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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 3
Lección 7: Multiplicar números complejos gráficamenteVisualizar la multiplicación de números complejos
Aprende cómo se comporta la multiplicación de números complejos, al ver el efecto gráfico en el plano complejo.
Cómo se ve la multiplicación compleja
A estas alturas sabemos multiplicar dos números complejos, tanto en forma rectangular como polar. En particular, la forma polar nos dice que estamos multiplicando amplitudes y sumando ángulos.
Una de las mayores fortalezas de pensar la multiplicación compleja en términos de la representación polar es que se presta a visualizar lo que está ocurriendo.
¿Qué pasa si multiplicamos cada punto en el plano complejo por un número complejo ? Si tiene forma polar , la regla descrita anteriormente nos dice que cada punto en el plano será escalado en un factor y rotado un ángulo .
Ejemplos
Para , multiplicar por escalaría todo un factor de y lo rotaría , así:
Para , el valor absoluto de es
y su ángulo es , por lo que multiplicar por escalaría todo en un factor de , significando una contracción, y lo rotaría al rededor del origen, que es una rotación en el sentido de las manecillas del reloj.
Para , que tiene un valor absoluto de y un ángulo de , la multiplicación rota media vuelta alrededor del origen mientras estira en un factor de .
Otra manera de pensar estas transformaciones, y la multiplicación compleja en general, es poner una marca bajo el número , poner otra bajo el número y observar que, si multiplicamos por , arrastramos el punto al punto donde comenzó, puesto que . Por supuesto, debemos hacer esto en una forma que deje fijo el origen, ya que .
¿¡No es interesante cómo hechos tan simples como y pueden ser tan útiles para visualizar la multiplicación compleja!?
Una comprensión visual de los complejos conjugados
Observemos qué pasa cuando multiplicamos el plano por algún número complejo y luego multiplicamos el resultado por su conjugado, :
Si el ángulo de es , el ángulo del complejo conjugado es , así que las multiplicaciones sucesivas no tienen ninguna rotación total. Podemos ver esto por el hecho que el punto que empezó en finalmente aterriza en la parte positiva de la recta real.
¿Qué hay de la magnitud? Ambos números tienen el mismo valor absoluto, , así que el efecto total de multiplicar por y luego por es estirar todo en un factor de .
Por supuesto, este hecho es lo suficientemente simple para ser visto en las fórmulas, pues , ¡pero verlo en acción puede ser muy ilustrativo!
Cómo se ve la división compleja
¿Qué pasa si dividimos cada número en el plano complejo entre ? Si tiene un ángulo y un valor absoluto , entonces la división hace lo opuesto de la multiplicación: rota todo un ángulo y lo escala en un factor de (o sea, se contrae en un factor de ).
Ejemplo 1: división entre
El ángulo de es y su valor absoluto es , así que todo rota , que es en dirección a las manecillas del reloj, y se escala en un factor de (o sea, se contrae un factor de ).
Ejemplo 2: división entre
El ángulo de es y su valor absoluto es
Así que ahora todo rota y es escalado en un factor de .
Puedes haber observado que estas divisiones también pueden verse como tomar el punto arriba de y colocarlo sobre .
Relacionar la visualización de la división compleja con su fórmula
Para calcular , donde y , aprendimos que debemos multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado de , .
En otras palabras, dividir entre es lo mismo que multiplicar por . ¿Hay alguna forma visual de entender esto?
Supongamos que tiene un ángulo y un valor absoluto . Entonces, para dividir entre , debemos rotar un ángulo de y escalar en un factor de . Ya que el conjugado, , tiene un ángulo opuesto al de , multiplicar por rotará por , como queremos. Sin embargo, multiplicar por escala todo en un factor de , cuando necesitamos lo contrario, por lo que dividimos entre para corregir.
Por ejemplo, así se ve dividir directamente entre :
Y así se ve primero multiplicar por su conjugado, , y luego dividir entre el cuadrado de su magnitud, .
El resultado final de ambas operaciones es el mismo.
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- No encuentro como contestar en forma polar las peguntas de la practica no encuentro los corchetes, ni los paréntesis
saludos gracias(1 voto)