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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:14:50

Demostración de la fórmula de los focos de la hipérbola

Transcripción del video

hola en el último vídeo dijimos que sí tenemos una hiper bola con la ecuación x cuadrada sobre a cuadrada - ye cuadradas o breve cuadrada igual a 1 la distancia focal de dicha hipérbola sería efe igual ahí tenemos las constantes de aquí abajo la raíz cuadrada de a cuadrada más de cuadrada y en este video lo que quiero demostrar que es justo esto y de hecho lo que sabemos es que la ecuación que tenemos por aquí es una hipérbole la y en particular habrá la izquierda y la derecha pues éstas serían las así no estás y esto los ejes y esto es porque el término x es positivo y si el término yo fuera el positivo y el x en negativo entonces nuestra hipérbola abriría hacia arriba y hacia abajo como lo hice en el dibujito del extremo derecho y la prueba que mostraremos justo en este vídeo es simplemente un bonche de álgebra que estaremos haciendo idénticamente lo mismo para el caso en cuando llegue sea la positiva sólo que cambiando las x burgués pero sólo quería asegurarme que supieras esto y ahora hay que enfocarnos en un caso en el que en el caso particular de la hipérbole que tenemos justo aquí entonces está ahí pero la que ahora la izquierda y la derecha vamos a dibujar los ejes y entonces ahora recordemos que cuando teníamos o hablábamos de las cintas era para cuando llegué era igual a más - de sobre a y entonces vamos a utilizar mi herramienta de líneas para que nos queda en rectas las así notas luego la iss pero la va a lucir algo así la cueva interceptar por este lado al punto ccoo a coma cero y por esto otro lado interceptaría nuestro punto menos a coma cero como vimos en el video previo y luce algo así y los puntos focales van a situarse por aquí en esta parte y hablando en cuanto a nuestra longitud focal que es la raíz cuadrada de a cuadrada más de cuadrada simplemente esta distancia de aquí en la distancia es la longitud focal por lo que será efecom acero y me efecom a 0 ahora bien lo que aprendimos en el video pasado es que la definición de la hipérbole podemos decir que es el lugar de todos los puntos o un conjunto de puntos donde si tomas la diferencia de las distancias de los focos la dicha diferencia va a ser un número constante por lo que este es el punto x com ayer el cual podría hacer cualquier punto que satisfaga dicha equipación cualquier punto de la híper bola y sabemos o más bien digamos que sí tenemos la distancia de aquí vamos a llamarla de uno y le restamos otra distancia de éste a este otro foco la que la cual llamaremos de dos y dicho número es una constante independientemente de dónde estemos en hay pero la de hecho ese lugar de todos los puntos la hipérbole a ese lugar de todos los puntos que satisfagan dicha condición y como aprendimos también en el video pasado la diferencia de dicha distancia nosotros tomamos un punto y decimos ok cuales esta distancia - esta otra distancia a la cual veremos que es igual a dos agentes tenemos que de dos menos de uno es igual a 2 a así que ahora la primera cosa queremos asegurarnos que representan d1 y d2 en cuanto a su fórmula de distancia así que veamos que es de uno de uno sea la distancia entre este punto y este otro entre el punto menos efecom a 0 y lo que vamos a hacer es solamente usar la fórmula de distancia que es como con el teorema de pitágoras y es la diferencia de las x sea la diferencia de x - - efe que es nuestro primer punto en el que estamos refiriéndonos esto al cuadrado más la distancia de ye - el segundo punto que 0 al cuadrado que se cuadrada a su vez la raíz de esto entonces eso sería de 1 y queremos que ahora a ver qué es de 2 entonces de dos se puede obtener tomando el valor absoluto no preocuparnos acerca de esto entonces aquí tenemos menos la raíz para hablando en cuanto a de 2 - la raíz de x - efe al cuadrado más cuadrada y a qué se debe entonces igual esto bien pues dijimos que esto se dé igualados a