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Comprobar funciones inversas por composición

Aprende cómo verificar que dos funciones son inversas al componerlas. Por ejemplo, ¿f(x)=5x-7 y g(x)=x/5+7 son funciones inversas?
Este artículo se trata de composición de funciones. Si necesitas refrescar detalles sobre este tema, te recomendamos que veas esto antes de leer este artículo.
Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si una función convierte a en b, entonces su inversa debe convertir b en a.
Tomemos las funciones f y g como ejemplo: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
Observa que f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2 y g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 5.
Aquí vemos que al aplicar f seguida de g, obtenemos nuevamente el valor de entrada original. Escrito como una composición, esto es g, left parenthesis, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis, equals, 5.
Pero, para que dos funciones sean inversas, debemos comprobar que esto ocurre para todo valor de entrada posible, independientemente del orden en que f y g se apliquen. Esto da lugar a la regla de composición de inversas.

La regla de composición de inversas

Estas son las condiciones para que dos funciones f y g sean inversas:
  • f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x para todo x en el dominio de g
  • g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x para todo x en el dominio de f
Esto es porque si f y g son inversas, componer f y g (en cualquier orden) crea una función que para cualquier valor de entrada regresa el mismo valor. A esta funcion la llamamos “la función identidad".

Ejemplo 1: las funciones f y g son inversas

Usemos la regla de composición de inversas para comprobar que f y g dadas antes son de hecho funciones inversas.
Recuerda que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
Encontremos f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis y g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=g(x)+13=3x1+13=3x3=x\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=\dfrac{\greenD{g(x)}+1}{3}\\\\&=\dfrac{\greenD{3x-1}+1}{3}\\\\&=\dfrac{3x}{3}\\\\&=x\\\end{aligned}g(f(x))=3(f(x))1=3(x+13)1=x+11=x\qquad\qquad \begin{aligned}g(\purpleC{f(x)})&=3\left(\purpleC{f(x)}\right)-1\\\\&=3\left(\purpleC{\dfrac{x+1}{3}}\right)-1\\\\&=x+1-1\\\\&=x\\\end{aligned}
Vemos que las funciones f y g son inversas, pues f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x y g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x.

Ejemplo 2: las funciones f y g no son inversas

Si f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis o g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis no es igual a x, entonces f y g no pueden ser inversas.
Intentemos esto con f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, minus, 7 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, divided by, 5, end fraction, plus, 7.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=5(g(x))7=5(x5+7)7=x+357=x+28\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=5(\greenD{g(x)})-7\\\\&=5\left(\greenD{\dfrac{x}{5}+7}\right)-7\\\\&=x+35-7\\\\&=x+28\end{aligned}\qquad g(f(x))=f(x)5+7=5x75+7=x75+7=x+285\qquad\begin{aligned} g(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{\purpleC{f(x)}}{5}+7\\\\&=\dfrac{\purpleC{5x-7}}{5}+7\\\\&=x-\dfrac75+7\\\\&=x+\dfrac{28}{5}\\\end{aligned}
Así que las funciones f y g no son inversas, pues f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x y g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x.
(Aquí observa que podíamos haber concluido que f y g no eran inversas después de mostrar que f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, plus, 28.)

Comprueba tu comprensión

En general, para comprobar que f y g son funciones inversas, podemos componerlas. Si el resultado es x, las funciones son inversas. De otra manera no lo son.

1) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 7 y h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 7, divided by, 2, end fraction

Escribe expresiones simplificadas para f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis y h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis en términos de x.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
¿Las funciones f y h son inversas?
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2) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, plus, 10 y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, minus, 10

Escribe expresiones simplificadas para f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis y g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis en términos de x.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
¿Las funciones f y g son inversas?
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3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, x, minus, 8 y h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, plus, 8, right parenthesis

Escribe expresiones simplificadas para f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis y h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis en términos de x.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
¿Las funciones f y h son inversas?
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