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Leer valores inversos de una gráfica

Las funciones inversas se cancelan entre sí; por lo tanto, sus gráficas intercambian las coordenadas x y y. Esto nos da una reflexión sobre y=x. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

Nos dicen: "La gráfica siguiente muestra y =  f(x)", muy bien; y la primera pregunta que nos   hacen es: "¿Cuál parece ser el valor de f¯¹(2)?"  Pausa el video e intenta responder por tu cuenta.   Muy bien, ahora trabajemos juntos. Es importante  que nos demos cuenta de que no nos preguntan por   el valor de f(2), nos piden el valor de f¯¹(2),  si nos pidieran f(2) diríamos "De acuerdo". Cuando   x = 2 esta es la entrada de nuestra función, y  entonces la gráfica nos diría que f(2) parece ser   un poquito más que 2.5, tal vez aproximadamente  2.6. Pero, ojo, esto no es lo que nos preguntan;   nos preguntan el valor de f¯¹(2), así que  recordemos qué es una función inversa: si tenemos   una entrada x y la insertamos en nuestra función  f, obtendremos como salida f(x); ahora bien, si   metemos f(x) en la función inversa de f, la salida  que obtendremos por aquí, que será f¯¹ (f(x)),   nos regresará a nuestra x original, es decir,  es igual a x. Así que, en este escenario,   estamos trabajando con esta parte de la cadena  de entradas y salidas, dicho de otra manera:   queremos encontrar cuánto es f¯¹(2), por lo  tanto, esta parte de aquí es igual a 2; y lo   que nos estamos preguntando es ¿cuál es el valor  de x cuando f(x) = 2? Entonces, cuando f(x) = 2,   ¿cuál es su valor de x correspondiente? Bueno,  es 4, así que vamos a escribirlo: f¯¹(2) = 4,   es decir, cuando x = 4 la salida de f(4) = 2,  o f¯¹(2) = 4. Ahora la siguiente parte dice:   "Esboza la gráfica de y = f¯¹(x)". Bueno, es  importante darnos cuenta de que, si decimos   que b = f(a), lo que implica es que el punto ab  está en la gráfica de f. Entonces, cuando estemos   trabajando con f¯¹ sabremos que a = f¯¹(b), es  decir, podemos pensar que estamos intercambiando   la a y la b por aquí, lo que significa que el  punto b,a estará en la gráfica de f¯¹. Así que,   en cualquier punto coordenado de nuestra gráfica  original f, al intercambiar x y y se genera un   nuevo punto que estará en nuestra f¯¹. Así que  escojamos algunos puntos, y recuerda que sólo nos   piden un esbozo, no tiene que ser una gráfica  perfecta. Si observamos este punto de aquí,   parece que es el punto -10,3.4, significa que al  intercambiar x y y tendremos un nuevo punto que   estará en la gráfica de f¯¹, es decir: si vamos  al punto 3.4,-10, nos da este punto de aquí que   estará en la gráfica de f¯¹(x). Ahora, si elegimos  otro punto, digamos este de aquí, este punto -2,3,   que está en la gráfica de f, entonces el punto  3,-2 estará en la gráfica de la función inversa.   Elijamos algunos puntos más: por acá tenemos el  punto 4,2 que está en la gráfica de f, lo que   significa que el punto 2,4 estará en la gráfica de  la inversa de f. Y ahora veamos este nuevo punto,   que parece aproximadamente 9, digamos 9,-10, tal  vez sean 9.1,-10, que está en la gráfica de f(x),   entonces intercambiamos los valores, el punto -10,  tal vez 9.1, estará en la gráfica de f¯¹(x). Así   que ahora podemos conectar los puntos para  intentar esbozar la gráfica de la función   inversa. La gráfica de la función inversa se va  a ver más o menos así. Y tal vez te des cuenta   de que la gráfica de f¯¹ parece una reflexión de  la gráfica de la función f sobre la línea y = x,   parece que es una reflexión sobre esta  línea, lo cual es completamente cierto.