que es la distancia de aquí entonces dos a es la constante de la que estamos hablando y veamos si podemos simplificar todo esto y pues ahora enfoquémonos en cómo podemos ir desarrollando esto pasemos del lado derecho nuestra raíz negativa y entonces éste lo tendríamos la raíz de x menos por - más de mass effect cuadrado más adecuada y todo esto igual a 2 a que la constante que ya teníamos más la raíz de x - efe al cuadrado más de cuadrada y bien ahora que tenemos estos dos radicales de ambas partes de la ecuación por el lado izquierdo si elevamos al cuadrado tendríamos entonces simplemente el término de x más efe al cuadrado más de cuadrada y luego el cuadrado de aquí tenemos que elevar el primer término que sería 4a cuadrada es como tener un binomio al cuadrado no entonces sería más dos veces el producto del primer término con el segundo 2 x 2 a entonces ella 4a tenemos por aquí cuatro acaso está multiplicando nuestro segundo término que viene siendo la raíz x - el cuadrado más allá al cuadrado más el segundo término elevado al cuadrado que simplemente se cancelaría la raíz al elevarlo entonces tendríamos más la parte interior aún no la voy a desarrollar entonces tendríamos más x menos efe al cuadrado más llega al cuadrado y ahora vamos a ver qué podemos ir cancelando pues tenemos bastantes términos en ambos lados de la ecuación y vemos que por aquí tenemos encuadrada en ambos lados es como si restamos que cuadra de ambas partes sin alterarla entonces se cancela y luego desarrollando este binomio el cuadrado nos queda x cuadrada +2 xf mass effect cuadrada y todo esto igual a 4 a cuadrada +4 a por la raíz ve aún no voy a desarrollar lo que está dentro de la raíz para no confundirnos entonces x - efe el cuadrado mágico adrada más desarrollando igual esté bien el cuadrado x cuadrada -2 xf más y más efe cuadrada perdón y también podemos ir cancelando aquí términos vemos que podemos cancelar x cuadrada con éste por acá también si restamos ambas partes efe cuadrada se cancela y ahora tenemos por aquí - 2 x f y por acá más 2x efe así que sumemos de por de ambos lados de la ecuación no pasemos este término para este otro lado así que agregando dos xf de ambos lados tendríamos entonces que sumarían de este lado 4x efe y perdón por el sonido que acaba de escuchar voy a pagar mi teléfono y entonces esto va a ser igual a recuerda que solamente pase 12 x f del lado izquierdo entonces va a ser igual a 4 a cuadrada +4 a por la raíz de x men o sea cuadrado más de cuadrada resulta un tanto fácil perderse con tanta álgebra pero recuerde que todo esto lo estamos haciendo para demostrar lo que habíamos planteado un inicio entonces simplemente vamos a tratar de ir simplificando la diferencia de las distancias de estos dos puntos entonces aquí la ecuación de la hipérbola es con las ive si es como llegar a entender porque es dicha raíz la longitud focal no entonces ahora vamos a desarrollar el término que tenemos dentro de la raíz es un vino en el cuadrado entonces x cuadrada -2 xf más efe cuadrada más de cuadrada y ahora podemos dividir a ambos lados de la ecuación entre 4 y una vez más para simplificar todo esto seguimos haciendo tanto como sea posible entonces vamos a tener de este lado xf menos a cuadrada pues estamos viviendo entre 4 y de este lado sería a por la raíz de x cuadrada menos dos equis efe mass effect cuadrada más de cuadrada y ahora podemos eliminar a raíz y para esto debemos ambas partes al cuadrado y entonces éste se convierte en x cuadrada efe cuadrada menos dos veces sea también como un vino en el cuadrado no entonces era menos dos veces a cuadrada por equis por efe mas ha cuadrada y pesos por este lado y esto va a ser igual ha elevado al cuadrado el lado derecho sería lo mismo que tener a cuadrada y simplemente x lo que tenemos dentro de la raíz ahora la expresión que nos está quedando de todo esto es bastante enredosa pero veamos qué podemos hacer ahora vamos a dividir de ambos lados de la ecuación entre a cuadrada y tendremos x cuadrada de verdad quiero simplificar esto lo máximamente posible y entonces tenemos aquí esto 2 x x f se cancela en la cuadra con la que tenemos arriba a cuadrada a cuarta entrega cuadrados que simplemente a cuadrada y esto es igual a x cuadrada menos 2 x f más efe cuadrada más cuadrada y muy bien ahora podemos cancelar si observamos de ambos lados tenemos menos 2 x f entonces los cancelamos no y ahora esto ya no simplifica un poco más las cosas también podemos ver que por aquí tenemos x cuadrada y x cuadrada entonces hay que restar la de ambos lados para poder tener la siguiente expresión x cuadrada por efe cuadrada sobre a cuadrada menos a 4 x cuadrada que es la que estamos restando íbamos a pasar simplemente era izquierdo llegó agrada entonces los campesinos no menos de cuadrada y ahora vamos a pasar este otro término espero que se entienda cuando digo que voy a pasar tanto x cuadrada y como ya cuadra de mi lado izquierdo de la expresión para o es lo mismo que si dijéramos que vamos a restar de ambos lados estas dos expresiones y bueno del lado derecho entonces nos queda simplemente efe cuadrada y pasamos la cuadra del lado derecho entonces efe cuadrada menos a cuadrada ahora aquí vamos a factorizar en esta expresión nuestra x cuadrada entonces nos queda efe cuadrada sobre a cuadrada -1 todo esto x x cuadradas simplemente lo estamos actualizando luego menos de cuadrada igual a esta expresión que se fue cuadrada menos a cuadrada y bien ahora podemos dividir de ambos lados de la de la expresión de la ecuación entre este término de aquí entonces a dividir todo / efe cuadrada menos a cuadrada tenemos y fui cuadradas sobreactuada -1 todo esto x x cuadrada / efe cuadrada menos a cuadrada menos que cuadrada sobre efe cuadrada menos a cuadrada y todo esto igual a uno estamos viviendo entre sí mismo entonces por eso del lado derecho nos queda que es igual a 1 y bueno pues una vez más y queremos simplificar más esto multiplicamos por un 1 al decir esto es que podemos multiplicar el número dos por a cuadrada y también abajo multiplicar por la cuadrada entonces no es igual a 1 no estaríamos alterando nuestra ecuación entonces en la parte superior al multiplicar por a cuadras efe cuadrada menos a cuadrada y luego la parte del denominado mesa cuadrada por efe cuadrada menos a cuadrada todo esto a su vez x nuestra x cuadrada y el segundo término que exactamente igual todo esto igual a 1 y entonces eso se cancelan y creo que ya está surgiendo esto como la ecuación del per bola por fin ve la luz este túnel de verdad no estábamos demasiado pero vale la pena entonces luce de la siguiente forma nuestra ecuación de la hipérbole asx cuadra sobre a cuadrada menos de cuadrada sobre efe cuadrada mesa cuadrada igual a 1 y realmente esto ya luce como una ecuación original o ordinal de una hipérbole la que psiquis cuadrada sobre la cuadrada menos ya cuadra sobre cuadrado igual a 1 y de hecho pues ésta sí es una ecuación de una hipérbola simplemente cambia la parte de nuestro denominador en el término de ye vemos que esa distancia de boca al menos a para representar nuestra distancia de acá arriba entonces podríamos jugar con álgebra e igualar dichos términos podemos decir que esta parte de aquí es la misma dacca simplemente vamos a igualar nuestras constantes entonces tenemos que la distancia focal cuadrado menos a cuadrada es igual a b cuadrada y ya simplemente ahora si sumamos de ambas partes de nuestra ecuación a cuadrada tenemos que la distancia focal al cuadrado es igual a la suma de las constantes al cuadrado entonces atacando la raíz la distancia focal es igual a raíz de la cuadrada más de cuadrada y ahora si comprobamos que está exactamente como la que propusimos en un inicio de nuestra distancia focal y optimi con mucho optimismo espero ahora si ya te quede como bien claro que es la raíz de la suma al cuadrado de dichas constantes y eso cuando hablamos en cuanto a la hipérbole la que hablamos de elipse a la raíz de la diferencia de estas constantes al cuadrado bueno las constantes al cuadrado y dicha diferencia ahora iré por un vaso de agua