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Secciones cónicas a partir de ecuaciones en forma desarrollada: la elipse

Transcripción del video

la pregunta básica que seguido escuchamos en nuestras clases de álgebra es que qué pasaría si nos digan una ecuación y nos definirán la sección de una cónica que podríamos graficar con esto y bien si la ecuación que no ciudad no tuviera la forma estándar de ser así simplemente tendríamos que realizar cosas básicas como lo que hemos mostrado en vídeos previos para lo cual ya estamos preparados así que veamos lo que nos dice la pregunta y lo que podemos figurar nos con la siguiente ecuación así que si tenemos 9 x cuadrada + 4 y cuadrada más 54 x menos 8 james más 49 igual a 0 pero bueno una vez más como estamos viendo esta ecuación no tiene la forma estándar entonces que podríamos saber de esto y una pista rápida nos dice que tenemos términos cuadráticas tenemos xy tenemos un término de iu y ambos están elevados al cuadrado por lo que nos puede llevar a decir a obtener una información de que probablemente sean parábolas pero también no solo hemos trabajado en cuanto a parábolas también recordemos o asumiendo que estamos trabajando con cónicas también puede ser un círculo una elipse o una pérgola por eso tenemos una x cuadrada y un cuadrado ahora una bonita pista es que si ambos tuvieran el mismo número estaríamos trabajando en cuanto a un círculo y si ambos ambos tienen diferentes números pero con signos positivos estaríamos hablando de una pista que probablemente nos diría que trabajaríamos sobre una elipse o bien si uno de los términos fuera positivo y el otro negativo estaríamos trabajando con una hipérbola y bueno con todo esto podríamos decir o quizás nos ayudaría a identificar las cosas más rápidamente en este nivel pero aún no nos está dando una forma estandarizada para poder graficar así que obtengamos dicha forma entonces de una forma o de una manera rápida para no repetir palabras a este nivel sería completando cuadrados y todo esto nos facilita el graficar así que la regla para encontrar la ecuación estándar es realizando los cuadrados y entonces podemos comenzar separando x cuadradas y leyes cuadradas y agrupando las entonces por acá tenemos 9 x cuadrada más 54 x y pongamos de otro color las 'íes' con color magenta que se llama 4 y cuadrada menos 8 g y luego por acá tenemos el término independiente que es 49 y todo esto igual a 0 en realidad es sencillo lo que haremos al completar los cuadrados y podemos encontrar en este caso un factor para ambos números y en este caso sería el 9 y por acá sería el 4 para los dos entonces hagamos esto los que simplemente estamos haciendo es factorizar para cada uno de los términos entonces de este lado sería de 9 x x cuadrada más 9 x 6 de 54 más un último número que agregaré por acá pero mientras lo dejaré en blanco luego con las veces 4 x de cuadrada menos 4 por 2 es 8 entonces a menos dos más otro tercer número que agregaré pero también dejar un espacio en blanco más 49 y todo esto igual a cero y bueno qué es lo que haremos aquí en dichos espacios aquí vamos a completar nuestros cuadrados entonces en realidad estamos buscando un par de números uno para cada una de las partes estamos buscando en números para los cuales tengamos 3 y estos términos en un trinomio cuadrado perfecto y con esto podamos factorizar más fácilmente y por supuesto cualquier número que vayamos agregando aquí irá multiplicado por nueve así que serán nueve veces lo agregado y también tendremos que agregarlo del otro lado para que estemos completan nuestra ecuación y nos altere y de este otro lado estaría multiplicado por cuatro igual se agrega del lado derecho de la ecuación para no alterar la entonces si pusiéramos aquí el 1 habría que agregar los cuatro veces del otro lado y por acá si ponemos el 19 veces del otro lado puesto que 9 pues no es nueve y ya completando los y sacamos la mitad de 6 es 3 al cuadrado es 