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Encontrar funciones compuestas

Dado que f(x)=√(x²-1) y g(x)=x/(1+x), componemos f(g(x)) y g(f(x)). Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

cuando vimos por primera vez el concepto de composición de funciones lo que hicimos fue evaluar funciones en un punto o composición de funciones en un punto lo que quiero que hagamos en este vídeo es encontrar expresiones definidas por la composición de funciones por ejemplo quiero encontrar cuáles efe de g de x efe de g de x y los invito a qué pausa en el vídeo para que traten de resolver esto por ustedes mismos en este caso gx es la entrada a la función f x así que siempre que vemos una x en esta f x es donde vamos a poner nuestro valor de entrada o en este caso nuestra función de entrada que es g de x f deje de x va a ser igual a la raíz cuadrada de en lugar de x vamos a tener gdx al cuadrado gx al cuadrado menos 1 y ahora a que es igual gx pues gx es esto de acá lo vamos a sustituir y aquí es raíz cuadrada de gmx al cuadrado pero gx es x entre 1 + x todo esto al cuadrado menos 1 así que fg de x es también una función de x que es la raíz cuadrada de x entre 1 + x todo esto al cuadrado menos 1 la raíz cuadrada de todo esto x entre 1 x todo al cuadrado menos uno ahora hagámoslo de otra manera que es g de fx gdf de x y nuevamente los invito para que causa en el vídeo y los resuelvan ustedes primero bueno ahora fx es la entrada de la función gdx entonces en donde veamos la x en gx vamos a sustituirlo por fx esto va a ser igual a fx entre uno más fx vamos a hacerlo en el mismo color para que será más claro visualmente uno más efe de x uno más fx ya que es igual esto pasa ahora vamos a sustituir fx fx que damos que es raíz cuadrada de x cuadrada - son la raíz cuadrada de x cuadrada menos 1 entre 1 más f x que es raíz cuadrada de x al cuadrado menos 1 esta es la composición efe de gx que obtenemos esto de acá y aquí abajo es gbf de x en donde obtenemos esto es muy claro que estas dos son funciones completamente diferentes así que típicamente la composición de una manera va a ser diferente de la composición de la otra manera a menos que las funciones estén diseñadas de una manera muy especial como para que no importa en qué orden se haga la composición el resultado sea el mismo