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Los focos de una elipse a partir de su ecuación

Transcripción del video

digamos que tenemos una elipse con la siguiente ecuación x cuadrada sobre al cuadrado más de cuadrada sobre b cuadrada igual a 1 y para comenzar nuestra discusión asumamos que a es mayor que b y todo esto para nosotros nos deja saber que será una elipse un tanto gorda y un tanto corta o bien que el semieje mayor será el horizontal y que el eje menor será a lo largo del vertical y déjame dibujar esto para que se vea más claro dibujemos la elipse un poco más gruesa así que nuestra elipse va a quedar algo como esta forma luego entonces vamos a dibujar nuestros ejes este vendría siendo el eje de las x el horizontal y este nuestro eje y el vertical nosotros hemos hemos estudiado una elipse muy detalladamente en otros vídeos así que sabemos cómo figurar nos el semieje menor o el radio menor que en este caso sabemos que es b que es el mismo de acá y este es el radio menor porque es más y si fuera más grande sería entonces el radio mayor y por supuesto el semieje mayor y una propiedad realmente importante quizás hablando en cuanto a la elipse será propiedad más importante es que si tomas cualquier dos puntos que tú quieras y los miles mires la distancia de estos dos puntos importantes con los que empezamos esta discusión y bueno esto va a ser en general no solo para este caso particular vamos a llamar los focos de esta elipse y ellos o estos dos puntos son simples a lo largo del eje mayor donde en este caso sería el eje horizontal y son simétricos alrededor del origen así que ya vemos a estos dos puntos y este primero de aquí le vamos a poner le llamaremos efe uno de foco uno y este de por acá va a ser efe 2 y están señalando nuestros focos y entonces esta propiedad es la propiedad fascinante en cuanto a la elipse y normalmente es utilizada para darle la definición a la elipse pues si tomamos cualquier punto dicha elipse y mides la distancia entre cada uno de estos puntos digamos que tenemos dicha distancia por aquí y la llamaremos de uno y luego tenemos otra distancia por acá a la cual llamaremos de dos entonces si tienes cualquier punto límite es la distancia de este punto hacia los focos dicha distancia vamos a pintar dedos de diferente color para que se identifique que es una distancia diferente al de uno y estaría por aquí entonces si tienes este punto y mides la distancia de este punto a los focos y las sumas de uno más de dos te va a dar una constante y dicha constante va a ser igual a dos y de hecho aquí lo lo padre o lo importante es que esto es válido esta suma de distancias es válida a esa igualdad para cualquier punto que tú elijas sobre la elipse pues es lo que nos define en si lo que es una elipse pero para que esto quede más claro y estar con la certeza de que entiendes lo que estoy diciendo vamos a tratar de probar dicha igualdad tenemos esto de aquí y vamos a medir la distancia de este punto a este foco y la vamos a llamar a esta distancia de 3 y luego midiendo la otra distancia de este punto a este otro foco y la llamaremos de 4 nuestra distancia de por acá de el punto al otro foco de 4 y sumando estos dos puntos esto sigue siendo igual a 2 entonces déjame dibujarlo de 3 más de 4 igual a 2 sigue siendo igual a 2 lo que significa que de hecho esto es frecuentemente utilizado como la definición de elipse donde dice que la elipse es el conjunto de puntos o lugares que podemos llamar lugares para referirnos a una representación gráfica del conjunto de todos los puntos donde la suma de las distancias de los puntos a dichos focos es igual a una constante y podemos jugar un poco con esto y figurarnos como serían los focos de la elipse pero lo primero aquí es sentirse satisfecho de que la distancia si esto es verdadero es igual a 2a y la forma más fácil para visualizar esto es tomando esos puntos extremos por así decirlo a lo largo de este eje por acá y ya justo con esto estamos como afirmando que dicha distancia de aquí acá déjame remarcar lo con otro color que esta distancia más ésta instancia de por acá será igual a algún número constante y utilizando este punto extremo quiero mostrarte que dicha constante será igual a 2a así que visualicemos como para esto sería y así que una cosa más por realizar es que estos dos puntos o focos son simétricos a partir del origen porque cualquier distancia y en especial estado aquí será igual a una distancia semejante de por acá entonces puesto que ambos puntos son simétricos alrededor del origen este de aquí es la misma distancia de acá y la suma de esta distancia con esta distancia larga de por acá que nos estaría arrojando dicha dicha suma de distancias de la distancia larga con la corta y bueno esta de aquí es la misma de la distancia de por acá y al sumarle al haber de cualquiera de estas dos vamos a ponerles nombres para que la científico e identifiquemos esta va a ser la distancia gm y está la distancia h entonces dije es la misma que acá pues también esa distancia se llama g cuál es el diámetro entero del eje mayor de la elipse bueno pues nosotros sabemos que el radio mayor esa entonces éste también está y entonces la distancia la suma de la distancia de este punto de elipse a este foco más este punto de elipse a este otro foco es igual a g más h o esta distancia verde lo cual es lo mismo que el diámetro mayor de esta elipse lo cual es igual a 2 amp justo lo suficiente realmente espero que sea suficiente para que entiendas esto entonces ahora lo siguiente que vamos a realizar es como visualizar dónde van estos focos o si tenemos esta ecuación como figurarnos donde estarían dichos puntos así que la primera cosa que vamos a realizar es que no nos importa a dónde a dónde vamos pues será fácil ver estos puntos pero si tomamos este punto de aquí decimos ok cuál