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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 3

Lección 6: Forma polar de números complejos

Repaso de las formas de los números complejos

Repasa las diferentes formas en las que podemos representar números complejos: forma rectangular, polar y exponencial.

¿Cuáles son las distintas formas de los números complejos?


Rectangular		$a + b i$ ‍
Polar		$r (\cos (θ) + i \sin (θ))$ ‍
Exponencial		$r \cdot e^{i θ}$ ‍

Forma rectangular

a + b i

La forma rectangular de un número complejo es una suma de dos términos: la parte

real

del número y la parte

imaginaria

del número multiplicada por

i

Como tal, es realmente útil para sumar y restar números complejos.

También podemos graficar un número complejo dado en forma rectangular en el plano complejo. Las partes real e imaginarias determinan las coordenadas reales e imaginarias del número.

¿Quieres aprender más sobre la forma rectangular de los números complejos? Revisa este video sobre el plano complejo y este otro sobre la suma y resta de números complejos.

Forma polar

r (\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))

La forma polar destaca los atributos gráficos de los números complejos: el

valor absoluto

(la distancia del número al origen en el plano complejo) y el

ángulo

(el ángulo que forma el número con el eje real positivo). También se llaman

módulo

argumento

Ten en cuenta que si desarrollamos los paréntesis en la representación polar, obtenemos el número de forma rectangular:

r (\cos (θ) + i \cdot \sin (θ)) = \overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \cdot i

Esta forma es muy útil para multiplicar y dividir números complejos, debido a su comportamiento especial: el producto de dos números con valores absolutos

r_{1}

r_{2}

y ángulos

θ_{1}

θ_{2}

tendrá un valor absoluto

r_{1} r_{2}

y un ángulo

θ_{1} + θ_{2}

¿Quieres más información acerca de la forma polar de los números complejos? Revisa este video.

Forma exponencial

r \cdot e^{i θ}

La forma exponencial tiene los mismos atributos que la forma polar, el

valor absoluto

y el

ángulo

. Solo que los muestra de una manera diferente que es más compacta. Por ejemplo, la propiedad multiplicativa ahora se puede escribir como sigue:

(r_{1} \cdot e^{i θ_{1}}) \cdot (r_{2} \cdot e^{i θ_{2}}) = r_{1} r_{2} \cdot e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

Esta forma proviene del desarrollo de Euler de la función exponencial

e^{z}

para cualquier número complejo

z

. El razonamiento detrás es bastante avanzado, pero su significado es simple: para cualquier número real

x

, definimos

e^{i x}

como

\cos (x) + i \sin (x)

Usando esta definición, obtenemos la equivalencia de las formas polar y exponencial:

r \cdot e^{i θ} = r (\cos (θ) + i \sin (θ))

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