Repaso de las formas de los números complejos

La forma rectangular de un número complejo es una suma de dos términos: la parte $\blueD{\text{real}}$start color #11accd, start text, r, e, a, l, end text, end color #11accd del número y la parte $\greenD{\text{imaginaria}}$start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, i, a, end text, end color #1fab54 del número multiplicada por $i$i.

Como tal, es realmente útil para sumar y restar números complejos.

También podemos graficar un número complejo dado en forma rectangular en el plano complejo. Las partes real e imaginarias determinan las coordenadas reales e imaginarias del número.

La forma polar destaca los atributos gráficos de los números complejos: el $\goldD{\text{valor absoluto}}$start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 (la distancia del número al origen en el plano complejo) y el $\purpleC{\text{ángulo}}$start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff (el ángulo que forma el número con el eje real positivo). También se llaman $\goldD{\text{módulo}}$start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10 y $\purpleC{\text{argumento}}$start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #aa87ff.

Ten en cuenta que si desarrollamos los paréntesis en la representación polar, obtenemos el número de forma rectangular:

Esta forma es muy útil para multiplicar y dividir números complejos, debido a su comportamiento especial: el producto de dos números con valores absolutos $\goldD{r_1}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 y $\goldD{r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 y ángulos $\purpleC{\theta_1}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff y $\purpleC{\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff tendrá un valor absoluto $\goldD{r_1r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 y un ángulo $\purpleC{\theta_1+\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff.

La forma exponencial tiene los mismos atributos que la forma polar, el $\goldD{\text{valor absoluto}}$start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10 y el $\purpleC{\text{ángulo}}$start color #aa87ff, start text, a, with, \', on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff. Solo que los muestra de una manera diferente que es más compacta. Por ejemplo, la propiedad multiplicativa ahora se puede escribir como sigue:

Esta forma proviene del desarrollo de Euler de la función exponencial $e^z$e, start superscript, z, end superscript para cualquier número complejo $z$z. El razonamiento detrás es bastante avanzado, pero su significado es simple: para cualquier número real $x$x, definimos $e^{ix}$e, start superscript, i, x, end superscript como $\cos(x)+i\sin(x)$cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Usando esta definición, obtenemos la equivalencia de las formas polar y exponencial: