La dirección y los vértices de una hipérbola

cuál de las siguientes gráficas puede representar a la hipérbola de cuadrado entre 9 - x cuadrada entre 4 igual a 1 muy bien entonces si nos damos cuenta que en este ejercicio tenemos cuatro opciones de gráficas que podrían en principio representar a esta ecuación de la hipérbola verdad entonces por ejemplo podemos ver que la opción a y la opción c son hiper bolas que abren hacia arriba y hacia abajo verdad es decir en la dirección vertical mientras que la hipérbola y la hipérbola de son hiper bolas que abren en la dirección horizontal verdad entonces podemos ver además que también tienen distintos vértices entonces tenemos hay varias opciones para poder determinar cuál de éstas corresponde a esta ecuación así que te invito a que hagas una pausa y trates de resolver este problema por tu cuenta trata de descubrir cuál es la gráfica apropiada que representa esta ecuación de la hipérbola entonces bueno hay muchas formas de resolver el problema una por ejemplo sería determinar cuál es el centro y si vemos la forma de la ecuación podríamos descubrir fácilmente que el centro es el origen es decir el punto con coordenadas 0,0 en realidad nosotros podríamos por ejemplo poner que el centro primero sería un punto de la forma h acá verdad digamos esas serían sus sus coordenadas pero de ser así entonces la forma de la ecuación tendría que ser de la siguiente de la siguiente forma sería ye menos acá al cuadrado dividido entre 9 menos x menos h al cuadrado dividido entre 4 igual a 1 verdad entonces podríamos decir bueno pues entonces para que sea igual a esta forma que tenemos acá tendría que ser 0 y h tendría que ser 0 lo cual querría decir que el centro tiene que ser el punto 0,0 verdad y aquí podemos ver qué en todas estas opciones el centro es justamente el origen verdad del 0 0 entonces bueno eso no nos ayuda mucho para descubrir cuál de estas cuatro tiene que ser verdad así que vamos a ver la siguiente pregunta será que esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo o bien abre hacia la derecha y a la izquierda es decir abre en la dirección vertical o en la dirección horizontal y la clave para descubrir esto es analizar el signo de los términos que lleva y que llevan x y el signo del término que lleva verdad es decir por ejemplo veamos aquí el signo positivo lo lleva el término con la variable de verdad entonces esto nos garantiza que la hipérbola va a abrir hacia arriba y hacia abajo se verá más o menos así verdad de hecho el signo menos corresponde al término en xy y por supuesto uno uno se preguntaría bueno y por qué es que el signo positivo en la variable que determina que abre hacia arriba y hacia abajo bueno no sé ustedes para mí siempre me gusta tratar de ver porque esto es así y no de otra forma lo que podríamos hacer es primero tratar de anular este término y para anular este término simplemente tendríamos que darle el valor de x a la coordenada x del centro es decir en este caso hacer x igual a h para que este término completo desaparezca verdad entonces en este caso podríamos hacer x igual a cero vamos a hacerlo si nosotros tenemos que x es igual a cero entonces este término se cancela verdad y simplemente nos queda que cuadrada sobre 9 tiene que ser igual a 1 o bien simplemente podríamos multiplicar de ambos lados por 9 y tendremos que cuadrada es igual a 9 verdad entonces sigue cuadrada es igual a 9 podríamos concluir que ya tiene que ser más o menos 3 verdad simplemente sacando raíz cuadrada lo cual quiere decir que tenemos 2 puntos tenemos el 0 3 y el 0,23 verdad y estos dos puntos se encuentran sobre la hipérbola verdad por ejemplo aquí en este y pérgolas y tenemos el punto 0 - 0 3 y el 0,3 en cambio aquí no lo tenemos verdad aquí está el 0 3 y el 0 menos tres y claramente no se encuentran sobre la hipérbola y esto esto se puede analizar en general verdad de hecho también podemos observar que no vamos a interceptar el eje x no vamos a interceptar eje x ok pues por ejemplo si hacemos ahora de igual a cero es decir le damos el valor de acá a nuestra variable y entonces qué es lo que tendríamos esta primer parte se cancela y sólo nos quedaría menos equis cuadrada sobre 4 es igual a 1 así que si multiplicamos por menos 1 tendríamos x cuadrado entre 4 igual a menos 1 multiplicando por menos uno de ambos lados luego multiplicamos por cuatro de ambos lados y tendremos x cuadrada igual a menos 4 y podemos ver que no hay solución es verdad por eso es que nuestra hipérbola no interese acá al eje x verdad entonces por ejemplo en este caso si intersec al eje x y por eso es que esta no es una opción para la hipérbola bien en general diríamos que la hipérbola no cruza la línea horizontal que tiene altura que tiene la misma altura que el centro bien y entonces también ya sabemos que bueno aquí le dijimos que los puntos 30 - tres son vértices de la hipérbola verdad entonces podemos ver que aquí si es que aquí sí estaban sin embargo aquí por ejemplo no se encuentran sobre la hipérbola verdad aunque aunque abre hacia arriba y hacia abajo por supuesto éste tampoco esté aquí en este ejemplo tampoco están así que podemos estar muy seguros de que nuestra opción a es la respuesta correcta esta es la gráfica que representa a esta hipérbola