Cuadráticas y el teorema fundamental del álgebra

imaginemos que tenemos una función f una función fx que está dada por un polinomio digamos éste 5x al cuadrado más 6 x más 5 este polinomio cuadrática de activo y entonces el teorema fundamental del álgebra me dice que este polinomio tiene que tener dos raíces o dos números x donde la función evaluada en ese número vale 0 2 números x tales que 5 x al cuadrado más 6 x + 5 en ese número x es igual a 0 y los invito a pasar este vídeo y tratar de encontrar esos números asumiré que ya lo hicieron y vamos a atacar el problema así a simple vista a mí al menos no se me ocurre qué números podrían ser o cómo factorizar este polinomio así que voy a utilizar la fórmula cuadrática y que me hizo la fórmula cuadrática pues me dice que voy a tratar de usar colores me dice que menos b donde b este número de aquí es el coeficiente de la x que está elevado a la potencia 1 - b en los 6 + - + menos más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado que sería 6 al cuadrado menos 4 veces menos cuatro veces donde a es este coeficiente de la x al cuadrado por c donde se es este número de aquí todo eso entre dos veces dos veces por 5 x igual a este número va a ser precisamente van a ser precisamente las raíces de este polinomio pero bueno cuánto vale este número pues este número va a ser que me parece algo los colores menos 6 más menos la raíz cuadrada de cuanto 6 al cuadrado 34 4 por 5 es 20 por 5 es 100 así que sería 34 menos 100 que sería menos 64 menos 64 a miguel un número complejo entre 2 por 5 es 10 ahora esto es muy interesante porque aquí este número es negativo o dicho de otro modo dicho de otro modo el número de al cuadrado menos 4 hace que normalmente le llaman el discriminante de este pool y no me cuadra tico es menor que cero por lo tanto voy a tener raíces complejas pero bueno veamos cuánto vale este número pues va a ser menos 6 más menos la raíz cuadrada de si extiendo la definición de la raíz cuadrada hacia los números complejos esto va a ser más o menos 8 veces y donde i es la raíz cuadrada de menos 1 todo dividido entre 10 de modo que las raíces de mi polinomio van a ser x igual a menos 6 + menos 8 y entre 10 qué es lo mismo que aquí puedo dividir todo entre dos y obtener menos tres entre cuatro menos tres entre cinco más menos 4 entre 5 x o dicho de otro modo x va a ser igual a menos tres quintos más cuatro veces cuatro quintos de iu o x es igual a menos tres quintos menos cuatro quintos de ellos así que en este caso es muy interesante porque tengo estas raíces complejas en el caso en el que este discriminante fue menor que cero tengo estas dos raíces complejas y ustedes pueden notar que incluso son conjugadas estos dos números complejos son conjugados lo cual se origina de este más menos en la fórmula cuadrática pero bueno vamos a verificar gráficamente que en realidad este polinomio no tiene raíces reales el teorema en fundamental del álgebra aquí me dice que tiene que tener dos raíces que un polinomio de grado n tiene que tener en raíces complejas pero pueden ser reales o pueden ser complejas no importa vamos a verificar gráficamente ok ya con la calculadora vamos a graficar la gráfica de igual a 5 x al cuadrado más 6 x más 5 y vamos a cambiar el rango vamos a cambiar el rango x mínimo el mínimo de x en menos días creo que está bien x máximo en 10 en la escala de x está bien en 1 ahora la vamos a poner la aie como esta función crece muy rápido vamos a ponerla en 100 en vez de en 10 y de hecho vamos a cambiar la escala para que sean cada 10 y vamos a cambiar esto al menos 20 ok entonces veamos la gráfica como se ve ahí está la gráfica y como ustedes notan parece que no corta el eje y podría ser un poco de zoom de hecho al ser suma aquí está un poco complicado mejor vamos a cambiar de nuevo el rango vamos a ponerlo de x igual a 20 y hasta 20 y vamos a cambiar la escala a 2 todos me parece que así estaría bien vamos a ver la gráfica creo que así se va a acercar lo suficiente y si ahí lo pueden ver ustedes la gráfica definitivamente no corta al eje x por lo tanto esta función no tiene ceros reales sus dos raíces son los números complejos que encontramos