cuatro más uno más uno pero déjenme poner este uno como cuatro cuartos para poder agrupar así que nos queda tres cuartos más cuatro cuartos es raíz de siete cuartos que es la raíz de siete sobre la raíz de cuatro que es 2 muy bien ahora vamos a encontrar cuál es el argumento así que dibujamos nuestro triangulito en nuestro diagrama déjenme pintarlo incluso hasta con los ejes el diagrama se vería de esta forma okay estaría en el primer cuadrante pero no tengo que preocuparme mucho de eso déjenme dibujarlo de esta forma ok entonces tenemos en el eje x a tres raíces de 3 sobre 2 miren déjenme cambiar esto un poco para que sea mucho más fácil la forma de calcular todo esto vamos a limpiar todo esto ok perfecto vamos a hacer un ejemplo mucho más sencillo así que en vez de solo sumar y vamos a sumar un medio de ahí entonces z uno va a ser raíz de tres sobre dos más un medio de y así que otra vez su módulo que va a ser la raíz cuadrada del primero al cuadrado que es tres cuartos más el segundo al cuadrado que es un cuarto verdad un cuarto es un medio al cuadrado ahora esto es la raíz cuadrada de tres cuartos más un cuarto que es uno finalmente es uno ahora vamos a visualizar el argumento tenemos nuestro eje imaginario nuestro eje imaginario y ahora trazamos nuestro eje real esta es mi eje real vamos a colocar este número complejo tiene norma 1 pero en su en su parte real mide raíz de 3 entre 2 que es un poco menos que 1 verdad y en su parte imaginaria mide un medio así que si hay anda al 1 a candle un medio y este punto es el que representa esta flechita es la que representa número complejo y tiene magnitud de 1 así que cómo le hacemos si tenemos aquí el ángulo fi ponemos nuestro triángulo y esta altura será perdón o no a raíz de 3 sobre 2 es un medio la altura muy bien ahora que lo que tenemos bueno hay muchas formas de hacer esto pero bueno podríamos simplemente fijarnos en la tangente en la tangente de un medio entre raíz de tres sobre dos verdad porque tanto que tangente de fi es un medio sobre la raíz de tres sobre dos como lo vimos anteriormente y utilizando las reglas que ya conocemos para la la división de dos fracciones tenemos que fi es la tangente inversa o el arco tangente de esta fracción que es 1 sobre la raíz de 3 verdad el 2 se cancela ahora también podríamos ver que si es el seno inverso de de quien como calculamos el seno de fli pues es cateto opuesto / hipotenusa verdad y el cateto opuesto es un medio la hipotenusa es 1 así que sería seno de un medio ahora también puedes reconocer que este es un triángulo 30 60 90 es decir tiene ángulos 30 a 60 y además el rectángulo al final fin concluimos que es 30 grados ok podríamos incluso hacerlo con coseno en fin hay muchas formas pero lo que queremos finalizar es llevar aquí en términos de radiales y no de grados así que si es igual a 30 grados que es lo mismo que pi sextos verdad y sexos en radiales son 30 grados ahora si queremos expresar z uno de forma exponencial esto sería lo mismo a que pusiéramos uno que es la magnitud por el lápiz sobre seis por y verdad y sobre seis es el argumento y hay que multiplicarlo por iu y con esto concluimos