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Tangente común entre un círculo y una hipérbola (2 de 5)

Transcripción del video

ahora que ya tenemos una visión de lo que es la tangente común con pendiente positiva respecto al círculo y la hipérbola obtenemos ahora algunas restricciones especiales sobre esta pendiente y dicho gráfico y bueno esta línea que pinte en el último vídeo de color rosa formalmente vendría siendo y igual a m x + b pues es una línea donde m va a representar la pendiente y la b representa lo que intersecta alayes ahora pensemos que restricciones deberían haber en m yves y esto sí es tangente al círculo y bueno quizás podrías verte un poco tentado al saltarte algunos cálculos y figurar te fuera de la pendiente en cualquier punto a lo largo del círculo y será una forma fácil de poderlo figurar simplemente tendríamos que razonar que si esta línea es tan gente del círculo simplemente va a interceptarlo en un solo punto y como ves te estoy señalando aquí la línea que interceptaría en un solo punto y lo vamos a igualar a esta ecuación a la ecuación que interceptará a el círculo y en realidad esto es en lo que me voy a centrar en este vídeo quizás más adelante en otro vídeo me voy a dedicar a hacer lo mismo pero para la hipérbola y bueno la lleva a ser igual a esa ecuación explícita que ya pusimos de la línea y la del círculo sería como en el vídeo pasado nos quedaría x cuadrada massieu cuadrada menos 8x y todo esto va a ser igual a cero entonces lo que podríamos realizar sería como con las dos expresiones sustituir en este caso y en la del círculo y ver también las restricciones que habría tanto para él como para b pero lo podríamos sustituir aquí y e irlo elevando al cuadrado y luego dedicarnos a ver cuál será la única intersección que es la que intersecta en un solo punto al círculo así que para realizar entonces dicha sustitución con ye cuadrada donde es igual a esto que tenemos por acá vamos ir elevando al cuadrado entonces será cuadrada igual a m cuadrada por x cuadrada más 2 mpx + b cuadrada y todo lo que hicimos es elevar el cuadrado no esta expresión así que entonces ahora sustituyendo esta expresión x y obtenida de cuadrada por aquí donde estamos encerrando y entonces proyectando este punto hacia el eje de las equis o donde lo intersecta entonces vamos a tener que ser a todo esto x cuadrada más m cuadrada por x cuadrada más 2 m por b por x más b cuadrada menos 8x y todo esto va a ser igual y exactamente aquí menos 8x y todo esto va a ser igual a 0 y si queremos reescribir lo esté este x cuadrada la tenemos en los dos términos entonces vamos a tratar como de factorizar o vamos a agrupar ambos términos entonces sería m cuadrada más uno que está x x cuadrada y al desarrollarla no tiene que quedar exactamente lo mismo y luego tenemos este término que tiene en común el x con el de por acá entonces vamos a tener más 2 m por b menos 8 y a la vez x x y finalmente este término b cuadrada y lo vamos a poner de un color naranja para que lo vayas identificando más de cuadrada y todo esto igual a cero entonces como recordarás nosotros conocíamos a m y ve de esta ecuación de por acá de la línea así que lo que podríamos hacer es utilizar la ecuación general de segundo grado y encontrar los valores de las x para nosotros ver donde intersectan entonces al recordar la ecuación cuadrática para sacar los valores de las x recordemos que es menos b más menos la raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 hace todo esto sobre 2a y esto va a ser igual a equis y esta ecuación es va a arrojar dos valores distintos de x pero en este caso nos interesa saber solamente como un valor porque es un está un punto porque están gente no entonces el discriminante o esto de aquí adentro debería de ser igual a cero pues si tenemos que esto es igual a cero entonces vamos a obtener solamente una solución así que cuando la línea es tangente con el círculo nosotros sólo podemos ver que intersecta en un punto o como en una única solución entonces si hubiera otro punto que intersecta que se verá como algo así ahí tendríamos las dos soluciones de las equis y no sería una línea tangente también podría ser el caso que interceptará todo el círculo como esta línea y entonces ahí no habría solución quiere decir que es discriminante o esta parte de aquí adentro tendría una respuesta negativa y como mencionamos por ser una línea tangente entonces esto tiene que ser igual a cero entonces ahora que hay que ver quiénes representan dichos valores esta parte que está por aquí nos va a representar al ave pero no te vayas a confundir porque está estable aquí es por eso que le elegimos sino simplemente es lo que está representando a los términos de la ecuación cuadrática entonces hagamos esto hay que reescribir entonces dichos términos clave entonces va a ser 2 m por b menos 8 al cuadrado como la ave cuadrada menos menos 4 veces estamos representando el discriminante la a en este caso la s m cuadrada más 1 por c donde se va a ser