If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Composición de funciones

Examina ejemplos, explicaciones y problemas de práctica para aprender cómo determinar y evaluar funciones compuestas.
Dadas dos funciones, podemos combinarlas de tal manera que las salidas de una función se conviertan en las entradas de otra. Esta acción define una función compuesta. ¡Veamos qué significa esto!

Evaluar funciones compuestas

Ejemplo

Si f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, entonces, ¿qué es f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis?

Solución

Una forma de evaluar f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis es trabajar "de adentro hacia afuera". En otras palabras, evaluemos g, left parenthesis, 3, right parenthesis primero, y después sustituyamos ese resultado en f para encontrar nuestra respuesta.
Evaluemos g, left parenthesis, 3, right parenthesis.
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   Sustituye x=3.=29\begin{aligned}g(x)&=x^3+2\\\\ g(3)&=({3})^3 +2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Sustituye }x={3.}}}\\\\ &={29}\end{aligned}
Como g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 29, entonces f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
Ahora evaluemos f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
f(x)=3x1f(29)=3(29)1               Sustituye x=29.=86\begin{aligned}f(x)&=3x-1\\\\ f( {{29}})&=3({29}) - 1~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Sustituye }x= {29.}}}\\\\ &={86}\\\\ \end{aligned}
Así, tenemos f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis, equals, 86.

Encontrar la función compuesta

En el ejemplo anterior, la función g convirtió 3 a 29, y la funciónf convirtió 29 a 86. Encontremos la función que convierta 3 directamente a 86.
Para hacer esto, debemos componer las dos funciones y encontrar f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Ejemplo

¿Qué es f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis?
Como referencia, recuerda que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.

Solución

Si observamos la expresión f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, podemos ver que start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c es la entrada de la función f. Así que sustituyamos start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c donde aparece start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 en la función f.
f(x)=3x1f(g(x))=3(g(x))1\begin{aligned}f(\blueE x)&=3\blueE x-1\\\\ f(\maroonD{g(x)}) &= 3(\maroonD{g(x)})-1 \\ \end{aligned}
Como g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, podemos sustituir g, left parenthesis, x, right parenthesis por x, cubed, plus, 2.
f(g(x))=3(g(x))1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5\begin{aligned}{f(g(x))}&=3(g(x))-1 \\\\ &=3({x^3+2})-1 \\\\ &=3x^3+6-1\\\\ &=3x^3+5 \end{aligned}
Esta nueva función debe convertir 3 directamente a 86. Comprobémoslo.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86\begin{aligned} f( g(x))&= 3x^3+5\\ \\ f( g( 3))&= 3( 3)^3+5 \\\\ &= {86} \end{aligned}
¡Excelente!

Practiquemos

Problema 1

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2
Evalúe g, left parenthesis, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2

m, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2
n, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
Encuentra m, left parenthesis, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Funciones compuestas: una definición formal

En el ejemplo anterior encontramos y evaluamos una función compuesta.
En general, para indicar la función f compuesta con la función g, podemos escribir f, circle, g, que se lee como "f compuesto con g". Esta composición se define con la siguiente regla:
left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
El siguiente diagrama muestra la relación entre left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis y f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Ahora veamos otro ejemplo con esta nueva definición en mente.

Ejemplo

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x
Encuentra left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis y left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.

Solución

Podemos encontrar left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis de la siguiente manera:
(hg)(x)=h(g(x))Define.=(g(x))22(g(x))Sustituye g(x) por x en la funcioˊh.=(x+4)22(x+4)Sustituye x+4 en lugar de g(x).=x2+8x+162x8Distribuye.=x2+6x+8Combina teˊrminos semejantes.\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=h(g(x))&\small{\gray{\text{Define.}}}\\\\ &=(g(x))^2-2(g(x))&\small{\gray{\text{Sustituye } g(x) \text{ por } x\text{ en la función }h.}}\\\\ &=({x+4})^2 -2({x+4})&\small{\gray{\text{Sustituye } x+4 \text{ en lugar de } g(x).}}\\\\ &=x^2+8x+16-2x-8&\small{\gray{\text{Distribuye.}}}\\\\ &=x^2+6x+8&\small{\gray{\text{Combina términos semejantes.}}}\end{aligned}
Puesto que ahora tenemos la función h, circle, g, podemos simplemente sustituir x por minus, 2 para encontrar left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6(2)+8=412+8=0\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=x^2+6x+8\\\\ (h\circ g)(-2)&=(-2)^2+6(-2)+8\\\\ &=4-12+8\\\\ &=0\\\\ \end{aligned}
Por supuesto que también podríamos haber encontrado left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesisevaluando h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis. Esto se muestra a continuación:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)        Pues g(2)=2+4=2=0             Pues h(2)=222(2)=0\begin{aligned}(h\circ g)(-2)&=h(g(-2))\\\\ &=h(2)~~~~~~~~\small{\gray{\text{Pues }g(-2)=-2+4=2}}\\\\ &=0~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Pues }h(2)=2^2-2(2)=0}}\\\\ \end{aligned}
El siguiente diagrama muestra como se relaciona left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis con h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis
Aquí podemos ver que la función g convierte minus, 2 a 2, y la función h convierte 2 a 0, mientras que la función h, circle, g convierte minus, 2 directamente a 0.

Ahora practiquemos con algunos problemas

Problema 3

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 5
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, minus, 2, x
Evalúa left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

En los problemas 4 y 5, sean f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 2 y g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, squared, plus, 5.

Problema 4

Encuentra left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Problema 5

Encuentra left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Problema de desafío

Las gráficas de las ecuaciones y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis y y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis se muestran en la cuadrícula abajo.
¿Cuál de las siguientes aproxima mejor el valor de left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, 8, right parenthesis?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.