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Secciones cónicas a partir de ecuaciones en forma desarrollada: el círculo y la parábola

Transcripción del video

veamos si podemos resolver un par más ejercicios de identificación de cónicas tengo el siguiente problema tenemos x cuadrada más eché cuadrada menos dos equis +4 ye igual a 4 entonces lo primero que me gustaría hacer es descubrir de qué tipo de konica estamos hablando aquí tengo mi término de x cuadrada y me terminó de llegada ambos están del mismo lado de la ecuación y ambos tienen coeficientes positivos así que esto me dice que estamos tratando con una elipse y en este caso en particular los coeficientes son iguales ambos son 1 y con esto sabemos que es una circunferencia ahora pongamos esto en su forma más simple y tratemos de graficar la circunferencia primero queremos completar el binomio al cuadrado perfecto así que tenemos nuestros términos de x que son x cuadrada menos dos equis más algo para completar el cuadrado más adelante y ahora hagámoslo con los términos de yeah yeah cuadrada +4 llegue más algo es igual a es igual a 4 ahora que tenemos aquí tomamos la mitad del -2 que es menos uno y al cuadrado se vuelve uno sumamos 1 no tenemos nada afuera del paréntesis así que realmente sólo sumamos 1 al miembro izquierdo de la ecuación así que también debemos sumar 1 al miembro derecho y ahora tomamos la mitad de cuatro que es 2 y al cuadrado es 4 y ponemos un 4 aquí pero también debemos sumarlo al miembro derecho de la ecuación y de hecho sumamos sólo cuatro porque no había nada multiplicando al 4 ahí afuera ahora esto se convierte en x menos uno al cuadrado más ye +2 al cuadrado es igual a cuatro más uno más cuatro es igual a 9 y aquí lo tenemos tenemos la ecuación de la circunferencia en su forma más simple recuerda que si un círculo tiene el centro en el origen su ecuación en la forma más simple sería x cuadrada más ye cuadrada igual a r cuadrada donde la erre cuadrada es el radio al cuadrado y esto nos dice que el radio de esta circunstancia estrés y ha sido desplazada lo cual significa que su centro en lugar de estar en el origen está en el punto uno coma menos dos y para saber la razón de estos valores sólo hay que pensar que valora hace esta expresión igual a cero en este caso era el origen en éste es x igual a 1 y el valor que hace esta expresión igual a cero en este caso fue cero y ahora esté igual a menos dos por lo tanto ese es el centro de la circunferencia ese es el radio de la circunferencia y ahora estamos listos para graficar la así que déjame ver demográfica la circunferencia primero dije che mg x con eso es suficiente y sólo quiero graficar la circunferencia entonces será en en en 1 - 2 1 - 2 aquí es el centro y el radio el radio estrés así que ésta distancias 3 en cualquier dirección ésta mide 3 y está también mide 3 ese fue un ejercicio bastante sencillo la circunferencia de alguna manera al son pero yo dije que trataríamos con una elipse y seguro dirán esta no es una elipse pero recuerda que si dividimos ambos lados de la ecuación por nueve obtenemos x menos uno al cuadrado sobre nueve más ye +2 al cuadrado sobre 9 igual a uno y ahí vemos que el eje horizontal creo o el diámetro horizontal mire 3 quise decir el radio horizontal mide 3 y el radio vertical igual me de tres y como el radio nunca cambia en ésta el ipse vemos que en realidad es una circunferencia hagamos uno más esto es sólo para asegurarnos de que tienen estos conocimientos bien tengo dos equis cuadrada más llegue más 12 x + 16 igual a cero busquemos términos de x cuadrada ideye cuadrada aquí hay un término de x cuadrada pero no veo uno de llegada así que es un poco como un acertijo y esto no llevará a descubrir la cuarta de nuestras cónicas de la cual hable en el primer video pero en realidad no hemos tratado todavía y esta es la parábola pero como sé que es una parábola yo ahondar en esto en futuros videos y en todas las formas que puede tener una parábola ya saben que los puntos son equidistantes tanto a un punto como una recta y todo eso pero pocas palabras ustedes reconocen a la parábola más simple y es la forma de igualar a x cuadrada la cual se ve más o menos así y su punto mínimo vértice está en el origen o si tienen una parábola como x igual aie cuadrada se vea si la cual es igual a la anterior pero volteada y otra vez con el vértice en el origen por ahora no ver eso pero mientras tanto no soy sabemos que es una parábola porque tenemos una llei una x cuadrada correcto tienen grados diferentes no hay ningún término