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Secciones cónicas a partir de ecuaciones en forma desarrollada: la hipérbola

Transcripción del video

hagamos otro problema de identificación de cónicas entonces tenemos 4 g cuadrada menos 50 x es igual a 25 x cuadrada más 16 ye más 109 lo primero que me gustaría hacer es agrupar todos los términos de g&d x de un lado de la ecuación y dejar todas las constantes del otro lado hagámoslo en el lado izquierdo pondré el 4g cuadrada 4g cuadrada y de hecho agrupar en todos los términos de x y en un solo paso así que el 4g cuadrada pasemos este 16 al lado izquierdo de la ecuación así que sí resto 16 g de ambos lados de la ecuación obtengo menos 16 y menos 16 del lado izquierdo y por supuesto éste desaparecerá del lado derecho y ahora arrestaré el 25 x cuadrada de los dos lados de esta ecuación para obtener menos 25 x cuadrada menos 50 x qué es esto de aquí y dejaré el 109 del lado derecho entonces es igual 109 y ahora que tengo las x y las yes del mismo lado de la ecuación sabemos qué tipo sabemos en qué dirección vamos porque los tenemos del mismo lado y tienen coeficientes diferentes uno es positivo y el otro negativo lo cual nos dice que estamos tratando con una hipérbola ahora completemos los cuadrados para llegar a la forma más simple de la ecuación la forma más fácil de completarlo es si tienen un coeficiente en el término de cuadrada y en el de x cuadrada factor hicimos un 4 en este caso así que queda 4 por de cuadrada menos 4 y más algo que su madre después cuando complete el cuadrado menos 25 por equis cuadrada más déjenme ver menos 50 / menos 25 es dos más dos x más algo que su madre después es igual a 109 y esto que sumaremos es lo que completará el cuadrado lo que hará esto un cuadrado perfecto entonces si tomo esto este menos cuatro lo divido a la mitad estoy completando el cuadrado los invito a ver el vídeo de completar cuadrados donde explico porque esto funciona pero entonces tengo el menos cuatro y tomo la mitad que es menos 2 y menos 2 al cuadrado es más 4 pero no puedo hacerle algo a un solo lado de la ecuación sin hacérselo también al otro lado y no sólo sume 4 al lado izquierdo sume 4 x 4 verdad porque tenemos este 4 multiplicando a todo así que sume 16 a este lado al lado izquierdo entonces también tengo que sumarlo al lado derecho este es el equivalente a tener un +16 aquí tal vez esto lo hace un poco más claro cierto cuando lo factorizar se convierte en un 4 pero es como sumar 16 aquí del mismo modo si tomamos la mitad de este número aquí la mitad de 2 es 1 y 1 al cuadrado sigue siendo 1 pero no sumamos un 1 al lado izquierdo de la ecuación sumamos un 1 por menos 25 así que debemos poner un -25 aquí e igualmente esto sería lo mismo que haber sumado menos 25 aquí arriba y ponemos menos 25 aquí y ahora en que se convierte esto estos los términos de 10 se convierten en 4 y menos 2 al cuadrado y menos 2 al cuadrado que se quieran repasar la factorización de un polinomio si encuentran un poco confuso este paso menos 25 por x más 1 al cuadrado que es esto de aquí x más 1 al cuadrado es igual a veamos 109 más 16 es 125 menos 25 es igual a 100 ya casi lo tenemos aquí queremos un 1 y para eso dividimos todo entre 100 entonces obtenemos de menos 2 al cuadrado 4 entre 100 es lo mismo que uno entre 25 entonces esto es sobre 25 - veamos 25 entre 100 es igual a un cuarto entonces esto queda como x + 1 al cuadrado sobre 4 es igual a 1 y ahí lo tienen eso está en su forma más simple y si tenemos una hipérbola ahora graphic hemos la lo primero que sabemos sobre esta hipérbola es donde está su centro su centro está en el punto x igual a menos uno está en x igual a menos uno de igual a dos ahora tratemos de encontrar las a síntomas de esta hipérbola si ésta estuviera esta es la forma en que siempre lo hago porque nunca recuerdo la fórmula si la hipérbola estuviera centrada en el origen se vería algo así y cuadrada sobre 25 - x cuadrada sobre 4 es igual a 1 hago esto para descubrir cuáles serían las as into estás si esto estuviera centrado en 0 porque es mucho más fácil trabajar con este tipo de ecuaciones que con estas así que podríamos resolverlo multiplicando ambos lados por 100 estamos tratando de repetir lo que acabamos de hacer entonces si ustedes no no de hecho multipliquemos ambos lados por 25 para obtener y cuadrada menos 25 cuartos de x cuadrada