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Verifying inverse functions from tables

Inverse functions undo each other. Functions s and t are inverses if and only if s(t(x))=x and t(s(x))=x for every x-value in the domains. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

Nos dicen: En estas tablas se muestran todos los  pares de entrada-salida para las funciones s y t. Podemos ver esta primera tabla de aquí,   donde tenemos algunas X y nos dicen cuál es el  valor S correspondiente para cada valor de X. Y luego en esta otra tabla que tenemos por acá nos   dan algunas X y nos dicen el  valor correspondiente T de X. Después nos dicen: Completa la tabla  para la función compuesta s(t(x)).   Así que tenemos que completar  estos cinco valores de aquí. Y luego nos preguntan: Las  funciones s y t ¿son inversas? Pon en pausa este video e intenta resolver esto  por tu cuenta antes de que lo trabajemos juntos. Muy bien, ahora trabajemos  juntos. Primero recordemos   lo que sucede en una función compuesta como esta. Así que tomaremos algún valor de X y observa,   primero vamos a ponerlo en la función T,  y obtendremos como valor de salida T de X. Y luego vamos a tomar ese valor de salida,   vamos a tomar esa T de X, y lo  usaremos como valor de entrada en S. Así que vamos a introducir ese valor  en S y eso nos va a dar como salida S   de lo que introdujimos que en este caso es T de X. Vamos a emprender juntos este viaje.  Primero tomamos estos números,   los introducimos en la función T para así  obtener un valor de salida y luego tomamos   ese valor de salida y lo introducimos en la  función S, va a ser un pequeño viaje divertido. Muy bien, así que cuando X es igual a 12,  primero lo introducimos en la función T. Cuando X es un valor de entrada en T la salida  es igual a –1. Así que esa es nuestra T de X, y   ahora introduciremos este –1 como valor de  entrada en S, por lo que tenemos –1 por aquí. Y cuando se introduce –1 en S se obtiene  como valor de salida… S de –1 es 12,   por lo que S de T de X es 12.  ¡Interesante!, esto es 12. Ahora vamos a hacer el siguiente. Cuando introducimos x=18 en T, es decir, 18  es el valor de entrada. T de X, T de 18 es 2. Y entonces si queremos introducir eso en S,   es decir tomaremos a 2 como valor de entrada  en S, obtenemos como valor de salida 18. …¡¡¡¡¡Muy interesante!!!!, de acuerdo, sigamos. Cuando introducimos 61 en T, el valor de   salida es 8. Después cuando tomamos 8 y lo  introducimos en S, el valor de salida es 61. Muy bien, las cosas se ven bien hasta  ahora y me estoy quedando sin colores,   voy a utilizar el verde. Cuando tomamos 70 y lo introducimos en  T, T de 70 es 7, después cuando tomas   7 y lo introduces en S obtienes 70, muy bien. La última la escribiré con  color azul. Cuando tomamos 100,   y lo introducimos en T, obtenemos –5, si introducimos –5 en S, obtenemos 100. Así que, observa, en cada situación que  hemos visto aquí, en todas estas situaciones,   vemos que S de T de X es igual a X, lo que nos  lleva a pensar que t y s son funciones inversas. Recuerda que si dos funciones son inversas,   entonces esto sería cierto y también se  cumpliría que T de S de X va a ser igual a X. Pero realmente no podemos estar  100%seguros a menos que observemos   todas las combinaciones de  los dominios de cada función. Ahora, cuando observamos estas dos tablas de  aquí arriba, podemos recordar que nos dicen lo   siguiente: En estas tablas se muestran TODOS los  pares de entrada-salida para las funciones s y t. Así que esto de aquí es el dominio de la función  S y esto de aquí es el dominio de la función T. Por lo tanto, para cada miembro de la función S,   cada miembro del dominio de la función  S, el valor de salida correspondiente   justo aquí es el dominio de la función T  y nos lleva de vuelta a donde empezamos. Y, además lo contrario también es cierto, para  cada miembro del dominio de T, el valor de salida   es la totalidad de las entradas posibles para S  y todas nos llevan de vuelta a donde empezamos. Podemos concluir entonces que  sí, las funciones son inversas.