Visualizar la multiplicación de números complejos

A estas alturas sabemos multiplicar dos números complejos, tanto en forma rectangular como polar. En particular, la forma polar nos dice que estamos multiplicando amplitudes y sumando ángulos.

Una de las mayores fortalezas de pensar la multiplicación compleja en términos de la representación polar es que se presta a visualizar lo que está ocurriendo.

¿Qué pasa si multiplicamos cada punto en el plano complejo por un número complejo $z$‍? Si $z$‍ tiene forma polar $r(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$‍, la regla descrita anteriormente nos dice que cada punto en el plano será escalado en un factor $r$‍ y rotado un ángulo $\theta$‍.

Para $z=\sqrt{3}+i=2(\cos ({30}^{\circ })+i\sin ({30}^{\circ }))$‍, multiplicar por $z$‍ escalaría todo un factor de $2$‍ y lo rotaría ${30}^{\circ }$‍, así:

Para $z={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍, el valor absoluto de $z$‍ es

y su ángulo es $-{45}^{\circ }$‍, por lo que multiplicar por $z$‍ escalaría todo en un factor de ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\approx 0.471$‍, significando una contracción, y lo rotaría $-{45}^{\circ }$‍ al rededor del origen, que es una rotación en el sentido de las manecillas del reloj.

Para $z=-2$‍, que tiene un valor absoluto de $2$‍ y un ángulo de ${180}^{\circ }$‍, la multiplicación rota media vuelta alrededor del origen mientras estira en un factor de $2$‍.

Otra manera de pensar estas transformaciones, y la multiplicación compleja en general, es poner una marca bajo el número $1$‍, poner otra bajo el número $z$‍ y observar que, si multiplicamos por $z$‍, arrastramos el punto $1$‍ al punto donde $z$‍ comenzó, puesto que $z\cdot 1=z$‍. Por supuesto, debemos hacer esto en una forma que deje fijo el origen, ya que $z\cdot 0=0$‍.

¿¡No es interesante cómo hechos tan simples como $z\cdot 1=z$‍ y $z\cdot 0=0$‍ pueden ser tan útiles para visualizar la multiplicación compleja!?

Observemos qué pasa cuando multiplicamos el plano por algún número complejo $z$‍ y luego multiplicamos el resultado por su conjugado, $\overline{z}$‍:

Si el ángulo de $z$‍ es $\theta$‍, el ángulo del complejo conjugado $\overline{z}$‍ es $-\theta$‍, así que las multiplicaciones sucesivas no tienen ninguna rotación total. Podemos ver esto por el hecho que el punto que empezó en $1$‍ finalmente aterriza en la parte positiva de la recta real.

¿Qué hay de la magnitud? Ambos números tienen el mismo valor absoluto, $|z|=|\overline{z}|$‍, así que el efecto total de multiplicar por $z$‍ y luego por $\overline{z}$‍ es estirar todo en un factor de $|z|\cdot |\overline{z}|=|z{|}^2$‍.

Por supuesto, este hecho es lo suficientemente simple para ser visto en las fórmulas, pues $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|a+bi{|}^2$‍, ¡pero verlo en acción puede ser muy ilustrativo!

¿Qué pasa si dividimos cada número en el plano complejo entre $z$‍? Si $z$‍ tiene un ángulo $\theta$‍ y un valor absoluto $r$‍, entonces la división hace lo opuesto de la multiplicación: rota todo un ángulo $-\theta$‍ y lo escala en un factor de ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍ (o sea, se contrae en un factor de $r$‍).

El ángulo de $\sqrt{3}+i$‍ es ${30}^{\circ }$‍ y su valor absoluto es $2$‍, así que todo rota $-{30}^{\circ }$‍, que es en dirección a las manecillas del reloj, y se escala en un factor de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ (o sea, se contrae un factor de $2$‍).

El ángulo de ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ es $-{45}^{\circ }$‍ y su valor absoluto es

Así que ahora todo rota $+{45}^{\circ }$‍ y es escalado en un factor de ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\approx 2.121$‍.

Puedes haber observado que estas divisiones también pueden verse como tomar el punto arriba de $z$‍ y colocarlo sobre $1$‍.

Para calcular ${\displaystyle \frac{z}{w}}$‍, donde $z=a+bi$‍ y $w=c+di$‍, aprendimos que debemos multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado de $w$‍, $\bar{w}=c-di$‍.

En otras palabras, dividir entre $w$‍ es lo mismo que multiplicar por ${\displaystyle \frac{\bar{w}}{|w{|}^2}}$‍. ¿Hay alguna forma visual de entender esto?

Supongamos que $w$‍ tiene un ángulo $\theta$‍ y un valor absoluto $r$‍. Entonces, para dividir entre $w$‍, debemos rotar un ángulo de $-\theta$‍ y escalar en un factor de ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍. Ya que el conjugado, $\bar{w}$‍, tiene un ángulo opuesto al de $w$‍, multiplicar por $\bar{w}$‍ rotará por $-\theta$‍, como queremos. Sin embargo, multiplicar por $\bar{w}$‍ escala todo en un factor de $r$‍, cuando necesitamos lo contrario, por lo que dividimos entre $r^2=|w{|}^2$‍ para corregir.

Por ejemplo, así se ve dividir directamente entre $1+2i$‍:

Y así se ve primero multiplicar por su conjugado, $1-2i$‍, y luego dividir entre el cuadrado de su magnitud, $|1+2i{|}^2=5$‍.

El resultado final de ambas operaciones es el mismo.