igual a 25 ahora seguiré por aquí y si ahora sumó 25 cuartos de x cuadrada de ambos lados me queda de cuadrada igual a 25 cuartos x cuadrada más 25 y entonces que es igual a más menos la raíz cuadrada de 25 cuartos x cuadrada más 25 y como siempre las a sin total la hipérbola nunca va a igualar a las a sin total nunca las va a inter secar pero estas son a lo que la gráfica se aproxima mientras x se aproxima a más y menos infinito entonces mientras x se acerca a más o menos infinito y después aprenderán el concepto del límite pero creo que mientras pueden entender esto porque la idea de una sin total es que mientras x se vuelve muy grande aproximándose a esta línea mientras x se acerca a infinito positivo o negativo como hemos hecho en los vídeos anteriores este término empieza a importar muy poco porque este otro es muy grande y entonces ya es aproximadamente igual a más menos la raíz cuadrada de solo este término ahora la raíz cuadrada de este término es 5 medios de x entonces esta sería nuestra sasin total si estuviéramos centrados en el origen pero por supuesto estamos centrados en menos 1,2 entonces graphic hemos eso y después podremos saber si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo el centro está en menos 12 déjenme ver entonces quiero estar este es mi hijo y este es el eje x y el centro está en menos 1 en 12 ese es el centro y éstas hubieran sido las asín totas si el centro estuviera en 0 0 pero esto nos dice la pendiente de las a sin total además la tsa sin todas se van a inter secar en el centro de nuestra hipérbola entonces por decir estas son las pendientes de nuestras dos asín total y 15 medios positivos y cinco medios significa que si avanzamos 212 en x avanzamos 5 hacia arriba 1 2 45 y terminamos justo aquí ahora puedo dibujar esa línea porque para dibujar una línea solo necesito dos puntos la línea se ve más o menos así y la otra así en total tiene pendiente menos cinco medios así que por cada dos que nos movamos a la derecha nos moveremos cinco hacia abajo entonces son 12 12 45 y acabamos aquí esta línea severa se verá como esta entonces estas son las dos asín total y se extenderán al infinito en estas direcciones y ahora podemos pensar de dos maneras podemos decir ok veamos si vemos la original no no veamos esta si estuviera el centro en 0 x podría ser igual a 0 bueno claro que podría ser igual a cero si x es cero entonces ya cuadrada sobre 25 es igual a 1 y cuadrada igual a 25 y ya sería igual a más menos 5 cierto así que en este caso para que este término 60 x tendría que ser igual a menos 1 si x es igual a menos 1 entonces y menos 2 al cuadrado sobre 25 será igual a 1 bueno hagamos eso veamos si x es igual a menos 1 x es igual a menos 1 entonces en que se convierte esta expresión no quiero perderlo así que lo escribiré por aquí entonces teníamos que menos 2 al cuadrado sobre 25 esto se vuelve 0 - 0 es igual a 1 entonces tenemos - 2 al cuadrado sobre 25 es igual a 1 i - 2 al cuadrado es igual a 25 acabo de multiplicar ambos lados por 25 g - 2 es igual más menos estoy sacando la raíz cuadrada de ambos lados 5 entonces sí - 2 es igual a 5 - 2 es igual - 5 sumando 2 a ambos lados de esta ecuación obtenemos que igual 7 y sumando 2 a los dos lados de esta ecuación tenemos que igual a menos tres entonces sabemos que los puntos menos 1,7 - 1,3 pertenecen a la gráfica entonces menos uno está aquí uno dos tres cuatro cinco seis siete menos 17 y menos 112 menos tres están en la gráfica esto nos deja saber que es como un tipo de hipérbola vertical y otra forma de adivinarlo es si se fijan en que el término de cuadrada es positivo o la otra forma de pensar lo es cuando tomamos la raíz positiva siempre estaremos un poquito arriba de la a sin tota este es el otro modo de pensar esto que siempre vamos a estar un poco y esta es esta es la raíz positiva la raíz positiva es la línea de arriba así que siempre estaremos sobre ella esta es la síntoma siempre estaremos un poco por arriba de ella y es obvio que este número se hace más grande y éste empieza a importar mucho menos así que la gráfica se verá algo así mira hacia abajo y después hacia arriba nunca va a tocar a la cinta pero se va a aproximar mucho se va a aproximar mucho y después continuará en esa dirección de cualquier manera espero que hayan encontrado esto útil este fue un problema más descabellado por lo que debe ser instructivo