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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 3

Lección 1: El plano complejo
Matemáticas
Precálculo
Números complejos
El plano complejo
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El plano complejo

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Aprende qué es el plano complejo, y cómo se utiliza para representar números complejos.
La unidad imaginaria, o sea i, es el número que satisface las siguientes propiedades equivalentes:
  • i2=−1
  • −1=i
Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como a+bi, donde i es la unidad imaginaria y a y b son números reales.
a se llama la parte real del número, y b se llama la parte imaginaria del número.

El plano complejo

Tal como utilizamos la recta numérica para visualizar el conjunto de números reales, podemos utilizar el plano complejo para visualizar el conjunto de números complejos.
Se muestra un plano de coordenadas donde el eje x está etiquetado como el eje real y el eje y está etiquetado como el eje imaginario. La escala de ambos ejes es de uno en uno.
El plano complejo consiste de dos líneas rectas numéricas que se intersecan en un ángulo recto en el punto (0,0).
La recta numérica horizontal (que conocemos como el eje x en el plano Cartesiano) es el eje real.
La línea recta numérica vertical (el eje y en el plano Cartesiano) es el eje imaginario.

Graficar un número complejo

Cada número complejo puede representarse como un punto en el plano complejo.
Por ejemplo, consideremos el número 3−5i. Este número, que también se expresa como 3+(−5)i, tiene una parte real 3 y una parte imaginaria −5.
La ubicación de este número en el plano complejo es el punto que corresponde a 3 en el eje real y a −5 en el eje imaginario.
Se muestra un plano de coordenadas donde el eje x está etiquetado como el eje real y el eje y está etiquetado como el eje imaginario. La escala de ambos ejes es de uno en uno. Hay un punto en (tres, cinco i negativo). Una línea punteada vertical se extiende desde tres en el eje real hasta el punto y una línea horizontal se extiende desde cinco negativo en el eje imaginario hasta el punto.
Así que el número 3+(−5)i se asocia con el punto (3,−5). En general, el número complejo a+bi corresponde al punto (a,b) en el plano complejo.

Comprueba tu comprensión

Problema 1
Grafica el número complejo −4+7i.

Problema 2
Grafica el número complejo 6i+1.

Problema 3
Grafica el número complejo −i−3.

Problema 4
Grafica el número complejo 4i.

Problema 5
Grafica el número complejo −7.

Conexiones con la recta numérica real

En la época de Pitágoras, la existencia de números irracionales ¡fue un descubrimiento sorprendente! Se preguntaban cómo podía existir algo como 2 sin tener una expansión decimal exacta.
Sin embargo, la recta numérica real ayuda a rectificar este dilema. ¿Por qué? Pues porque 2 tiene una ubicación específica en la recta numérica real. (Si tomas la diagonal del cuadrado unitario y colocas un extremo en 0, el otro extremo coresponde al número 2).
Similarmente, todo número complejo de hecho existe, pues ¡corresponde a una ubicación exacta en el plano complejo! Quizá al poder visualizar estos números, podamos entender que llamar "imaginarios" a estos números fue una denominación poco apropiada.
Los números complejos existen y son parte de las matemáticas. La recta numérica real es simplemente el eje real en el plano complejo, pero ¡hay mucho más fuera de esa sola línea!

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