representado por la b cuadrada y todo esto entonces va a ser igual a 0 y entonces si está realmente o ciertamente hizo una línea tangente si es una línea tangente entonces vamos a ver cómo que otro tipo interesante de cosas podríamos sacar y nosotros podemos expresar la ve como una función de m y entonces desarrollando cada uno de los términos que tenemos por aquí aquí tendríamos que elevar este término al cuadrado como puedes darte cuenta entonces tendríamos 4 por m pero mejor lo voy a pintar de color azul para que se vaya entendiendo bien el desarrollo entonces tendríamos 4 por m cuadrada por b cuadrada menos por el signo que está aquí dos veces el primero por el segundo entonces estos 8 por 2 16 y 2 veces esto tendríamos menos 32 por m por b y el último número al cuadrado y esto es simplemente elevamos todo al cuadrado es un binomio al cuadrado menos todo esto menos cuatro veces esta parte de aquí adentro pero yo creo que mejor si voy a desarrollar todo vamos a ir multiplicando y expandiendo el término entonces edad 4 m cuadrada x b cuadrada unos 4 x 1 4 x cuadrada y todo esto aquí sí ya igual a 0 y ahora observando bien estos términos vemos que se van a cancelar algunos pues tenemos 4 por mb cuadrada y su negativo o ahora estoy pensando en dividir todo esto por ambos lados de la ecuación entre 4 y entonces ahora tendríamos tendríamos menos 8 m por ve más estoy viviendo entre 4 entonces 64 entre 4 nos va a dar 16 más 16 menos b cuadrada y todo esto igual a 0 y bueno ahora podríamos volver a consultar la ecuación de segundo grado la ecuación de una ecuación cuadrática así que ahora vamos a tener una restricción no vamos a esencialmente saber que esto va a estar interceptando y lo vamos a hacer en términos de nuestra pendiente y podremos hacer más adelante lo mismo pero con la hipérbola y pues tendría que dar exactamente el mismo tipo de valores al resolverlo con la pendiente pero yo creo que mejor ahorita nos enfocamos en esto ya esto le voy a dedicar los siguientes dos vídeos y entonces reescribimos esto de tal forma de que podamos observar o reconocer que es la misma cosa déjame déjame solo actualizarlo y déjame multiplicar esta ecuación de aquí por ambos lados con un signo negativo que no me alteren ecuación y este entonces se quedaría como b cuadrada más 8 mb -16 igual a cero y entonces ve va a ser igual va a ser igual a menos 8 menos 8 m más menos la ra es la raíz cuadrada de b cuadrada donde en este caso b cuadrada vendría siendo el 8 al cuadrado por m al cuadrado menos 4 veces en este caso el coeficiente de este término es 1 entonces va a ser menos 4 x 1 x menos 16 entonces aquí el menos 16 por el menos cuatro esto nos convierte en un signo positivo y entonces será 4 por 16 y todo esto a su vez entre dos veces entre dos veces pero a como habíamos dicho es igual a 1 entonces será sobre 2 y entonces ahora desarrollando o simplificando tendríamos menos 8 x m más - la raíz de eso que está por acá pero aquí 8 el cuadro de 64 y 4 por 16 y 64 entonces podemos sacarlo de la raíz entonces nos queda 8 por m cuadrada m cuadrada más 1 que es lo que teníamos adentro lo que hice fue factorizar el 64 y luego lo saqué de a raíz porque la raíz de 64 es 8 entonces no nos altera nada y a la vez todo esto sobre dos y ahora dividiendo entre el 2 esto va a ser igual a menos 4 m más menos 4 por la raíz de m cuadrada más 1 y si nosotros nosotros sumamos el 4 nosotros tendríamos vamos a pensar bien esto por un segundo si nosotros miramos la línea que aparece en el camino que yo dibujé nosotros queremos o el enunciado nos está pidiendo una pendiente positiva nos interesa una pendiente positiva y en el orden de hacer esto yo lo dibujé lo dibujé de tal manera que dicha pendiente fuera positiva y que interceptará a esta parte de borat al círculo y a la hipérbola entonces esta vez esté b es positivo es una constante positiva es una línea que intersecta entonces nosotros queremos queremos que este valor hay que pensarlo que también debería de ser positivo ahora si observamos bien esto de aquí aquí tenemos un menos 4 m más menos 4 por la raíz no entonces queremos que esto sea positivo ésta aquí ya es negativa entonces nos interesaría que esto de acá fuera positivo y entonces nuestra única oportunidad de obtener un término positivo y sumando el 4 por esta expresión que está aquí y si tú miras esto esta raíz va a ser positiva dado que aquí tenemos una suma y siempre está elevada al cuadrado entonces como podrás ver si le sumamos a este menos 4 m la raíz de m cuadrado multiplicado por cuatro eso va a ser mayor que el menos 4 entonces si nos va a arrojar un término positivo dado que es la raíz de m cuadrado pero más uno y en los siguientes vídeos pueda realizar exactamente lo mismo pero para los términos de la hipérbola y podemos llegar a las conclusiones de que la b que también va a quedar como una función de de una m también nos va a tener que arrojar valores este tipo exactamente igual es dado que es la misma línea que intersecta con misma pendiente