Potencias de números complejos

tengo aquí el número complejo coseno de dos tercios de p2p entre tres más y veces el seno de dos mil entre tres y quiero elevar ese número a la veinteava potencia así que bien los invito a pausar el vídeo y tratar de resolver este problema como siempre por ustedes mismos asumiendo que ya lo hicieron vamos a pensar lo primero que voy a hacer es trabajar con este número complejo que está aquí en azul y claramente está escrito en la forma polar y es un número complejo que tiene norma 1 módulo 1 y argumento de 2 pi entre 3 tiene argumento de 2 p / 3 incluso si quisieran lo podrían escribir en la forma polar pura como el módulo la norma desde el número complejo 1 por el coseno de 2000 entre 32 y entre 3 más y veces el seno 2 / 3 son exactamente el mismo número complejo y bueno dónde está este número pues veamos si lo pongo aquí si lo gráfico el argumento es 206 y cada uno de estos rayos son 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 así que cada uno de estos rayos es y entre 12 y como yo sé que 2 pi entre 3 es lo mismo que mucho y multiplicó el numerador y el denominador por 4 obtengo 8 y entre 12 entonces solo tengo que moverme 1 2 3 4 5 6 7 8 tengo que llegar ahí ese es mi número complejo ok entonces ya que pensé en eso vamos a tratar de elevarlo vamos a tratar de elevarlo a la veinteava potencia y para hacer eso me voy a basar en la fórmula de hoy les les recuerdo la fórmula de hoy leer me dice que es a la ip está donde está es un número real siempre va a ser igual a coseno de teta coste no beteta más y veces el seno de eta y como nos ayuda a esto pues si escribo este número en la forma ella la y teta este número complejo es lo mismo que el ala y por dos tercios así que puede tomar este número y lo que quiero hacer es elevarlo a la veinteava potencia y ahora puede usar las propiedades de los exponentes ya sé que si tomo un número a un exponente y lo quiero elevar a otro exponente los exponentes se multiplican así que este número es lo mismo que el ala y por 20 por 2 entre 32 y entre 3 y cuánto es esto pues eso es lo mismo que a la iss por 40 40 p entre 3 ahora 40 pie entre 3 es un número muy grande estoy dando demasiadas vueltas para regresar al origen perdón para regresar al punto que partí entonces lo que quiero hacer es tratar de convertir este argumento en un argumento más pequeño empezamos pensando cuánto es 40 pies 40 puntos 3 pues es lo mismo que 40 entre 3 es 13 con un tercio así que este número es 13 con un tercio por pi pero cada vez que recorro dos pi si salgo de aquí y recorro 2 pierce regresó al mismo punto así que puedo quitarle a este número una serie de factores de dos para uno por cada vuelta que le estoy dando esto así que vamos a tratar de quitarle a 13 a 13 con un tercio por pin vamos a quitarle algún múltiplo el múltiplo de dos primas grandes que se le pueda sustraer esto antes de que se vuelva negativo así que le voy a quitar 12 p 12 y cuánto me queda pues 13 con un tercio menos 12 y va a ser lo mismo que cuatro tercios así que este número es lo mismo que el por y a la cuatro tercios pero cuatro tercios cuatro tercios de pi es lo mismo que cuánto cuatro terceros es lo mismo que 16 y entre 12 así que aquí estoy en 12 pi entre 12 13 14 15 16 llegaría aquí justo a 15 13 14 15 16 aquí así que este es el número que es igual a coseno de 200 es más y veces el seno de 200 es elevado a la potencia 20 ahora como tiene sentido esto conceptualmente pues si este número que es igual a este número está aquí qué pasaría si quisiera elevar ahora este número de aquí el número en azul a la potencia digamos 21 pues lo que haría sería sumar otros dos tercios al argumento sea otros 8 y entre 12 así que vamos a ver 12345678 llegaría justo ay ese sería el número que sería igual a este número elevado a la potencia 21 así que veamos qué pasa primero estaba en este número que es igual a este a la potencia 20 llegó acá a la potencia 21 llegó acá de hecho cada vez que elevó o multiplicó a este número por sí mismo estoy agregando 2 pitt hercios al argumento por lo tanto esto sería el número a la potencia 1 a la potencia 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 regreso aquí