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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 3
Lección 7: Multiplicar números complejos gráficamenteVisualizar la multiplicación de números complejos
Aprende cómo se comporta la multiplicación de números complejos, al ver el efecto gráfico en el plano complejo.
Cómo se ve la multiplicación compleja
A estas alturas sabemos multiplicar dos números complejos, tanto en forma rectangular como polar. En particular, la forma polar nos dice que estamos multiplicando amplitudes y sumando ángulos.
Una de las mayores fortalezas de pensar la multiplicación compleja en términos de la representación polar es que se presta a visualizar lo que está ocurriendo.
¿Qué pasa si multiplicamos cada punto en el plano complejo por un número complejo z? Si z tiene forma polar r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis, la regla descrita anteriormente nos dice que cada punto en el plano será escalado en un factor r y rotado un ángulo theta.
Ejemplos
Para z, equals, square root of, 3, end square root, plus, i, equals, 2, left parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, right parenthesis, multiplicar por z escalaría todo un factor de 2 y lo rotaría 30, degrees, así:
Para z, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction, el valor absoluto de z es
y su ángulo es minus, 45, degrees, por lo que multiplicar por z escalaría todo en un factor de start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction, approximately equals, 0, point, 471, significando una contracción, y lo rotaría minus, 45, degrees al rededor del origen, que es una rotación en el sentido de las manecillas del reloj.
Para z, equals, minus, 2, que tiene un valor absoluto de 2 y un ángulo de 180, degrees, la multiplicación rota media vuelta alrededor del origen mientras estira en un factor de 2.
Otra manera de pensar estas transformaciones, y la multiplicación compleja en general, es poner una marca bajo el número 1, poner otra bajo el número z y observar que, si multiplicamos por z, arrastramos el punto 1 al punto donde z comenzó, puesto que z, dot, 1, equals, z. Por supuesto, debemos hacer esto en una forma que deje fijo el origen, ya que z, dot, 0, equals, 0.
¿¡No es interesante cómo hechos tan simples como z, dot, 1, equals, z y z, dot, 0, equals, 0 pueden ser tan útiles para visualizar la multiplicación compleja!?
Una comprensión visual de los complejos conjugados
Observemos qué pasa cuando multiplicamos el plano por algún número complejo z y luego multiplicamos el resultado por su conjugado, z, with, \bar, on top:
Si el ángulo de z es theta, el ángulo del complejo conjugado z, with, \bar, on top es minus, theta, así que las multiplicaciones sucesivas no tienen ninguna rotación total. Podemos ver esto por el hecho que el punto que empezó en 1 finalmente aterriza en la parte positiva de la recta real.
¿Qué hay de la magnitud? Ambos números tienen el mismo valor absoluto, vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, así que el efecto total de multiplicar por z y luego por z, with, \bar, on top es estirar todo en un factor de vertical bar, z, vertical bar, dot, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, equals, vertical bar, z, vertical bar, squared.
Por supuesto, este hecho es lo suficientemente simple para ser visto en las fórmulas, pues left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, equals, a, squared, plus, b, squared, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, squared, ¡pero verlo en acción puede ser muy ilustrativo!
Cómo se ve la división compleja
¿Qué pasa si dividimos cada número en el plano complejo entre z? Si z tiene un ángulo theta y un valor absoluto r, entonces la división hace lo opuesto de la multiplicación: rota todo un ángulo minus, theta y lo escala en un factor de start fraction, 1, divided by, r, end fraction (o sea, se contrae en un factor de r).
Ejemplo 1: división entre square root of, 3, end square root, plus, i
El ángulo de square root of, 3, end square root, plus, i es 30, degrees y su valor absoluto es 2, así que todo rota minus, 30, degrees, que es en dirección a las manecillas del reloj, y se escala en un factor de start fraction, 1, divided by, 2, end fraction (o sea, se contrae un factor de 2).
Ejemplo 2: división entre start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction
El ángulo de start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction es minus, 45, degrees y su valor absoluto es
Así que ahora todo rota plus, 45, degrees y es escalado en un factor de start fraction, 3, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, approximately equals, 2, point, 121.
Puedes haber observado que estas divisiones también pueden verse como tomar el punto arriba de z y colocarlo sobre 1.
Relacionar la visualización de la división compleja con su fórmula
Para calcular start fraction, z, divided by, w, end fraction, donde z, equals, a, plus, b, i y w, equals, c, plus, d, i, aprendimos que debemos multiplicar el numerador y el denominador por el complejo conjugado de w, start overline, w, end overline, equals, c, minus, d, i.
En otras palabras, dividir entre w es lo mismo que multiplicar por start fraction, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction. ¿Hay alguna forma visual de entender esto?
Supongamos que w tiene un ángulo theta y un valor absoluto r. Entonces, para dividir entre w, debemos rotar un ángulo de minus, theta y escalar en un factor de start fraction, 1, divided by, r, end fraction. Ya que el conjugado, start overline, w, end overline, tiene un ángulo opuesto al de w, multiplicar por start overline, w, end overline rotará por minus, theta, como queremos. Sin embargo, multiplicar por start overline, w, end overline escala todo en un factor de r, cuando necesitamos lo contrario, por lo que dividimos entre r, squared, equals, vertical bar, w, vertical bar, squared para corregir.
Por ejemplo, así se ve dividir directamente entre 1, plus, 2, i:
Y así se ve primero multiplicar por su conjugado, 1, minus, 2, i, y luego dividir entre el cuadrado de su magnitud, vertical bar, 1, plus, 2, i, vertical bar, squared, equals, 5.
El resultado final de ambas operaciones es el mismo.
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No encuentro como contestar en forma polar las peguntas de la practica no encuentro los corchetes, ni los paréntesis
saludos gracias(1 voto)