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Precálculo
Curso: Precálculo > Unidad 1
Lección 1: Composición de funciones- Introducción a la composición de funciones
- Introducción a la composición de funciones
- Composición de funciones
- Evaluar funciones compuestas
- Evalúa funciones compuestas
- Evaluar funciones compuestas: usar tablas
- Evaluar funciones compuestas: usar gráficas
- Evalúa funciones compuestas: gráficas y tablas
- Encontrar funciones compuestas
- Encuentra funciones compuestas
- Evaluar funciones compuestas (avanzado)
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Composición de funciones
Examina ejemplos, explicaciones y problemas de práctica para aprender cómo determinar y evaluar funciones compuestas.
Dadas dos funciones, podemos combinarlas de tal manera que las salidas de una función se conviertan en las entradas de otra. Esta acción define una función compuesta. ¡Veamos qué significa esto!
Evaluar funciones compuestas
Ejemplo
Si f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, entonces, ¿qué es f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis?
Solución
Una forma de evaluar f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis es trabajar "de adentro hacia afuera". En otras palabras, evaluemos g, left parenthesis, 3, right parenthesis primero, y después sustituyamos ese resultado en f para encontrar nuestra respuesta.
Evaluemos g, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Como g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 29, entonces f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
Ahora evaluemos f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
Así, tenemos f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis, equals, 86.
Encontrar la función compuesta
En el ejemplo anterior, la función g convirtió 3 a 29, y la funciónf convirtió 29 a 86. Encontremos la función que convierta 3 directamente a 86.
Para hacer esto, debemos componer las dos funciones y encontrar f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Ejemplo
¿Qué es f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis?
Como referencia, recuerda que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.
Como referencia, recuerda que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.
Solución
Si observamos la expresión f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, podemos ver que start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c es la entrada de la función f. Así que sustituyamos start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c donde aparece start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 en la función f.
Como g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, podemos sustituir g, left parenthesis, x, right parenthesis por x, cubed, plus, 2.
Esta nueva función debe convertir 3 directamente a 86. Comprobémoslo.
¡Excelente!
Practiquemos
Problema 1
Problema 2
Funciones compuestas: una definición formal
En el ejemplo anterior encontramos y evaluamos una función compuesta.
En general, para indicar la función f compuesta con la función g, podemos escribir f, circle, g, que se lee como "f compuesto con g". Esta composición se define con la siguiente regla:
El siguiente diagrama muestra la relación entre left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis y f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Ahora veamos otro ejemplo con esta nueva definición en mente.
Ejemplo
Encuentra left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis y left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.
Solución
Podemos encontrar left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis de la siguiente manera:
Puesto que ahora tenemos la función h, circle, g, podemos simplemente sustituir x por minus, 2 para encontrar left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.
Por supuesto que también podríamos haber encontrado left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesisevaluando h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis. Esto se muestra a continuación:
El siguiente diagrama muestra como se relaciona left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis con h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis
Aquí podemos ver que la función g convierte minus, 2 a 2, y la función h convierte 2 a 0, mientras que la función h, circle, g convierte minus, 2 directamente a 0.
Ahora practiquemos con algunos problemas
Problema 3
En los problemas 4 y 5, sean f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 2 y g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, squared, plus, 5.
Problema 4
Problema 5
Problema de desafío
¿Quieres unirte a la conversación?
- hola! En el problema 4 no se de donde sale el 4t en el procedimiento y respuesta
me ayudan porfa :)(2 votos)- es una resolución de binomio: (t-2) al cuadrado y se resuelve así:
El cuadrado del primer término, por el doble producto del primer término por el segundo término y el cuadrado del segundo término, es decir:
(t) al cuadrado - 2(t)(2)+(2) al cuadrado = t al cuadrado -4t+4(5 votos)
- No encuentro respuesta hacia las preguntas 4 y 5(3 votos)
- El problema es que en los botones de signos no aparece el de potenciación, puedes usar la tecla ALTGr + la tecla ^ para elevar la expresión al cuadrado. Queda así g(f(t)) = (t-2)^2 +5 ------- > g(f(t)) = t^2 -4t + 9, luego que la desarrollas.(2 votos)
- en el 4 y 5 no encuentro la respuesta y aunqye la ponga la correcta no me da(2 votos)
- El problema es que en los botones de signos no aparece el de potenciación, puedes usar la tecla ALTGr + la tecla ^ para elevar la expresión al cuadrado. Queda así g(f(t)) = (t-2)^2 +5 ------- > g(f(t)) = t^2 -4t + 9, luego que la desarrollas.(2 votos)
- Alguien conoce alguna persona que sabe jaquear y necesito urgente un profesor de matematicas para 4 de secundaria.(2 votos)
- por que no me deja contestar los problemas 3,4y 5(2 votos)
- no entendí en el problema 4 de donde salió el (4t)(2 votos)
- En el primer ejemplo de "Funciones compuestas: una definición formal", ¿de dónde sale el 8x?
= (x+4)^2 − 2(x+4)
= x^2 + 8x + 16 − 2x − 8x <------ Aquí
= x^2 + 6x + 8
¿No debería ser?:
= (x+4)^2 − 2(x+4)
= x^2 + 4^2 − 2x − 8
= x^2 − 2x + 16 - 8
= x^2 − 2x + 8(1 voto)- Ya recordé el porqué:
(a+b)^2 = a^2 + 2(a)(b) + b^2
y
(a-b)^2 = a^2 - 2(a)(b) + b^2(2 votos)
- 3) Sean las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = 𝒙
𝟐 + 𝟏. Determine:
a) (𝒈 𝒐 𝒇)(𝒙) = 𝒈(𝒇(𝒙))
b) (𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙))(1 voto)- a) (g°f)(x) = x+4
b) (f°g)(x) = x+4
Stay happy, sweet and healthy!(1 voto)
- poke f(2) es igual a -3 en el ultimo ejercicio eso no lo entendi xd(1 voto)
- En cada ejercicio, determine: 𝑓 + 𝑔, (𝑓 − 𝑔)(5) 𝑓. 𝑔 , y sus dominios.
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3, g(x)x2(1 voto)