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Contenido principal

El plano complejo

Aprende qué es el plano complejo, y cómo se utiliza para representar números complejos.
La unidad imaginaria, o sea i, es el número que satisface las siguientes propiedades equivalentes:
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, donde i es la unidad imaginaria y start color #1fab54, a, end color #1fab54 y start color #11accd, b, end color #11accd son números reales.
start color #1fab54, a, end color #1fab54 se llama la parte start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 del número, y start color #11accd, b, end color #11accd se llama la parte start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, i, a, end text, end color #11accd del número.

El plano complejo

Tal como utilizamos la recta numérica para visualizar el conjunto de números reales, podemos utilizar el plano complejo para visualizar el conjunto de números complejos.
Se muestra un plano de coordenadas donde el eje x está etiquetado como el eje real y el eje y está etiquetado como el eje imaginario. La escala de ambos ejes es de uno en uno.
El plano complejo consiste de dos líneas rectas numéricas que se intersecan en un ángulo recto en el punto left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.
La recta numérica horizontal (que conocemos como el eje x en el plano Cartesiano) es el eje real.
La línea recta numérica vertical (el eje y en el plano Cartesiano) es el eje imaginario.

Graficar un número complejo

Cada número complejo puede representarse como un punto en el plano complejo.
Por ejemplo, consideremos el número 3, minus, 5, i. Este número, que también se expresa como start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i, tiene una parte real start color #1fab54, 3, end color #1fab54 y una parte imaginaria start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.
La ubicación de este número en el plano complejo es el punto que corresponde a start color #1fab54, 3, end color #1fab54 en el eje real y a start color #11accd, minus, 5, end color #11accd en el eje imaginario.
Se muestra un plano de coordenadas donde el eje x está etiquetado como el eje real y el eje y está etiquetado como el eje imaginario. La escala de ambos ejes es de uno en uno. Hay un punto en (tres, cinco i negativo). Una línea punteada vertical se extiende desde tres en el eje real hasta el punto y una línea horizontal se extiende desde cinco negativo en el eje imaginario hasta el punto.
Así que el número start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i se asocia con el punto left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. En general, el número complejo start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i corresponde al punto left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, comma, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis en el plano complejo.

Comprueba tu comprensión

Problema 1
Grafica el número complejo minus, 4, plus, 7, i.

Problema 2
Grafica el número complejo 6, i, plus, 1.

Problema 3
Grafica el número complejo minus, i, minus, 3.

Problema 4
Grafica el número complejo 4, i.

Problema 5
Grafica el número complejo minus, 7.

Conexiones con la recta numérica real

En la época de Pitágoras, la existencia de números irracionales ¡fue un descubrimiento sorprendente! Se preguntaban cómo podía existir algo como square root of, 2, end square root sin tener una expansión decimal exacta.
Sin embargo, la recta numérica real ayuda a rectificar este dilema. ¿Por qué? Pues porque square root of, 2, end square root tiene una ubicación específica en la recta numérica real. (Si tomas la diagonal del cuadrado unitario y colocas un extremo en 0, el otro extremo coresponde al número square root of, 2, end square root).
Similarmente, todo número complejo de hecho existe, pues ¡corresponde a una ubicación exacta en el plano complejo! Quizá al poder visualizar estos números, podamos entender que llamar "imaginarios" a estos números fue una denominación poco apropiada.
Los números complejos existen y son parte de las matemáticas. La recta numérica real es simplemente el eje real en el plano complejo, pero ¡hay mucho más fuera de esa sola línea!

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