9 y entonces 9 por 9 es 81 qué fue lo que agregué de nuestro lado derecho nada más lo que hice es sacar la mitad de nuestro término intermedio luego lo llevamos al cuadrado y pues se multiplica por el 9 que estaba afuera ahora la mitad de menos 2 aquí tenemos el menos 2 de nuestro término que estaría intermedio es menos 1 al cuadrado es uno y por cuatro es cuatro entonces por este lado de nuestra ecuación cómo agregamos cuatro le sumamos cuatro del lado derecho también y acá simplemente los estamos completando para no dejar vacía nuestra ecuación y solo para entender lo que hice aquí es que si es equivalente si ponemos el 4 por acá arriba y decimos que simplemente factor izamos el 4 en el siguiente paso entonces en esto es lo que se convierte en esta expresión así que ahora por acá abajo 9 iría multiplicado por la raíz del primer término más la raíz del tercer término que es 3 y todo esto elevado al cuadrado para tener nuestro binomio cuadrado perfecto y lo mismo para nuestro caso de las 10 y por acá nos falta sumar nuestro término independiente que lo pondré de otro color más 49 y todo esto igual a 0 81 más 4 que viene siendo 85 y muy bien ahora sí ya casi lo tenemos entonces de este lado tenemos tenemos que es por x + 3 al cuadrado más 4 x menos 1 al cuadrado y restando de ambas partes de nuestra ecuación 49 esto sería igual a tener 85 menos 50 es 35 entonces 85 menos cuarenta y nueve serían 36 así que esto lo igualamos a 36 y como ves esto está tomando cada vez más forma de la ecuación estándar sin embargo de este lado no tenemos igualado a uno y estos dos términos son diferentes por lo tanto no podemos estar hablando de un círculo y para igualar nuestra ecuación a uno será conveniente que todos estos términos de este lado los dividiremos entre 36 para poder igualar a 1 entonces por aquí tenemos que es x + 3 al cuadrado y 9 sobre 36 es lo mismo que tiene 1 sobre 4 1 sobre 4 más 1 al cuadrado sobre 4 sobre 36 sería lo mismo que tener un noveno y ahora si podemos igualar nuestra ecuación a 1 y ahora si ya lo tenemos ya encontramos la forma estándar y podemos decir que nuestra intuición desde el principio fue correcta esta es de hecho una elipse y ahora podemos de hecho graficar la entonces primero que todo una buena forma de empezar es preguntándonos dónde está el centro de dicha elipse y será con x igual a menos 3 pues sería el valor que haga a este primer término 0 cuando x vale menos 3 a 0 y para que sería igual a 1 y este es nuestro centro así que grafique moss esto y veamos cómo podemos dibujar nuestra elipse entonces por aquí tenemos nuestro eje de las xy nuestro eje de las leyes y respecto a nuestro centro estaría en un cuadrante negativo entonces tenemos por acá menos 3 y de este lado es 1 entonces ese es nuestro centro ahora veamos qué es lo que pasa en cuanto a nuestro eje menor que sería para la raíz de 4 sería 2 respecto a las equis y 2 por este lado ahora respeto las leyes que en este caso serán nuestro eje mayor tenemos que la raíz de 9 es 3 entonces 123 para acá arriba por acá nos encontramos y 123 para acá abajo y esto representaría nuestro semieje mayor o nuestro radio mayor para nuestra elipse en cuanto a las 10 y luego el 12 es el semieje menor o el radio menor puede ser más corto y ahora sí estamos listos para dibujar esta elipse entonces dejarlo hago vamos a dibujar nuestra elipse y voy a hacer mi herramienta pero mi pulso es un poco malo pero se vería de esta forma y listo ahora si podemos decir que lo que hicimos fue tomar esta ecuación un poco rara y simplemente completamos los cuadrados con las xy con las leyes y luego dividimos ambas partes entre este número para llegar a una forma estándar y dijimos o esta es la forma estándar de una elipse pues tenemos estos dos términos ambos positivos y empezamos a sumar y restar términos diferentes pues los coeficientes de aquí eran diferentes entonces estamos seguros de que da una elipse nos vemos en el próximo vídeo