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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 3
Lección 6: Forma polar de números complejosRepaso de las formas de los números complejos
Repasa las diferentes formas en las que podemos representar números complejos: forma rectangular, polar y exponencial.
¿Cuáles son las distintas formas de los números complejos?
Rectangular | a, plus, b, i | |
Polar | r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis | |
Exponencial | r, dot, e, start superscript, i, theta, end superscript |
Forma rectangular
La forma rectangular de un número complejo es una suma de dos términos: la parte start color #11accd, start text, r, e, a, l, end text, end color #11accd del número y la parte start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, i, a, end text, end color #1fab54 del número multiplicada por i.
Como tal, es realmente útil para sumar y restar números complejos.
También podemos graficar un número complejo dado en forma rectangular en el plano complejo. Las partes real e imaginarias determinan las coordenadas reales e imaginarias del número.
¿Quieres aprender más sobre la forma rectangular de los números complejos? Revisa este video sobre el plano complejo y este otro sobre la suma y resta de números complejos.
Forma polar
La forma polar destaca los atributos gráficos de los números complejos: el start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 (la distancia del número al origen en el plano complejo) y el start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff (el ángulo que forma el número con el eje real positivo). También se llaman start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10 y start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #aa87ff.
Ten en cuenta que si desarrollamos los paréntesis en la representación polar, obtenemos el número de forma rectangular:
Esta forma es muy útil para multiplicar y dividir números complejos, debido a su comportamiento especial: el producto de dos números con valores absolutos start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 y start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 y ángulos start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff y start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff tendrá un valor absoluto start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 y un ángulo start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff.
¿Quieres más información acerca de la forma polar de los números complejos? Revisa este video.
Forma exponencial
La forma exponencial tiene los mismos atributos que la forma polar, el start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 y el start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff. Solo que los muestra de una manera diferente que es más compacta. Por ejemplo, la propiedad multiplicativa ahora se puede escribir como sigue:
Esta forma proviene del desarrollo de Euler de la función exponencial e, start superscript, z, end superscript para cualquier número complejo z. El razonamiento detrás es bastante avanzado, pero su significado es simple: para cualquier número real x, definimos e, start superscript, i, x, end superscript como cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Usando esta definición, obtenemos la equivalencia de las formas polar y exponencial:
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