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Repaso de la forma polar de números complejos

Repasa la forma polar de los números complejos y úsala para multiplicar, dividir y encontrar potencias de números complejos.

¿Cuál es la forma polar?

start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis
La forma polar de números complejos destaca sus atributos gráficos: el start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 (la distancia del número al origen en el plano complejo) y el start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff (el ángulo que forma el número con el eje real positivo). También se llaman start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10 y start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #aa87ff.
Ten en cuenta que si desarrollamos los paréntesis en la representación polar, obtenemos el número de forma rectangular:
¿Quieres más información acerca de la forma polar de los números complejos? Revisa este video.
¿Quieres aprender más sobre las diferentes formas de los números complejos? Échale un vistazo a este artículo.
¿Quieres aprender más sobre la conversión entre forma polar y rectangular? Revisa este artículo.

Conjunto de práctica 1: multiplicar y dividir en forma polar

La forma polar es muy útil para multiplicar y dividir números complejos:
z1=r1(cosθ1+isinθ1)z2=r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ z_2&=\goldD{r_2}(\cos\purpleC{\theta_2}+i\sin\purpleC{\theta_2}) \\ &\Downarrow \\ z_1z_2&=\goldD{r_1r_2}[\cos(\purpleC{\theta_1+\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1+\theta_2})] \\\\ \dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{\goldD{r_1}}{\goldD{r_2}}[\cos(\purpleC{\theta_1-\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1-\theta_2})] \end{aligned}
¿Quieres saber más sobre multiplicación y división en forma polar? Mira este video.
Problema 1.1
  • Corriente
w, start subscript, 1, end subscript, equals, 5, open bracket, cosine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, open bracket, cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 1, end subscript, dot, w, start subscript, 2, end subscript, equals

Tu respuesta debe estar en forma polar con el ángulo en grados.

¿Quieres practicar con más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Conjunto de práctica 2: números complejos en forma polar

z1=r1(cosθ1+isinθ1)(z1)n=(r1)n[cos(nθ1)+isin(nθ1)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ &\Downarrow \\ (z_1)^n&=(\goldD{r_1})^n[\cos(n\cdot\purpleC{\theta_1})+i\sin(n\cdot\purpleC{\theta_1})] \end{aligned}

Ejemplo 1

Vamos a evaluar left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript. Primero, lo convertimos en la forma polar:
left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis
Ahora usamos la regla de arriba:
=[2(cos60+isin60)]6=(2)6[cos(660)+isin(660)]=64(cos360+isin360)=64(1+i0)=64\begin{aligned} &\phantom{=}[\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})]^6 \\\\ &=(\goldD 2)^6[\cos(6\cdot\purpleC{60^\circ})+i\sin(6\cdot\purpleC{60^\circ})] \\\\ &=64(\cos360^\circ+i\sin360^\circ) \\\\ &=64(1+i\cdot 0) \\\\ &=64 \end{aligned}

Ejemplo 2

Vamos a encontrar las soluciones a la ecuación z, cubed, equals, 27. En primer lugar, definimos r y theta como el valor absoluto y el ángulo de z. Así que z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript es r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, close bracket.
El número 27 puede escribirse como 27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, close bracket.
Obtenemos dos ecuaciones de la ecuación principal z, cubed, equals, 27:
r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, equals, 27
start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, equals, k, dot, 360, degrees
La solución de la primera ecuación es r, equals, 3. La solución de la segunda ecuación es theta, equals, k, dot, 120, degrees, que tiene tres soluciones distintas: 0, degrees, 120, degrees, y 240, degrees. Corresponden a las siguientes tres soluciones:
z1=3z2=32+332iz3=32332i\begin{aligned} z_1&=3 \\\\ z_2&=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \\\\ z_3&=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \end{aligned}
Problema 2.1
  • Corriente
left parenthesis, square root of, 2, end square root, plus, square root of, 2, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, equals

¿Quieres intentar resolver más problemas como este? Revisa este ejercicio.

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