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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 3

Lección 8: Multiplicar y dividir números complejos en forma polar
Matemáticas
Precálculo
Números complejos
Multiplicar y dividir números complejos en forma polar
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Visualizar potencias de números complejos

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Aprende cómo se comportan las potencias de números complejos, al ver el efecto gráfico en el plano complejo.

La conexión entre i, squared, equals, minus, 1 y el lugar donde vive i

Empezamos nuestro estudio de los números complejos al inventar un número, i, que satisface i, squared, equals, minus, 1, y luego lo visualizamos colocándolo fuera de la recta real, una unidad sobre 0. Con las visualizaciones ofrecidas en el artículo anterior, ahora podemos ver por qué ese punto en el espacio es un hogar tan natural para un número cuyo cuadrado es minus, 1.
Verás, la multiplicación por i da una rotación de 90, degrees alrededor del origen:
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Puedes pensar que esto sucede porque i tiene valor absoluto 1 y ángulo 90, degrees, o porque esta rotación es la única manera de mover la malla (dejando fijo al 0) que coloca al 1 en el lugar donde se encuentra i.
Entonces ¿qué pasa si multiplicamos dos veces por i todo lo que está en el plano?
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Es lo mismo que rotar 180, degrees alrededor del origen, que es la multiplicación por minus, 1. Esto, por supuesto, tiene sentido, pues multiplicar por i dos veces es lo mismo que multiplicar por i, squared, que debe ser minus, 1.
Es interesante pensar que si hubiéramos colocado i en algún otro lugar manteniendo su cualidad característica i, squared, equals, minus, 1, no tendríamos una visualización tan clara de la multiplicación compleja.

Potencias de números complejos

Juguemos un poco con multiplicar repetidamente por algún número complejo.

Ejemplo 1: left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

Toma el número z, equals, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, que tiene valor absoluto square root of, 1, squared, plus, left parenthesis, square root of, 3, end square root, right parenthesis, squared, end square root, equals, 2 y ángulo 60, degrees. ¿Qué pasa si multiplicamos tres veces seguidas por z todo lo que está en el plano?
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Todo se estira en un factor de 2 tres veces, por lo que al final es estirado en un factor de 2, cubed, equals, 8. Del mismo modo, todo es rotado 60, degrees tres veces seguidas, por lo que en total es rotado 180, degrees. Entonces, es lo mismo que multiplicar por minus, 8. Así, left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed, equals, minus, 8.
También podemos ver esto usando álgebra, como sigue:

Ejemplo 2: left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

A continuación, supón que multiplicamos todo sobre el plano por left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis ocho veces sucesivas.
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Ya que la magnitud de 1, plus, i es
vertical bar, 1, plus, i, vertical bar, equals, square root of, 1, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 2, end square root,
todo debe ser estirado ocho veces en un factor de square root of, 2, end square root, siendo finalmente estirado en un factor de left parenthesis, square root of, 2, end square root, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 2, start superscript, 4, end superscript, equals, 16.
Dado que el ángulo de left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis es 45, degrees, todo es rotado 8, dot, 45, degrees, equals, 360, degrees así que, en total, es como si no hubiéramos hecho ninguna rotación. Entonces, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 16.
Alternativamente, la manera de ver esto con álgebra es
=(1+i)8=(2⋅(cos⁡(45∘)+isin⁡(45∘))8=(2)8⋅(cos⁡(45∘+⋯+45∘⏟8 veces)+isin⁡(45∘+⋯+45∘⏟8 veces))=16(cos⁡(360∘)+isin⁡(360∘))=16\begin{aligned} &\phantom{=}(1 + i)^8 \\\\ &= \left(\sqrt{2}\cdot(\cos(45^\circ) + i \sin(45^\circ) \right)^8 \\ &= (\sqrt{2})^8 \cdot \left( \cos(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$ veces}}) + i\sin(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$ veces}}) \right) \\\\ &= 16 \left(\cos(360^\circ) + i\sin(360^\circ) \right) \\\\ &= 16 \end{aligned}

