Introducción a los conjugados de números complejos

vamos a seguir creando herramientas para atender nuestra caja de herramientas completa de los números complejos recuerden que un número complejo z tiene la forma a más b y donde a y b son números reales y es el número imaginario a raíz de menos 1 es muy importante que no olviden que cuando nosotros estamos hablando de números complejos estamos hablando de un número que tiene una parte real y una parte imaginaria la suma de una parte real de una parte imaginaria por lo tanto en este número complejo z va a ser mi parte real y ve y es mi parte imaginaria y a pesar de que sea un número real al multiplicarlo por el número imaginario y raíz de menos 1 se convierte en que ve y es un número imaginario y ahora sí ya que tenemos una parte real y una parte imaginaria z va a ser un número complejo pero hay que tener cuidado para dejarlo más claro voy a decir que si yo tengo una función de la parte real de mi número complejo ésta va a ser a y si yo tomara la función de mi parte imaginaria del complejo zeta esta va a ser b es decir el número qué hace la escala con mi parte imaginaria ojo tomen en cuenta que como vimos en el vídeo pasado la función de la parte imaginaria de z es de solamente b es decir a que el número que hace la escala con la parte imaginaria sive aumenta la parte imaginaria va a aumentar su vez disminuye la parte imaginaria va a disminuir tengan cuidado solamente es cuestión de recordar que cuando nosotros tenemos la función de la parte imaginaria de z es de aquel número que está multiplicando a y en mi número complejo mientras que en mi número complejo como aparece un número real p x y es un número imaginario pero bueno de cualquier manera nosotros habíamos visto esto en el vídeo pasado así que vamos a empezar a ver lo que tenemos que ver este vídeo en este video se llama complejos conjugados por lo tanto voy a definir lo que es el conjugado de un número complejo voy a decir que el conjugado de mi número complejo va a ser z con una barra encima o con otros autores lo llaman set asterisco y éste va a ser a menos es decir es lo mismo que el complejo original solamente que estoy cambiando de signo la parte imaginaria voy a ver esto con una gráfica para que quede mucho más claro en esta gráfica voy a poner como el eje de las equis a la parte real de mi complejo y como eje de las 10 a la parte imaginaria por lo tanto si z es un vector entonces va a tener como parte real aa y como parte imaginaria a b fíjense que este vector z que soy pintado de amarillo tiene en parte real y ve en parte imaginaria ahora qué pasará con el conjugado pues bien la parte real se va a mantener constante es invariante sigue siendo a sin embargo la parte imaginaria va a cambiar de signo en lugar de ser b iba a ser menos b y mi vector va a seguir siendo el mismo solamente que esta vez en lugar de ir hacia arriba irá hacia abajo quiero que observen que la longitud de mi vector es la misma lo único que cambia es la dirección o dicho de una manera distinta es el mismo vector solamente que está reflejado con respecto al eje de las equis pero bueno es hora de que veamos propiedades muy interesantes que tienen los complejos conjugados por ejemplo la suma de complejos conjugados que sería la suma de complejos conjugados gráficamente es la suma de dos vectores mi vector que tengo de amarillo que era z y a éste le voy a sumar un vector de morado que la zeta conjugado y la suma de estos dos vectores me va a dar un punto en niegue de la parte real z maceta conjugado es lo mismo que a massa es decir este punto que yo tengo aquí es un número real igual a todos y lo podemos probar también de una manera algebraica si yo tengo acepta que es a mí ya éste le sumo se ha conjugado que es a menos b y entonces yo obtendría que más b y más a menos b y pues b y menos pedir se va y me queda dos veces a dicho de otra forma mucho más elegante yo sé que se está más cerca conjugado lo voy a poner aquí es igual a dos veces la función de la parte real de mi complejo es decir dos veces a muy bien para terminar esta propiedad en resumidas cuentas si yo tengo un complejo cualquiera su conjugado siempre voy a obtener dos veces la parte real pero bueno cambiamos a otra propiedad muy importante acerca de los complejos conjugados se utiliza mucho en la división voy a verlo con un caso particular supongamos que yo tengo 1 + 2 y que es un complejo ya éste le lo divido entre 4 5 y que también es un número complejo suene un poco lógico decir que un número complejo entre un número complejo me va a dar un número complejo pero bueno con un cuadro resolver esto para resolver una división entre números complejos voy a multiplicar por 1 pero porque uno por un uno muy especial uno no tramposo ni uno va a ser el complejo conjugado del complejo que divide es decir del denominador ahora sí estoy yo multiplico por 45 y entre 45 ahí que es 1 voy a poder resolver esta división y como lo voy a hacer pues bueno es solamente una multiplicación algebraica primero voy a multiplicar mis dos complejos que están en el numerador 1 por 45 y pues es 45 ahí aquí no hay mucho que hacer y 2 por 4 es 8 y 2 y por 5 y es 10 y cuadrada pero recuerden que y cuadrada es menos 1 entonces esto es menos 10 ya esto hay que dividirlo entre 4 - 5 y por 4 5 y es una diferencia de cuadrados está muy fácil de hacer esto es el cuadrado en el primer número o sea 4 por 4 es 16 lo voy a notar aquí 16 menos el cuadrado del segundo pero aquí aquí me falta algo aquí está mal porque le era cinco y no cuatro y perdón perdón aquí voy a poner cinco y ahora sí otra vez vamos a hacer la parte de abajo que es una diferencia de cuadrados les quiero pedir una disculpa porque siempre me equivoco en todos los vídeos es que mi mente va más rápido de lo que va el vídeo y empiezo a divagar y entonces siempre comento errores de dedo pero bueno ahora sí vamos a hacerlo es una diferencia de cuadrados entonces me queda 4 x 4 que es 4 al cuadrado lo voy a notar acá ya esto hay que restarle el cuadrado del segundo o sea menos 5 y al cuadrado y esto quién es cuatro menos diez pues es muy fácil de hacer 4 10 6 y 5 y 8 y es lo mismo que 13 y ya esto lo voy a dividir entre 4 al cuadrado que es 16 menos 5 y al cuadrado o sea 25 y cuadrada pero como es cuadrada es negativo entonces obtengo menos 25 y con este menos me da más 16 más 25 es 41 bien menos 6 13 y entre 41 esto lo puedo escribir de otra manera lo puedo escribir como menos seis entre 41 más 13 entre 41 por iu y que creen esto es un número complejo si yo he vivido un número complejo entre otro número complejo obtengo un número complejo y ten se cuenta que podemos resolver esta división porque podríamos multiplicar a un complejo por su conjugado es decir un complejo por su conjugado es lo mismo que quedara complejo el complejo es además b y entonces lo mismo que a más b y que multiplica a menos b y dicho de otra manera esto es una diferencia de cuadrados que obtengo el cuadrado del primero y ya esto hay que quitarle el cuadrado del segundo pero esto es lo mismo que a cuadrada y después tengo b elevado al cuadrado es de cuadrada negativo por menos pues me va a quedar más cuadrada o dicho otra manera esto es lo mismo que la magnitud del complejo elevado al cuadrado espero que en este vídeo le se ha quedado claro lo útiles que pueden ser de los complejos conjugados por ejemplo en operaciones como la división de con números complejos de cualquier manera nos vemos en el siguiente vídeo