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Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 1

Lección 1: Composición de funciones
Matemáticas
Precálculo
Funciones compuestas e inversas
Composición de funciones
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Introducción a la composición de funciones

Google Classroom
Aprende porqué queremos componer dos funciones, con un ejemplo de una granja.

Cam es un agricultor. Cada año siembra semillas de maíz. La siguiente función indica la cantidad de maíz, C en kilogramos (kg), que él espera cosechar en a acres de terreno.
C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500
Por ejemplo, si Cam siembra dos acres, él espera cosechar C, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 7500, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1500, equals, 13, comma, 500 start text, k, g, end text de maíz.
Pero a Cam le interesa más saber cuánto dinero ganará al vender su maíz. Así que utiliza la siguiente función para predecir la cantidad de dinero, M en pesos, que él obtendrá al vender c kilogramos de maíz.
M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, point, 9, c, minus, 50
Entonces, si Cam cosecha 13, comma, 500, start text, space, k, g, end text de maíz, él espera obtener M, left parenthesis, 13, comma, 500, right parenthesis, equals, 0, point, 9, left parenthesis, 13, comma, 500, right parenthesis, minus, 50, equals, dollar sign, 12, comma, 100.
Observa que Cam utiliza dos funciones separadas para obtener ganancias esperadas a partir de acres cosechados. La primera función, C, convierte de acres a cantidad de maíz, mientras que la segunda, M, convierte de maíz a cantidad de dinero.
¿No sería genial si Cam pudiera escribir una función que convierta de acres sembrados directamente a ganancias esperadas?

Crear una nueva función

De hecho, ¡sí podemos obtener la función que convierte de acres sembrados directamente a ganacias esperadas! Para determinar esta función, pensemos en la pregunta más general: ¿cuánto dinero puede Cam esperar ganar si siembra maíz en a acres de terreno?
Pues bien, si Cam siembra maíz en a acres, él espera cosechar C, left parenthesis, a, right parenthesis kilogramos de maíz. Y si cosecha C, left parenthesis, a, right parenthesis kilogramos de maíz. espera ganar M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis pesos.
Entonces, para determinar la regla general que convierta a acres directamente a ganancias esperadas, podemos determinar la expresión M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.
¿Pero cómo hacer esto? Observemos que en la expresión M, left parenthesis, start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, el valor de entrada de la función M es start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54. Así que para evaluar esta expresión, podemos sustituir start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54 como valor de entrada start color #e07d10, c, end color #e07d10 en la función M.
M(c)=0.9c−50M(C(a))=0.9(C(a))−50=0.9(7500a−1500)−50          Pues C(a)=7500a−1500=6750a−1350−50=6750a−1400\begin{aligned} M(\goldD c)&=0.9\goldD c-50\\\\ M({\greenD{C(a)}})&=0.9(\greenD{C(a)})-50\\ \\ &= 0.9(\greenD{7500a-1500})-50~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Pues }}}\small{\gray{C(a)=7500a-1500} }\\\\ &= 6750a-1350-50\\\\ &=6750a-1400 \end{aligned}
De esta manera la función M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400 convierte acres sembrados directamente a ganancias esperadas. Usemos esta nueva función para predecir la cantidad de dinero que Cam obtendría al sembrar maíz en dos acres.
M, left parenthesis, C, left parenthesis, 2, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1400, equals, dollar sign, 12, comma, 100
Cam puede esperar obtener dollar sign, 12100 al sembrar maíz en dos acres de terreno, ¡lo que es consistente con el primer resultado!

Definir funciones compuestas

Hemos obtenido lo que se conoce como una función compuesta. En lugar de sustituir acres sembrados en la función del maíz, y después la cantidad de maíz cosechado en la función del dinero, obtuvimos una función que convierte acres sembrados directamente a ganancias esperadas.
Hicimos esto al sustituir C, left parenthesis, a, right parenthesis en la función M, o sea al obtener M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Llamemos M, circle, C a esta nueva función, que se lee como "M compuesta con C".
Ahora sabemos que left parenthesis, M, circle, C, right parenthesis, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Esta es, de hecho, ¡la definición formal de composición de funciones!

Visualizar los dos métodos

He aquí una ayuda visual para interpretar la definición anterior.
Al utilizar las funciones C y M, la función C (la del maíz) convierte dos a 13, comma, 500. Después la función M (la del dinero) convierte 13,500 a dollar sign12,100.
Mediante la función compuesta, vemos que M, circle, C convierte 2 directamente a dollar sign12,100.
¡Ambas son equivalentes!

Ahora practiquemos con algunos problemas.

Problema 1

Con las funciones del ejemplo, ¿cuánto dinero puede Cam esperar ganar si vende el maíz sembrado en 1.5 acres?
Como referencia: C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500, M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, point, 9, c, minus, 50, y M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
pesos

Problema 2

Ben es un agricultor de papas. La función P, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 25, comma, 000, a, minus, 1000 indica la cantidad de papas, P en kilogramos, que él espera cosechar al sembrarlas en a acres de terreno; y la función M, left parenthesis, p, right parenthesis, equals, 0, point, 2, p, minus, 200 indica la cantidad de dinero, M en pesos, que Ben espera ganar si cosecha p kilogramos de papas.
¿Cuánto dinero puede Ben esperar ganar si vende todas las papas cosechadas en tres acres?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3

¿Cuál de las siguientes expresiones indica la cantidad de dinero que Ben puede esperar ganar, si él siembra papas en a acres de terreno?
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