Repaso de la forma polar de números complejos

La forma polar de números complejos destaca sus atributos gráficos: el $\goldD{\text{valor absoluto}}$start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 (la distancia del número al origen en el plano complejo) y el $\purpleC{\text{ángulo}}$start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff (el ángulo que forma el número con el eje real positivo). También se llaman $\goldD{\text{módulo}}$start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10 y $\purpleC{\text{argumento}}$start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #aa87ff.

Ten en cuenta que si desarrollamos los paréntesis en la representación polar, obtenemos el número de forma rectangular:

La forma polar es muy útil para multiplicar y dividir números complejos:

Vamos a evaluar $(1+\sqrt{3}i)^6$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript. Primero, lo convertimos en la forma polar:

$(1+\sqrt{3}i)=\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis

Ahora usamos la regla de arriba:

Vamos a encontrar las soluciones a la ecuación $z^3=27$z, cubed, equals, 27. En primer lugar, definimos $r$r y $\theta$theta como el valor absoluto y el ángulo de $z$z. Así que $z^\blueD{3}$z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript es $r^\blueD{3}[\cos {(\blueD{3}\cdot\theta)}+i\sin {(\blueD{3}\cdot\theta)}]$r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, close bracket.

El número $27$27 puede escribirse como $27[\cos(k\cdot360^\circ)+i\sin(k\cdot360^\circ)]$27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, close bracket.

Obtenemos dos ecuaciones de la ecuación principal $z^3=27$z, cubed, equals, 27:

La solución de la primera ecuación es $r=3$r, equals, 3. La solución de la segunda ecuación es $\theta=k\cdot 120^\circ$theta, equals, k, dot, 120, degrees, que tiene tres soluciones distintas: $0^\circ$0, degrees, $120^\circ$120, degrees, y $240^\circ$240, degrees. Corresponden a las siguientes tres soluciones: