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Transcripción del video

en este vídeo espero que realmente se entienda por qué la forma compleja no más bien la forma exponencial de un número complejo es realmente útil así que digamos que queremos encontrar o que queremos resolver la ecuación x kubica igual a uno así que vamos a tratar de hallar todas las raíces reales o complejas de esta ecuación que es equivalente a x kubica menos uno igual a cero así que hayamos todas las raíces reales o complejas de esta ecuación y bueno realmente aquí es donde vamos a usar la forma exponencial la técnica que vamos a utilizar puede ser útil para cuando tienes x a las 5 ó x a la 37 no importa lo que quiero es que veamos todos los patrones que emergen al al checar esto en el plano complejo es decir en el plano cartesiano así que pensemos a z como igual a 1 esta es una raíz es una raíz del de la solución de esta ecuación así que vamos a pensar las otras raíces que pueda tener está por supuesto no tiene una una parte imaginaria así que si la dibujamos en el plano digamos aquí tenemos mi eje real e y el eje imaginario entonces esto es la lg real elegí imaginario y si queremos representar esta cepa igual a uno pues aquí lo colocamos sobre el eje real verdad si por ejemplo aquí tenemos la el 1 y menos uno en ambos ejes pues bueno nos fijamos que se está igual a uno se encuentra sobre el eje real es decir en realidad tienen entradas en el plano 1,0 porque lo podemos escribir como uno más 0 y muy bien de esta forma lo podemos poner ahí o en otras palabras su forma exponencial tiene primero la magnitud de este vector es una verdad la magnitud del vector es sólo ahora cuál es el argumento bueno el argumento de zeta el argumento de zeta cuál es el argumento de z cuales el ángulo que hace este vector con el eje real bueno pues como es un número real se encuentra en el eje así que no tiene ángulo así que su argumento es eta es perdón es cero así pero puede que esto no parezca interesante pero sí lo checamos esto ponga atención esto sería uno por e a la 0 y verdad éste su forma exponencial y por supuesto al acero y es uno simplemente a la cualquier más bien cualquier cosa al acero el zulo no hay gran problema el detalle es el siguiente si tomamos 0 radiales en realidad es lo mismo que tomar dos bieber that es como si le diéramos una vuelta completa así que el argumento de z en realidad pueden no ser sólo 0 sino que además puede ser dos pig o que le demos dos vueltas y sea 4 pig oleremos tres vueltas y sea 6 pigu 8 pig en fin así que uno realmente lo podemos expresar como 11 que es el módulo por alados piqué también es a la 4 pitch y y en fin los alados en epi verdad por iu y bueno realmente de esta ecuación entonces obtenemos las raíces por ejemplo de esta primera x kubica igual a 1 x kubica igual a ea lados y y finalmente x kubica igual a igual a ea la 4 pib y esto es interesante porque de estas tres vamos a obtener raíces distintas porque si sacamos raíz cúbica de ambos lados de la ecuación digamos de ésta sacamos raíz cúbica de ambos lados de todas las ecuaciones y después resolvemos para de x entonces vamos a obtener distintos resultados por ejemplo en esta primera en ésta tenemos que x es igual a 1 a la un tercio que es una verdad elevará la un tercio saca raíz cúbica de la segunda es x iguala a la 2 pig a la un tercio pues en realidad es multiplicar los exponentes por lo que nos queda alados pi sobre tres por y muy bien ahora finalmente de la última tenemos x iguala al aquatropic y por un tercio que es leal a 4m déjenme rehacer esto con el color que teníamos les decía que teníamos a la 4 piso sobre tres por y muy bien y así podríamos seguir no es verdad que me dejen vamos a detenernos a pensar un poquito aquí así que inmediatamente de esto cuál es el argumento del de la segunda ecuación y que dejen de escribir que son tres raíces distintas x1 y x2 x 3 y bueno vamos a checar la primera raíz es uno que es el que ya teníamos verdad es la raíz cúbica de uno ahora los otros números son números complejos así que vamos a visualizar estos no menos un poco cuál es el argumento de estos números para éstos la magnitud es uno y es uno porque en realidad la guerra no aparece es decir que estamos multiplicando