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Curso: Precálculo > Unidad 3

Lección 8: Multiplicar y dividir números complejos en forma polar

Repaso de la forma polar de números complejos

Repasa la forma polar de los números complejos y úsala para multiplicar, dividir y encontrar potencias de números complejos.

¿Cuál es la forma polar?

r (\cos θ + i \sin θ)

La forma polar de números complejos destaca sus atributos gráficos: el

valor absoluto

(la distancia del número al origen en el plano complejo) y el

ángulo

(el ángulo que forma el número con el eje real positivo). También se llaman

módulo

argumento

Ten en cuenta que si desarrollamos los paréntesis en la representación polar, obtenemos el número de forma rectangular:

¿Quieres más información acerca de la forma polar de los números complejos? Revisa este video.
¿Quieres aprender más sobre las diferentes formas de los números complejos? Échale un vistazo a este artículo.
¿Quieres aprender más sobre la conversión entre forma polar y rectangular? Revisa este artículo.

Conjunto de práctica 1: multiplicar y dividir en forma polar

La forma polar es muy útil para multiplicar y dividir números complejos:

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \\ z_{2} & = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}) \\ ⇓ \\ z_{1} z_{2} & = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})] \end{aligned}

¿Quieres saber más sobre multiplicación y división en forma polar? Mira este video.

Problema 1.1

w_{1} = 5 [\cos (15^{\circ}) + i \sin (15^{\circ})]

w_{2} = 3 [\cos (45^{\circ}) + i \sin (45^{\circ})]

w_{1} \cdot w_{2} =

Tu respuesta debe estar en forma polar con el ángulo en grados.

¿Quieres practicar con más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 2: números complejos en forma polar

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \\ ⇓ \\ (z_{1})^{n} & = (r_{1})^{n} [\cos (n \cdot θ_{1}) + i \sin (n \cdot θ_{1})] \end{aligned}

Ejemplo 1

Vamos a evaluar

(1 + \sqrt{3} i)^{6}

. Primero, lo convertimos en la forma polar:

(1 + \sqrt{3} i) = 2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ})

Ahora usamos la regla de arriba:

\begin{aligned} [2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ})]^{6} \\ = (2)^{6} [\cos (6 \cdot 60^{\circ}) + i \sin (6 \cdot 60^{\circ})] \\ = 64 (\cos 360^{\circ} + i \sin 360^{\circ}) \\ = 64 (1 + i \cdot 0) \\ = 64 \end{aligned}

Ejemplo 2

Vamos a encontrar las soluciones a la ecuación

z^{3} = 27

. En primer lugar, definimos

r

θ

como el valor absoluto y el ángulo de

z

. Así que

z^{3}

r^{3} [\cos (3 \cdot θ) + i \sin (3 \cdot θ)]

El número

27

puede escribirse como

27 [\cos (k \cdot 360^{\circ}) + i \sin (k \cdot 360^{\circ})]

Obtenemos dos ecuaciones de la ecuación principal

z^{3} = 27

r^{3} = 27

3 \cdot θ = k \cdot 360^{\circ}

La solución de la primera ecuación es

r = 3

. La solución de la segunda ecuación es

θ = k \cdot 120^{\circ}

, que tiene tres soluciones distintas:

0^{\circ}

120^{\circ}

, y

240^{\circ}

. Corresponden a las siguientes tres soluciones:

\begin{aligned} z_{1} & = 3 \\ z_{2} & = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \\ z_{3} & = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \end{aligned}

Problema 2.1

(\sqrt{2} + \sqrt{2} i)^{6} =

¿Quieres intentar resolver más problemas como este? Revisa este ejercicio.

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