Obtener y visualizar potencias de un número complejo

Nos dicen: Considera el número complejo z igual a  menos uno más y veces la raíz de tres.  Encuentra z cuarta en forma polar y rectangular. Así que pausa el video y ve si  puedes encontrar la respuesta. Muy bien, es momento de trabajar juntos. Primero pensemos en cuál es el módulo de z. Sabemos que el modulo será igual a la   raíz cuadrada de la parte real al  cuadrado más la raíz cuadrada de 3,   más la parte imaginaria al cuadrado. Entonces será –1 al cuadrado más raíz de   3 al cuadrado, que es igual a 1+3. Entonces  tenemos la raíz principal de 4 que es 2. Ahora, la siguiente pregunta interesante  es cuál es el argumento de z. Y la razón por la que lo estamos escribiendo  de esta manera es que una vez que esté en   forma polar va a ser mucho más fácil  visualizar lo que significa elevarlo   a sus distintos exponentes. Y después lo  podemos regresar a su forma rectangular. Así que vamos a dibujar otro  plano complejo por aquí.  Este es mi eje imaginario y este es mi eje real. Y si graficamos z, se va a ver algo así:  Tenemos –1 en la dirección real, –1; y raíz  de 3 en la dirección imaginaria, raíz de 3. Así que nuestro punto z está justo aquí y  sabemos que la distancia desde el origen,   es decir su módulo, es 2. También sabemos que esta distancia es  raíz de 3 y esta otra distancia es 1. Así que inmediatamente puedes  reconocer esto como un triángulo 30,   60, 90. Ya que en un triángulo 30, 60, 90  el lado corto es la mitad de la hipotenusa,   y el lado largo es raíz de  tres veces el lado corto. Así que sabemos que este es un ángulo de  60 grados. Y este otro es de 30 grados. Y la razón por la que esto es útil es  que, si este es un ángulo de 60 grados,   entonces sabemos que el argumento  justo aquí debe ser 120 grados. Así que el argumento de z es 120 grados. Con esto, ahora podemos pensar acerca de z en  su forma polar. Así que vamos a escribirlo.  Podemos escribir que z es igual a su módulo,   que es 2 por el coseno de 120 grados  más i veces el seno de 120 grados. Ahora también podemos visualizar z por acá. Su  módulo es 2, así que está a la mitad del camino   para llegar a 4, y su argumento es 120 grados. Así que podemos poner a z por aquí —en la gráfica. Ahora, ¿cuál sería z al cuadrado? Bueno, cuando multiplicamos números   complejos representados en su forma polar  sabemos que debemos multiplicar sus módulos;   así que esto será 2 al cuadrado, aquí es 4. Y después sumamos los argumentos. Básicamente,   rotamos z por otros 120 grados porque  lo estamos multiplicando por z. Así que aquí tendremos el coseno de 240  grados más i veces el seno de 240 grados. Una vez más 2 x 2 = 4, y 120 grados  + 120 grados es igual a 240 grados. Así que, ¿cómo se ve z al cuadrado?  Bueno, su argumento es 240  grados y su módulo es 4.  Entonces ahora está al doble de  distancia del origen —en la gráfica. Ahora pensemos —usaré un nuevo  color—, a qué es igual z al cubo Bueno, será igual a z al cuadrado por z otra vez. Por lo tanto, vamos a multiplicar  por 2 el módulo, que será igual a 8,   y vamos a rotar z al cuadrado por 120 grados. Entonces nos quedará coseno de 360  grados + i veces el seno de 360 grados. Así que, ahora podemos ver que tenemos  un módulo de 8 y un ángulo de 360 grados   que es lo mismo que 0 grados. Así  que estamos aquí [en la gráfica]. Aquí está z al cubo. Y creo que ya ves hacia dónde vamos. ¿A qué es igual z a la cuarta potencia? z a la cuarta potencia. Bueno, ahora multiplicaremos z al cubo por z. Así que solo tomaremos su módulo, por aquí, y  lo multiplicaremos por 2, lo cual nos da 16.  Y después voy a agregar otros 120 grados. Así que podemos escribir coseno de 480 grados,   o podemos recordar que 360 grados es lo  mismo que 0 grados, Si agregamos 120 a eso,   obtenemos el coseno de 120 grados  + i veces el seno de 120 grados. Así que el argumento vuelve a ser 120 grados,   pero el módulo ahora es 16. Así que tenemos 4,  8, 12, 16. Estamos en este círculo exterior. Aquí podemos colocar z a la cuarta potencia. Y ya casi hemos terminado. Ya representamos z a la cuarta en forma polar. Ahora hay que pensar en su forma rectangular. Pero, por fortuna, ya sabemos cuánto es el  coseno de 120 grados y el seno de 120 grados. Es —podemos construir otro  triángulo por aquí de 30-60-90.  Su hipotenusa tiene una longitud de 16. Su lado corto será la mitad de eso, es decir 8.  Y su lado más largo será la raíz  cuadrada de 3 por el lado corto. Entonces será 8 veces la raíz cuadrada de 3. Así que, si queremos escribir z a la cuarta  potencia en su forma rectangular, será su   parte real, que es –8, más su parte imaginaria,  que es i por 8 veces la raíz cuadrada de 3. Y hemos terminado.