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Repaso de las formas de los números complejos

Repasa las diferentes formas en las que podemos representar números complejos: forma rectangular, polar y exponencial.

¿Cuáles son las distintas formas de los números complejos?

Rectangulara, plus, b, i
Polarr, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
Exponencialr, dot, e, start superscript, i, theta, end superscript

Forma rectangular

start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i
La forma rectangular de un número complejo es una suma de dos términos: la parte start color #11accd, start text, r, e, a, l, end text, end color #11accd del número y la parte start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, i, a, end text, end color #1fab54 del número multiplicada por i.
Como tal, es realmente útil para sumar y restar números complejos.
También podemos graficar un número complejo dado en forma rectangular en el plano complejo. Las partes real e imaginarias determinan las coordenadas reales e imaginarias del número.
¿Quieres aprender más sobre la forma rectangular de los números complejos? Revisa este video sobre el plano complejo y este otro sobre la suma y resta de números complejos.

Forma polar

start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, i, dot, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, right parenthesis
La forma polar destaca los atributos gráficos de los números complejos: el start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 (la distancia del número al origen en el plano complejo) y el start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff (el ángulo que forma el número con el eje real positivo). También se llaman start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10 y start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #aa87ff.
Ten en cuenta que si desarrollamos los paréntesis en la representación polar, obtenemos el número de forma rectangular:
start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, i, dot, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, right parenthesis, equals, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #11accd, a, end color #11accd, end superscript, plus, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #1fab54, b, end color #1fab54, end superscript, dot, i
Esta forma es muy útil para multiplicar y dividir números complejos, debido a su comportamiento especial: el producto de dos números con valores absolutos start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 y start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 y ángulos start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff y start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff tendrá un valor absoluto start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 y un ángulo start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff.
¿Quieres más información acerca de la forma polar de los números complejos? Revisa este video.

Forma exponencial

start color #e07d10, r, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, end superscript
La forma exponencial tiene los mismos atributos que la forma polar, el start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 y el start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff. Solo que los muestra de una manera diferente que es más compacta. Por ejemplo, la propiedad multiplicativa ahora se puede escribir como sigue:
left parenthesis, start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, start color #9d38bd, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #9d38bd, end superscript, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, start color #9d38bd, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #9d38bd, end superscript, right parenthesis, equals, start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, left parenthesis, start color #9d38bd, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #9d38bd, right parenthesis, end superscript
Esta forma proviene del desarrollo de Euler de la función exponencial e, start superscript, z, end superscript para cualquier número complejo z. El razonamiento detrás es bastante avanzado, pero su significado es simple: para cualquier número real x, definimos e, start superscript, i, x, end superscript como cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Usando esta definición, obtenemos la equivalencia de las formas polar y exponencial:
start color #e07d10, r, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, end superscript, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, right parenthesis

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