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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 3
Lección 4: Identidades con números complejosFactorizar polinomios usando números complejos
Sal muestra cómo factorizar un polinomio de cuarto grado en factores lineales usando la regla de suma y producto y la identidad de suma de cuadrados. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Nos dicen que Amat intentó escribir x
cuarta más 10 x cuadrada más 9 como un producto de factores lineales. Este es su trabajo: Nos dan todos los pasos que
hizo y después nos preguntan: ¿En qué paso cometió Amat su primer error? Pausa el video e intenta encontrar la respuesta. Bien, trabajemos juntos para resolver esto. Amat empezó con el polinomio x
cuarta más 10 x cuadrada más 9 Y parece que lo intentó factorizar como
x cuadrada más 9 por x cuadrada más 1. Lo cuál, de hecho, tiene sentido, ya que, si
decimos que, no sé, u es igual a x cuadrada, podemos reescribir esta expresión
inicial como u cuadrada más 10 u más 9 La razón por la que hacemos esto es
para poder escribir esta expresión de orden superior en términos de
una expresión de segundo grado. Y después, ya hemos estudiado en varias ocasiones
cómo factorizar este tipo de expresiones. Podemos decir, ¿cuál es el par de
números que al sumarlos obtenemos 10 y al multiplicarlos obtenemos
9? Bueno, los números son 9 y 1. Así que podemos escribir esto
como u más 9 por u más 1. Y, por supuesto, si u es igual a x cuadrada, esto es lo mismo que x cuadrada más 9
por x cuadrada más 1 que es exactamente lo mismo que Amat escribió por aquí. Así
que en definitiva el paso 1 es correcto. Bien, ahora pensemos en lo
que hizo Amat en el paso 2. Observa, no le hizo nada a
x cuadrada más 9 pero parece que intentó factorizar aún más x cuadrada más 1. Y esto parece correcto. Solo tenemos
que recordar que, así como tenemos una diferencia de cuadrados cuando trabajamos
con números no complejos —es decir, que podemos reescribir esto aquí como
x más a por x menos a—; del mismo modo, podemos tener una suma de cuadrados
si pensamos en números complejos. Esto será x más ai por x menos ai. En este caso, la x es… x, mientras
que la a es 1. Por lo tanto, esto lo podemos factorizar como
x más uno i, por x menos uno i. Así que el paso dos también es correcto. Ahora trabajemos con el paso tres. En el paso 3, no hay un cambio en esta
parte rosa de la expresión y parece que Amat intentó factorizar x cuadrada
más 9 usando el mismo principio. Ahora bien, x cuadrada más 9, es lo
mismo que x cuadrada más 3 al cuadrado, por lo tanto, si usamos esta misma idea, su
factorización será x más 3i por x menos 3i. Pero, lo que vemos aquí, es que Amat
utilizó la raíz cuadrada de tres, en lugar de utilizar solo tres. Amat realizó la factorización como si
en lugar de tener un nueve por aquí, en realidad tuviera un tres, por lo tanto, fue
en este momento donde cometió un pequeño error. Podemos concluir que es este el paso en dónde
Amat cometió su primer error y… hemos acabado.