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Comprobar funciones inversas por composición

Aprende cómo verificar que dos funciones son inversas al componerlas. Por ejemplo, ¿f(x)=5x-7 y g(x)=x/5+7 son funciones inversas?
Este artículo se trata de composición de funciones. Si necesitas refrescar detalles sobre este tema, te recomendamos que veas esto antes de leer este artículo.
Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si una función convierte a en b, entonces su inversa debe convertir b en a.
Tomemos las funciones f y g como ejemplo: f(x)=x+13 y g(x)=3x1.
Observa que f(5)=2 y g(2)=5.
Aquí vemos que al aplicar f seguida de g, obtenemos nuevamente el valor de entrada original. Escrito como una composición, esto es g(f(5))=5.
Pero, para que dos funciones sean inversas, debemos comprobar que esto ocurre para todo valor de entrada posible, independientemente del orden en que f y g se apliquen. Esto da lugar a la regla de composición de inversas.

La regla de composición de inversas

Estas son las condiciones para que dos funciones f y g sean inversas:
  • f(g(x))=x para todo x en el dominio de g
  • g(f(x))=x para todo x en el dominio de f
Esto es porque si f y g son inversas, componer f y g (en cualquier orden) crea una función que para cualquier valor de entrada regresa el mismo valor. A esta funcion la llamamos “la función identidad".

Ejemplo 1: las funciones f y g son inversas

Usemos la regla de composición de inversas para comprobar que f y g dadas antes son de hecho funciones inversas.
Recuerda que f(x)=x+13 y g(x)=3x1.
Encontremos f(g(x)) y g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))1=3(x+13)1=x+11=x
Vemos que las funciones f y g son inversas, pues f(g(x))=x y g(f(x))=x.

Ejemplo 2: las funciones f y g no son inversas

Si f(g(x)) o g(f(x)) no es igual a x, entonces f y g no pueden ser inversas.
Intentemos esto con f(x)=5x7 y g(x)=x5+7.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))7=5(x5+7)7=x+357=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x75+7=x75+7=x+285
Así que las funciones f y g no son inversas, pues f(g(x))x y g(f(x))x.
(Aquí observa que podíamos haber concluido que f y g no eran inversas después de mostrar que f(g(x))=x+28.)

Comprueba tu comprensión

En general, para comprobar que f y g son funciones inversas, podemos componerlas. Si el resultado es x, las funciones son inversas. De otra manera no lo son.

1) f(x)=2x+7 y h(x)=x72

Escribe expresiones simplificadas para f(h(x)) y h(f(x)) en términos de x.
f(h(x))=
h(f(x))=
¿Las funciones f y h son inversas?
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2) f(x)=4x+10 y g(x)=14x10

Escribe expresiones simplificadas para f(g(x)) y g(f(x)) en términos de x.
f(g(x))=
g(f(x))=
¿Las funciones f y g son inversas?
Escoge 1 respuesta:

3) f(x)=23x8 y h(x)=32(x+8)

Escribe expresiones simplificadas para f(h(x)) y h(f(x)) en términos de x.
f(h(x))=
h(f(x))=
¿Las funciones f y h son inversas?
Escoge 1 respuesta:

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