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Secciones cónicas a partir de ecuaciones en forma desarrollada: el círculo y la parábola

Transcripción del video

veamos si podemos resolver un par más de ejercicios de identificación de cónicas tengo el siguiente problema tenemos x cuadrada más que cuadrada - 2 x + 4 igual a 4 entonces lo primero que me gustaría hacer es descubrir de qué tipo de cónica estamos hablando aquí tengo mi término de x cuadrada y mi término de cuadrada ambos están del mismo lado de la ecuación y ambos tienen coeficientes positivos así que esto me dice que estamos tratando con una elipse y en este caso en particular los coeficientes son iguales ambos son 1 y con esto sabemos que es una circunferencia ahora pongamos esto en su forma más simple y tratemos de graficar la circunferencia primero queremos completar el binomio al cuadrado perfecto así que tenemos nuestros términos de x que son x cuadrada menos 2 x más algo para completar el cuadrado más adelante y ahora hagámoslo con los términos de y de cuadrada más 4 y más algo es igual a es igual a 4 ahora que tenemos aquí tomamos la mitad del -2 que es menos 1 y al cuadrado se vuelve 1 sumamos 1 no tenemos nada afuera del paréntesis así que realmente sólo sumamos 1 al miembro izquierdo de la ecuación así que también debemos sumar 1 al miembro derecho y ahora tomamos la mitad de 4 que es 2 y al cuadrado es 4 y ponemos un 4 aquí pero también debemos sumarlo al miembro derecho de la ecuación y de hecho sumamos solo 4 porque no había nada multiplicando al 4 ahí afuera ahora esto se convierte en x menos 1 al cuadrado más y más 2 al cuadrado es igual a cuatro más uno más 4 es igual a 9 y aquí lo tenemos tenemos la ecuación de la circunferencia en su forma más simple recuerda que si un círculo tiene el centro en el origen su ecuación es la forma más simple sería x cuadrada más y cuadrada igual a ere cuadrada donde la ere cuadrada es el radio al cuadrado y esto nos dice que el radio de esta circunferencia es 3 y ha sido desplazada lo cual significa que su centro en lugar de estar en el origen está en el punto 1 coma menos 2 y para saber la razón de estos valores sólo hay que pensar qué valor hace esta expresión igual a 0 en este caso era el origen en este es x igual a 1 y el valor que hace esta expresión igual a 0 en este caso fue 0 y ahora es igual a menos 2 por lo tanto ese es el centro de la circunferencia ese es el radio de la circunferencia y ahora estamos listos para graficar la así que déjame ver demográfica la circunferencia primero mg mg x con eso es suficiente y sólo quiero graficar la circunferencia entonces será el y en 1212 aquí es el centro y el radio el radio estrés así que esta distancia es 3 en cualquier dirección ésta mide 3 y esta también mide 3 ese fue un ejercicio bastante sencillo las circunferencias de alguna manera al sol pero yo dije que trataríamos con una elipse y seguro dirán esta no es una elipse pero recuerda que si dividimos ambos lados de la ecuación por 9 obtenemos x menos 1 al cuadrado sobre 9 más y más 2 al cuadrado sobre 9 igual a 1 y ahí vemos que el eje horizontal creo o el diámetro horizontal mide 3 quise decir el radio horizontal mide 3 y el radio vertical igual mide 3 y como el radio nunca cambia en esta elipse vemos que en realidad es una circunferencia hagamos uno más esto es solo para asegurarnos de que tienen estos conocimientos bien tengo 2x cuadrada más y más 12 x más 16 igual a busquemos términos de x cuadrada y deje cuadrada aquí hay un término de x cuadrada pero no veo uno de g cuadrada así que es un poco como un acertijo y esto lo llevará a descubrir la cuarta de nuestras cónicas de la cual hablé en el primer vídeo pero en realidad no hemos tratado todavía y esta es la parábola pero como sé que es una parábola yo ahondar en esto en futuros vídeos y en todas las formas que puede tener una parábola ya saben que los puntos son equidistantes tanto a un punto como una recta y todo eso pero en pocas palabras ustedes reconocen a la parábola más simple y es de la forma de igual a x cuadrada la cual se ve más o menos así y su punto mínimo o vértice está en el origen o si tienen una parábola como x igual a ye cuadrada se ve así la cual es igual a la anterior pero volteada y otra vez con el vértice en el origen por ahora no veré eso pero mientras tanto nosotros sabemos que es una parábola porque tenemos una y una equis cuadrada correcto tienen grados diferentes no hay ningún término de g de segundo