Ejemplo 3: z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Ahora comencemos con la pregunta inversa: ¿existe un número z tal que, después de multiplicarlo cinco veces por todo lo que está en el plano, las cosas vuelven al mismo lugar? En otras palabras, ¿podemos resolver la ecuación z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1? La respuesta más simple es z, equals, 1, pero veamos si podemos encontrar otras.
Primero, la magnitud de tal número debe ser 1, ya que si fuera mayor el plano se estiraría y si fuera menor el plano se encogería. La rotación es un animal diferente, pues puedes volver al mismo lugar donde comenzaste después de repetir ciertas rotaciones. En particular, si rotas start fraction, 1, divided by, 5, end fraction de toda la vuelta, así:
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entonces hacerlo 5 veces seguidas te llevará a donde empezaste.
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El número que rota al plano de esta forma es cosine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, pues start fraction, 360, degrees, divided by, 5, end fraction, equals, 72, degrees.
También hay otras soluciones, como rotar start fraction, 2, divided by, 5, end fraction de toda la vuelta.
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O start fraction, 1, divided by, 5, end fraction de toda la vuelta en la otra dirección:
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De hecho, hermosamente, los números que resuelven la ecuación forman un pentágono perfecto sobre el círculo unitario:
Las soluciones de la ecuación z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Ejemplo 4: z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

Resolver la ecuación z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 significa encontrar un número z tal que multiplicar este número 6 veces seguidas lo estirará en un factor de 27 y lo rotará en un ángulo de 180, degrees, pues el signo negativo indica una rotación de 180, degrees.
Algo que se estirará por un factor de 27 después de 6 aplicaciones debe tener magnitud root, start index, 6, end index, equals, square root of, 3, end square root, y una manera de rotar 180, degrees después de 6 aplicaciones es hacerlo por start fraction, 180, degrees, divided by, 6, end fraction, equals, 30, degrees cada vez. Entonces, un número que resuelve la ecuación z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 es
3(cos⁡(30∘)+isin⁡(30∘))=3(32+i12)=32+i32\begin{aligned} \sqrt{3}(\cos(30^\circ) + i\sin(30^\circ)) &= \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}
¡Sin embargo hay otras respuestas! De hecho, estas respuestas forman un hexágono perfecto sobre el círculo de radio square root of, 3, end square root:
Las soluciones de la ecuación z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27
¿Puedes ver por qué?

Resolver z, start superscript, n, end superscript, equals, w en general

Generalicemos los últimos dos ejemplos. Si se te dan los valores w y n y se te pide encontrar z (como en el último ejemplo, donde n, equals, 6 y w, equals, minus, 27), primero debes encontrar la representación polar de w:
w, equals, r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
Esto significa que el ángulo de z debe ser start fraction, theta, divided by, n, end fraction y su magnitud root, start index, n, end index. De esta manera, multiplicar z un total de n veces hará una rotación de theta y un escalamiento por r, como lo hace w. Así,
z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis
Para encontrar las otras soluciones, debemos tener en mente que el ángulo theta pudo haber sido pensado como theta, plus, 2, pi, o theta, plus, 4, pi, o theta, plus, 2, k, pi para cualquier entero k, pues todos estos ángulos son en realidad el mismo. La razón por la que esto es importante es que el valor start fraction, theta, divided by, n, end fraction cambia si remplazamos theta por theta, plus, 2, pi, k antes de dividir. Entonces, todas las respuestas están dadas por
z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis
para algún valor entero de k. Estos valores serán diferentes para k entre 0 y n, minus, 1. Cuando k, equals, n, el ángulo start fraction, theta, plus, 2, n, pi, divided by, n, end fraction, equals, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, plus, 2, pi es el mismo que start fraction, theta, divided by, n, end fraction, pues los ángulos difieren en una rotación completa. Entonces, encontraremos todas las respuestas tomando k de 0 a n, minus, 1.

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