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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 3
Lección 5: Módulo (valor absoluto) y argumento (ángulo) de números complejos- El valor absoluto de los números complejos
- Números complejos con el mismo módulo (valor absoluto)
- Módulo (valor absoluto) o números complejos
- El valor absoluto y el ángulo de los números complejos
- El ángulo de los números complejos
- De los valores absolutos y los ángulos a los número complejo
- Repaso de valor absoluto y ángulo de números complejos
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Números complejos con el mismo módulo (valor absoluto)
Sal muestra cómo determinar qué números de un conjunto de números complejos tienen el mismo módulo (o valor absoluto). También muestra cómo visualizar todos los números complejos con un módulo dado como círculo centrado en el origen del plano complejo, porque todos los puntos sobre ese círculo están a la misma distancia del origen. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Nos preguntan: ¿Cuál de estos números
complejos tiene un módulo de 13? Y solo como una pequeña pista, cuando
hablamos del módulo de un número complejo, en realidad estamos hablando de su valor absoluto. O, podemos preguntarnos, ¿cuál es su distancia desde el origen si los representamos en el
plano complejo, que es lo que tenemos aquí? Entonces, lo que en realidad tenemos
que encontrar es cuál de estos números complejos tiene una distancia de 13
desde el origen en el plano complejo. Pausa el video e intenta resolverlo por tu cuenta. Muy bien, es momento de trabajar juntos. Si este punto es el origen, entonces, el
primer número complejo que inmediatamente salta a la vista con una distancia de 13 desde
el origen es este, ya que podemos ver que si bajamos exactamente 13 unidades llegamos a este
punto justo aquí, menos 13i o 13i negativo. Así que, inmediatamente desde el principio, pensé: "bien, ese número complejo tiene un
módulo de 13", pero, ¿es el único? Bueno, podemos visualizar todos
los números complejos que tienen un módulo de 13 dibujando un círculo
de radio 13, centrado en el origen. Así que, hagámoslo. Podemos ver que contiene el primer
número complejo que encontramos, y además parece que este otro punto
también está incluido en el círculo. Así que comprobemos que el módulo de
este número complejo de aquí es 13. Para ello podemos usar el teorema de Pitágoras. Veamos, esta distancia de aquí es
12 y esta distancia de aquí es 5. Así que solo necesitamos
encontrar esta hipotenusa. Y sabemos que la hipotenusa será la raíz cuadrada
de 5 cuadrada más 12 cuadrada, lo que es igual a la raíz cuadrada de 25 más 144, que es igual a la
raíz cuadrada de 169 que en efecto es igual a 13. Por lo tanto, también es una opción correcta. Y de manera visual podemos observar que ninguno
de estos otros puntos se encuentra en ese círculo. Es decir, no tienen módulo de 13. Si quisiéramos encontrar
otros puntos interesantes, en lugar de tener menos 5 más 12i,
podríamos tener menos 5 menos 12i. Y llegaríamos a este punto de aquí. El
cuál también tiene un módulo de 13. Y observa, el complejo conjugado
también tiene el mismo módulo. E incluso podemos ir del otro
lado. En lugar de tener menos 5 más 12i podríamos tener 5 más 12i.
Este también tiene un módulo de 13. O podríamos tener 5 menos 12i que
también tiene un módulo de 13. De hecho, hay un número infinito de puntos, cualquiera de estos puntos sobre
el círculo tendrá un módulo de 13.