Contenido principal
Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 3
Lección 8: Multiplicar y dividir números complejos en forma polar- Multiplicar números complejos en forma polar
- Dividir números complejos en forma polar
- Multiplica y divide números complejos en forma polar
- Obtener y visualizar potencias de un número complejo
- Ecuaciones con números complejos: x³=1
- Visualizar potencias de números complejos
- Potencias de números complejos
- Repaso de la forma polar de números complejos
© 2023 Khan AcademyTérminos de usoPolítica de privacidadAviso de cookies
Obtener y visualizar potencias de un número complejo
Dado un número complejo en forma rectangular, podemos convertirlo a forma polar para mostrar cómo visualizar potencias del número complejo escalándolo y rotándolo por su propio módulo y argumento. Creado por Sal Khan.
¿Quieres unirte a la conversación?
Sin publicaciones aún.
Transcripción del video
Nos dicen: Considera el número complejo z igual a
menos uno más y veces la raíz de tres. Encuentra z cuarta en forma polar y rectangular. Así que pausa el video y ve si
puedes encontrar la respuesta. Muy bien, es momento de trabajar juntos. Primero pensemos en cuál es el módulo de z.
Sabemos que el modulo será igual a la raíz cuadrada de la parte real al
cuadrado más la raíz cuadrada de 3, más la parte imaginaria al cuadrado.
Entonces será –1 al cuadrado más raíz de 3 al cuadrado, que es igual a 1+3. Entonces
tenemos la raíz principal de 4 que es 2. Ahora, la siguiente pregunta interesante
es cuál es el argumento de z. Y la razón por la que lo estamos escribiendo
de esta manera es que una vez que esté en forma polar va a ser mucho más fácil
visualizar lo que significa elevarlo a sus distintos exponentes. Y después lo
podemos regresar a su forma rectangular. Así que vamos a dibujar otro
plano complejo por aquí. Este es mi eje imaginario y este es mi eje real. Y si graficamos z, se va a ver algo así: Tenemos –1 en la dirección real, –1; y raíz
de 3 en la dirección imaginaria, raíz de 3. Así que nuestro punto z está justo aquí y
sabemos que la distancia desde el origen, es decir su módulo, es 2. También sabemos que esta distancia es
raíz de 3 y esta otra distancia es 1. Así que inmediatamente puedes
reconocer esto como un triángulo 30, 60, 90. Ya que en un triángulo 30, 60, 90
el lado corto es la mitad de la hipotenusa, y el lado largo es raíz de
tres veces el lado corto. Así que sabemos que este es un ángulo de
60 grados. Y este otro es de 30 grados. Y la razón por la que esto es útil es
que, si este es un ángulo de 60 grados, entonces sabemos que el argumento
justo aquí debe ser 120 grados. Así que el argumento de z es 120 grados. Con esto, ahora podemos pensar acerca de z en
su forma polar. Así que vamos a escribirlo. Podemos escribir que z es igual a su módulo, que es 2 por el coseno de 120 grados
más i veces el seno de 120 grados. Ahora también podemos visualizar z por acá. Su
módulo es 2, así que está a la mitad del camino para llegar a 4, y su argumento es 120 grados.
Así que podemos poner a z por aquí —en la gráfica. Ahora, ¿cuál sería z al cuadrado?
Bueno, cuando multiplicamos números complejos representados en su forma polar
sabemos que debemos multiplicar sus módulos; así que esto será 2 al cuadrado, aquí es 4. Y después sumamos los argumentos. Básicamente, rotamos z por otros 120 grados porque
lo estamos multiplicando por z. Así que aquí tendremos el coseno de 240
grados más i veces el seno de 240 grados. Una vez más 2 x 2 = 4, y 120 grados
+ 120 grados es igual a 240 grados. Así que, ¿cómo se ve z al cuadrado? Bueno, su argumento es 240
grados y su módulo es 4. Entonces ahora está al doble de
distancia del origen —en la gráfica. Ahora pensemos —usaré un nuevo
color—, a qué es igual z al cubo Bueno, será igual a z al cuadrado por z otra vez. Por lo tanto, vamos a multiplicar
por 2 el módulo, que será igual a 8, y vamos a rotar z al cuadrado por 120 grados. Entonces nos quedará coseno de 360
grados + i veces el seno de 360 grados. Así que, ahora podemos ver que tenemos
un módulo de 8 y un ángulo de 360 grados que es lo mismo que 0 grados. Así
que estamos aquí [en la gráfica]. Aquí está z al cubo. Y creo que ya ves hacia dónde vamos.
¿A qué es igual z a la cuarta potencia? z a la cuarta potencia. Bueno, ahora multiplicaremos z al cubo por z. Así que solo tomaremos su módulo, por aquí, y
lo multiplicaremos por 2, lo cual nos da 16. Y después voy a agregar otros 120 grados. Así que podemos escribir coseno de 480 grados, o podemos recordar que 360 grados es lo
mismo que 0 grados, Si agregamos 120 a eso, obtenemos el coseno de 120 grados
+ i veces el seno de 120 grados. Así que el argumento vuelve a ser 120 grados, pero el módulo ahora es 16. Así que tenemos 4,
8, 12, 16. Estamos en este círculo exterior. Aquí podemos colocar z a la cuarta potencia. Y ya casi hemos terminado.
Ya representamos z a la cuarta en forma polar. Ahora hay que pensar en su forma rectangular. Pero, por fortuna, ya sabemos cuánto es el
coseno de 120 grados y el seno de 120 grados. Es —podemos construir otro
triángulo por aquí de 30-60-90. Su hipotenusa tiene una longitud de 16.
Su lado corto será la mitad de eso, es decir 8. Y su lado más largo será la raíz
cuadrada de 3 por el lado corto. Entonces será 8 veces la raíz cuadrada de 3. Así que, si queremos escribir z a la cuarta
potencia en su forma rectangular, será su parte real, que es –8, más su parte imaginaria,
que es i por 8 veces la raíz cuadrada de 3. Y hemos terminado.