de yebes segundo grado y sólo para poner esto de una forma que le sea familiar respetamos todo menos la aie del miembro izquierdo de la ecuación para tener que iguala menos dos equis cuadrada menos 12 x menos 16 y ésta es más o menos la forma que les es familiar probablemente están acostumbrados a encontrar los ceros de esta parábola lo cual podemos hacer justo ahora podemos decir está bien cuando esta ecuación intersec aleje de las x el eje de las x es cuando la hay es igual a cero entonces igualando a cero tenemos menos dos equis cuadrada menos 12 x menos 16 y esto es diferente a lo que siempre hacemos normalmente lo primero que haría sería completar cuadrados pero esta vez primero quiero encontrar los ceros así que este cero es igual a menos dos factory zando al menos dos por equis cuadrada más 6 x + 8 entonces el cero es igual a menos dos por x + 2 x x + 4 factory zando de nuevo y ahora para que todo esto sea cero o esto es igual a cero o esto lo es entonces o x + 20 ó x + 4 es cero así que x es igual a menos 2 y x es igual a menos cuatro esos son los dos ceros de esta parábola inmediatamente sabemos algo sobre esta parábola y seguramente ya han hecho esto en sus clases de álgebra y dibujamos l x está lo intersec a en 1 - 2 ahí y en 3 - cuatro justo ahí pero veamos si podemos usar nuestras habilidades para completar cuadrados para obtener más información sobre la parábola tratamos de completar el cuadrado lo voy a escribir de nuevo por aquí abajo ye igual a esto es con lo que estamos trabajando deja tomar los términos de x por sí mismos y factorizar al menos 2 - 2 x x cuadrada más 6 x más algo más y aparte tenemos un -16 por aquí para hacer esto un cuadrado perfecto debo tomar la mitad de esto la mitad de 6 que estrés y al cuadrado es 9 y sumó 9 al miembro de hecho de la ecuación pero recuerde no sólo sume 9 esto es 9 x - sos así que si resto menos 18 si resto 18 del miembro derecho también debo hacerlo en el miembro izquierdo así que restó 18 aquí y la ecuación queda ye -18 igual a menos dos por que hay aquí x + 3 al cuadrado - 16 y pongámoslo en una forma que sea fácil reconocer de nuestras crónicas sumemos 16 de ambos lados ye -18 +16 queda ye -2 le pondré paréntesis a esto iguala menos dos por x + 3 al cuadrado y se pueden preguntar por qué lo puse de esta forma y es porque esto nos ayudará esto es más o menos como el patrón que hemos visto en las otras crónicas si yo les dijera que grafican por ejemplo si iguala a x cuadrada o igual a x cuadrada se vería como déjenme dibujar dibujamos son los ejes por aquí mi eje ye ye igual a x cuadrada se vería así es una parábola con el vértice en el origen y ahí es donde está el vértice en el punto mínimo o en el punto máximo de la parábola hablaremos más y aprenderán más sobre esto cuando entremos a cálculo pero creo que por ahora pueden reconocerlo como el punto más bajo de la u o el más alto de la u si quisiera dibujar ye igual a menos x cuadrada ustedes podrían retrasar algunos puntos pero se vería algo así y ahora quiero dibujar ye igual a 2 x cuadrada seguía igual que que iguala x cuadrada pero crecería dos veces más rápido sería así con el perth y se en el origen y finalmente sí quiero dibujar que igual a menos dos equis cuadrada sería así abrir y hacia abajo y decrecería dos veces más rápido ahora está la cuestión con la que terminamos aquí es lo mismo que chile iguala menos dos equis cuadrada tiene la misma forma general pero en lugar de tener el vértice o su punto más alto como quieran llamarlo en el origen está desplazado ustedes pueden pensar qué valor de llegué hace esta expresión igual a cero pues es que igual a todos mientras que en el otro caso el valor de ch que hace esta expresión iguala 0-0 porque estábamos en el origen y aquí qué valor de x hace esto cero pues es x iguala a -3 esto nos da información de dónde está el vértice está en 2 está en x igual a menos tres llegó a lados entonces está en x igual a 123 ye igual a 12 está justo ahí nosotros ya conocíamos esos puntos porque buscamos los ceros de la ecuación pero aún así si nos conociéramos sabemos que tienen la forma general de llegó a la menos 12 x cuadrada así que habrá sea bajo como ésta y un poco más rápido que llegó a la - x cuadrada así que se va a ver así y sabemos que pasa por este punto y también por este punto listo ya hemos visto todas las cónicas y en los próximos dos vídeos profundizaré un poco más en la teoría detrás de las cónicas pero creo que ya están listos para atacar mucho de lo que puedan ver en su examen de álgebra nos vemos pronto