por una verdad es el coeficiente lo mismo pasa para el módulo perdón déjenme ponerlo en azul como estaba el módulo de x3 pasa igual es uno ahora cuál es el argumento de x 2 digamos syfy es el argumento entonces 2 peter cios ahora como dibujamos este este número complejo x 2 bueno si es de norma o no quiere decir que está en el círculo unitario y además hay que rotar 2 peter cios es el ángulo en donde se encuentra 2 peter cios pues es dos pies 360 y entre tres son 120 así que se encuentra más o menos por aquí justo así donde este ángulo que estamos marcando es de 120 grados verdad que es 2 pi sobre 32 y sobre tres y tienen la misma longitud que e x igual a 1 así que este x 1 que estoy pintado de verde tiene el mismo el mismo tamaño que x2 que estoy pintando imagen está muy bien y sólo rotamos 120 grados ahora qué pasa con el segundo cuál es el argumento perdón de x3 su argumento es 4 pig sobre 3 y 4 pi son cuatro pies 720 y entre tres pues en real realmente sólo nos queda que cuánto es 720 entre 3 720 1 724 aquí sería 240 verdad no lo podemos checar y en realidad son 240 así que le suman fíjense lo que le faltaba al x 2 para llegar al eje real eran 60 así que con otros 60 tenemos los 120 que nos faltan es decir si sumamos tenemos 240 grados que son cuatro petersen radiales es un poquito engorroso checar esto pero bueno queda claro que aquí se encuentra el x3 y por supuesto sus enormes uno es decir tienen la misma norma que los otros dos realmente sólo estamos rotando sólo estamos rotando en un ángulo de 120 entre cada uno verdad así que dividimos el círculo en tres partes iguales lo cual nos dio que cada uno tiene un ángulo entre entre cada uno del otro de 120 grados y bueno altura lo mejor dice oye tú me prometiste que íbamos a encontrar raíces complejas pero tú me lo estás poniendo en su forma exponencial y yo realmente quiero verlo de la forma más b y bueno eso simplemente se saca rápidamente de lo que ya tenemos porque por ejemplo x 2 debido a su forma exponencial lo pasamos a su forma de cocemfe y seno esto es ccoo seno de 2 peter cios más y seno de 2 peter si es verdad oops seno de 2 peter dios y sin digamos ahora en nuestro diagrama bueno en realidad lo que tenemos de ángulo de ley imaginario a x2 son 30 grados por lo que nos quedan 60 grados para este triángulo verdad así la hipotenusa vale 1 y podemos encontrar rápidamente que la altura es raíz de tres sobre dos y esta distancia en el eje real es menos un medio así que vamos a ver esto será igual a cocinó de dos tercios que como dijimos es menos un medio lo hice bien sí sí lo hice bien perfecto más y por el seno de dos tercios que es la altura que es raíz de tres sobre dos perfect y esto multiplica y así que éste es équidos hagamos lo mismo con x 3 x 3 va a ser igual a bueno este valor de x es el mismo que el anterior pero ahora su altura será negativa es decir será menos un medio menos un medio verdad y bueno ahora tenemos este ángulo con respecto a este ángulo tenemos la misma altura que x 2 pero en número negativo verdad así que en este caso tendremos menos la raíz de tres sobre 2 - la raíz de tres sobre dos por iu y usando esta técnica ya pudimos encontrar tres raíces de nuestra ecuación original tres raíces complejas estas dos son raíces y también la raíz se te iguala 1 es otra raíz también así que si usamos la misma técnica podríamos encontrar raíces cuarta raíces trescientas que importa no en fin lo único que sería es dividir el círculo en varias partes según la potencia de lo que queramos o más bien la raíz que queramos sacar así que si tomamos la raíz de uno la raíz cuarta de uno pues simplemente tomamos las las divisiones del círculo en cuatro partes verdad ok ahora te puedes preguntar por qué yo no seguí con ea las 6 pib y por ejemplo así que si yo hiciera esto fijémonos bien x al cubo iguala a las 6 fi y no digamos siguiendo el el mismo argumento anterior entonces x sería igual a a las dos y que adivinen qué es lo que teníamos justamente acá arriba justamente fue cuando poníamos a las dos y así que realmente no era necesario seguir nos con a las 6 pig bastaba con quedarnos hasta la 4 pie y de esa forma encontramos tres raíces distintas si querías hallar la raíz cúbica de uno en realidad es redundante seguir