grado y solo para poner esto de una forma que les sea familiar restamos todo menos la del miembro izquierdo de la ecuación para tener igual a menos 2 x cuadrada - 12 x menos 16 y esta es más o menos la forma que les es familiar probablemente están acostumbrados a encontrar los ceros de esta parábola lo cual podemos hacer justo ahora podemos decir está bien cuando esta ecuación ínter seca al eje de las x el eje de las x es cuando lay es igual a 0 entonces igualando a 0 tenemos menos 2x cuadrada - 12 x menos 16 y esto es diferente a lo que siempre hacemos normalmente lo primero que haría sería completar cuadrados pero esta vez primero quiero encontrar los ceros así que este 0 es igual a menos 2 factor izando el menos 2 por equis cuadrada más 6 x más 8 entonces el cero es igual a menos 2 por x + 2 por x + 4 factor izando de nuevo y ahora para que todo esto sea 0 o esto es igual a cero o esto lo es entonces o x + 20 o x + 4 es cero así que x es igual a menos 2 y x es igual a menos 4 esos son los dos ceros parábola inmediatamente sabemos algo sobre esta parábola y seguramente ya han hecho esto en sus clases de álgebra si dibujamos el eje x está lo inter seca en 1 -2 ahí y en 3 y menos 4 justo ahí pero veamos si podemos usar nuestras habilidades para completar cuadrados para obtener más información sobre la parábola tratemos de completar el cuadrado lo voy a escribir de nuevo por aquí abajo ya igual a esto es con lo que estamos trabajando deja tomar los términos de x por sí mismos y factorizar el menos dos menos dos por equis cuadrada más 6x más algo más y aparte tenemos un -16 por aquí para hacer esto un cuadrado perfecto debo tomar la mitad de esto la mitad de 6 que es 3 y al cuadrado es 9 si sumo 9 al miembro derecho de la ecuación pero recuerden no sólo sume 9 esto es 9 x menos 2 así que si restó menos 18 si restó 18 del miembro derecho también debo hacerlo en el miembro izquierdo así que restó 18 aquí en la ecuación queda de menos 18 igual a menos 2 por que hay aquí x más 3 al cuadrado -16 y pongámoslo en una forma que sea fácil reconocer de nuestras cónicas sumemos 16 de ambos lados de 18 + 16 queda de menos 2 le pondré paréntesis a esto igual a menos 2 por x más 3 al cuadrado y se pueden preguntar por qué lo puse de esta forma y es porque esto nos ayudará esto es más o menos como el patrón que hemos visto en las otras cónicas si yo les dijera que graficarán por ejemplo que igual a x cuadrada de igual a x cuadrada se vería como déjenme dibujar dibujamos unos ejes por aquí je je ye igual a equis cuadrada se vería así es una parábola con el vértice en el origen y ahí es donde está el vértice en el punto mínimo o en el punto máximo de la parábola hablaremos más y aprenderán más sobre esto cuando entremos a cálculo pero creo que por ahora pueden reconocerlo como el punto más bajo de la uv o el más alto de la uv si quisiera dibujar de igual - x cuadrada ustedes podrían trazar algunos puntos pero se vería algo así y ahora quiero dibujar de igual a 2x cuadrada sería igual que llego a la equis cuadrada pero crecería dos veces más rápido sería así con el vértice en el origen y finalmente si quiero dibujar que igual a menos 2 x cuadrada sería así abriría hacia abajo y de crecería dos veces más rápido ahora está la ecuación con la que terminamos aquí es lo mismo que llego al menos 2 x cuadrada tiene la misma forma general pero en lugar de tener el vértice o su punto más alto como quieran llamarlo en el origen está desplazado ustedes pueden pensar que el valor de i ac esta expresión igual a 0 pues es igual a 2 mientras que en el otro caso el valor de g que hace esta expresión igual a cero es cero porque estábamos en el origen y aquí qué valor de x hace esto cero pues es x igual a menos 3 esto nos da información de dónde está el vértice está en 2 está en x igual a menos 3 y igualados entonces está en x igual a 123 llegó a la 12 está justo ahí nosotros ya conocíamos esos puntos porque buscamos los ceros de la ecuación pero aún así si no los conociéramos sabemos que tienen la forma general de llego a la menos 12 x cuadrada así que abra hacia abajo como está y un poco más rápido que ya iguala - x cuadrada así que se va a ver así y sabemos que pasa por este punto y también por este punto y listo ya hemos visto todas las cónicas y en los próximos dos vídeos profundizar un poco más en la teoría detrás de las cónicas pero creo que ya están listos para atacar mucho de lo que puedan ver en su examen de álgebra nos vemos pronto