es la distancia y luego sumamos esta otra distancia lo cual también deberá arrojar un resultado igual y podemos utilizar esta información de hecho para ver en dónde están los focos así que digamos deja dibujó otra elipse entonces esto fue un círculo así que este es mi elipse y luego dibujamos el eje el eje de las x el eje horizontal el eje vertical y tenemos la siguiente ecuación x cuadrada sobre al cuadrado más de cuadrada sobre b cuadrada igual a 1 para no perderle el libro a las cosas y decimos que tenemos estos dos focos que son simétricos entonces si tomamos este punto de acá por lo regular los puntos extremos son muy útiles para tratar de entender ese tipo de ejemplos no siempre pero muchas veces resultado y decimos que tenemos estos dos focos que son simétricos alrededor del centro de nuestra elipse entonces éste sería f1 y f2 y ya hemos dicho que una elipse es el lugar de todos los puntos o el conjunto de todos los puntos donde si miles la distancia de dichos puntos a los focos y las sumas obtendremos una constante donde la constante la visualizamos como 2a luego de que visualizamos esto y tomamos esta distancia y la sumamos la distancia de acá será igual a 2 ahí podemos decir que esto es así si llamamos a esta distancia de 1 y la distancia de 2 la sumamos es igual a 2a entonces lo interesante aquí de todo esto es que esto simétrico cierto entonces esta distancia de 1 será igual a de 2 pues todo está siendo simétrico entonces estos dos focos y sus longitudes son simétricas y esta distancia de aquí es la misma distancia que tenemos por acá y de 1 será igual a a y de 2 pues ya no hay otra forma también será igualada puesto que este punto de aquí es el centro de la elipse entonces nuestra elipse es simétrica alrededor de los ejes así que si de 1 es igual a de 2 y esta suma es igual a 2a pues con esto podemos deducir que de 1 es igual a y esta otra también sería igual a entonces creo que ya con esto es suficiente y se ha entendido demasiado y tenemos un gran progreso otra cosa que pensar acerca de todo esto y creo que estamos listos para preguntarle respecto a nuestro dibujo sería qué es que cuál es esta distancia haciendo que nuestro es nuestro radio menor y como ya lo habíamos aprendido es ver y por supuesto es la longitud focal que tratamos de visualizar y esto si te das cuenta lo puedes como decir hey esto parece el teorema de pitágoras o es algo parecido entonces tenemos la longitud focal y vamos a hacer lo siguiente va a ser f cuadrada más b cuadrada igual a cuadrada y ahora que tenemos esta bonita de ecuación en términos de v y a y sabemos lo que a iverson en dicha ecuación pues nos los está dando la elipse entonces vamos a despejar y entonces la distancia focal sea igual a la raíz cuadrada de a cuadrada menos b cuadrada entonces son dos números cual largos como quieras o tan cortos como tú decidas tomas la raíz cuadrada y esa será la distancia focal ahora veamos si podemos usar esto para aplicarlo en algún problema donde tendríamos que preguntarnos por la longitud focal o por encontrar las coordenadas de los focos así que digamos que es la siguiente ecuación 2x tenemos la siguiente ecuación x menos 1 al cuadrado sobre 9 más que 2 al cuadrado sobre 4 igual a 1 así que veamos cómo sería la gráfica de esto y resulta bastante interesante así que dibujando los ejes tenemos por aquí nuestro eje horizontal luego nuestro eje vertical luego inmediatamente hay que ver cuál es el centro de elipse y pues sería el punto 1 coma menos 2 y si esto te causa un poco de confusión de saber cómo sabemos que ese es el centro pues puedes revisar vídeos previos para que te facilite las cosas entonces x es igual a 1 y es igual a menos 2 entonces el centro se encontraría por aquí después el eje largo mayor de las equis pues es este número a cuadrada igual a 9 entonces a es igual a más menos 3 así que por aquí tenemos 1 2 3 y luego menos 3 por acá hay que tener cuidado de ver bien dónde está el origen para que no cometamos ningún error a la hora de dibujar nuestra elipse entonces eso fue en cuanto a la delaye hay que checar ahora que su radio a menor será igual a 2 cierto pues ve es igual a 2 entonces son dos unidades para arriba y dos unidades para abajo y esta elipse va a lucir algo como así y hagamos la de color verde y entonces se ve de esta forma y lo que queremos hacer es encontrar las coordenadas de los puntos focales donde éstos estarán a lo largo de este se me el mayor y ahora necesitamos figurar nos estas distancias focales y luego esencialmente sumarlas y sustraer las del centro para obtener sus coordenadas lo que hemos simplemente mostrado es que la distancia focal la distancia focal es solamente lo siguiente la raíz de nuestras constantes a ive cuadrada entonces sería la raíz de 9 menos 4 y en este ejemplo nuestra distancia focal es la raíz de 5 así que el punto de aquí el que mostramos es el centro con 1 como menos 2 el centro uno menos 2 por lo que la coordenada del foco de acá será uno más la raíz de 51 más la raíz de 5 menos coma menos 2 y luego la coordenada del otro foco va a ser uno menos raíz de cinco menos dos y todo lo que hace o hicimos simplemente es que tomamos la distancia focal y la pusimos desde lo largo del eje mayor entonces solo sumisos traje esto de las coordenadas de las equis para obtener estas dos coordenadas de acá de todos modos todo esto es realmente necesario para cuando hablamos de una sección o de las secciones de cónicas si éstas tienen estas interesantes propiedades en relación a los focos y sus puntos en futuros vídeos vamos a mostrarte los focos pero de una hipérbola o los focos de bueno la parábola sólo tendría un foco y todo comienza a tener bastante bastante sentido y en nuestros próximos vídeos estaremos realizando más otro tipo de cuentas matemáticas en cuanto a nuestra sección de conectas