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Tangente común entre un círculo y una hipérbola (3 de 5)

Transcripción del video

en este vídeo vamos a trabajar ahora con la hipérbola exactamente lo mismo que hicimos con el círculo vamos a encontrar restricciones en donde intersecte la línea tangente en términos de m pero en este caso utilizando a la hipérbole y después quizás podamos igualar los entre sí y resolverlos para m entonces recordemos que la ecuación de la hipérbola es bueno en aquellos noción en este caso de ejemplo es x cuadrada sobre 9 - y cuadradas sobre 4 igual a 1 y entonces vamos a escribirla por acá la ecuación es x cuadrada sobre 9 menos de cuadrada sobre 4 y todo esto igual a 1 pero bueno deje libre el espacio de la ye cuadrada pero primero la voy a escribir bien para que se entienda solo que hay que recordar que la que ya tenemos ya la habíamos manejado anteriormente y es la ecuación que teníamos por acá arriba donde ya habíamos resuelto también su cuadrado que se me cuadrada por equis cuadrada más toda esta esta parte que está aquí entonces la podríamos sustituir sin ningún problema porque ese es el punto del ejercicio encontrar una misma línea que intersecta tanto a la hipérbola como el círculo entonces no hay problema y bueno ahora a multiplicar ambas partes de la ecuación por 36 dado que es un múltiplo común de 9 y 4 y bueno no nos afectaría al multiplicar la por ambos lados y es para quitar las fracciones así que esto 36 entre 9 nos queda 4x cuadrada menos 30 y 64 9% cuadrada en donde en este caso vamos a escribir ya lo que tenemos de ye cuadrada del vídeo anterior entonces aquí es m cuadrada por x cuadrada más dos veces m por ver por x más b cuadrada y todo esto todo esto va a ser igual va a ser igual a 36 pues recuerda que multiplicamos ambas partes de la ecuación por 36 y aquí sólo tenemos 1 entonces esos 36 y ahora ahora dando lo mismo como con nosotros ya sabíamos cómo sabíamos m la m y la ye como lo trabajamos en el vídeo anterior la m y la b deben ser tales que la línea tenga una pendiente positiva y tal que solo intersecte con la hipérbola en un solo punto y no se entregue entonces una sola solución y aquí tenemos otra vez una ecuación cuadrática que puede a carla en términos de equis pero el primero simplificamos todo y preocupémonos por eso entonces al resolver esto va a ser 4x cuadrada menos 9 m cuadra de x cuadrada multiplicar menos 18 m por b por x menos 9 por b cuadrada y ahora voy a pasar a esto solo es al multiplicar voy a pasar el 36 dentro del lado de la ecuación para que esto no se quede igual a 0 y entonces aquí tenemos una ecuación cuadrática en términos de x y ahora vamos a tratar de ordenar o combinar los diferentes términos con respecto a sus grados entonces estos de por aquí van a ser los términos sólo los que tienen a la x cuadrada entonces nos va a quedar 4 menos 9 por m cuadrada y todo a su vez x x cuadrada luego el término de acá es el único que tiene x por lo que nos queda exactamente igual menos 18 por m por b por x y finalmente las constantes las que no tienen ningún término de x y esperamos escribir menos menos 9 por vez cuadrada o no mejor lo voy a simplificar por de tal forma de que me sirva más a mí el factorizar la pero pero no yo creo que sí mejor lo hago más adelante lo que quiera factorizar la los términos de 9 y 36 pero creo que sólo va a ser mejor más adelante entonces todo esto va a ser igual a 0 y recuerda que como es una forma de cuadrática si nosotros la queremos resolver respecto a x nosotros tenemos la fórmula general de segundo grado que habíamos puesto por acá y que este discriminante que tenía aquí adentro tenía que ser igual a cero como lo hicimos en el vídeo pasado para que digamos que este b cuadrada menos 4 hace es igual a 0 para que digamos que sí tenemos una tangente y ahora ahora distinguiendo este término de aquí base debe cuadrada y una vez más no te vas a confundir que es la abe cuadrada porque este término tiene a b no tienen nada que ver son independientes entonces éste va a ser be cuadrada y sería 18 al cuadrado por elmer cuadrado por b al cuadrado y como teníamos el signo negativo al cuadrado se vuelve positivo menos cuatro veces la a donde es el 4 menos nueve por m cuadrada por c donde se nos representa las constantes que tenemos por aquí la voy a escribir de tal forma que sean menos 9 estoy factores ando en 9 por el menos nueve por be cuadrada entonces aquí adentro en nuestros coches decir al ave cuadrada más 4 por 9 es menos 36 entonces ésta está todo bien y debes de tener mucho cuidado con este tipo de factorización es para no cometer errores entonces aquí tenemos el menos 9 y éste menos 4 se va a volver un 36 se va se vuelve un 36 positivo y después sólo vamos a simplificar las cosas lo que vamos a hacer es una especie como de fantasía matemática pues tenemos tenemos que este 18 al cuadrado y recordemos recordemos que esto es la misma cosa o bueno en sí creo que todavía no me conviene hacer el siguiente paso pero primero voy a empezar con algo que sea visible no entonces esto este 18 al cuadrado es lo mismo exactamente lo mismo que si ponemos 2 por 9 2 por 9 por 2 por 9 al resolverlo te tiene que dar el mismo y entonces a su vez esto es igual a 4 por 9 por 9 y bueno después más adelante vamos a poder dividir aquí algunos términos para que se nos cancelen varias cosas pero recuerda que toda esta ecuación nos interesa que sea igual a cero entonces eso nos ayuda a poder dividir ya que sea igual a cero ambas partes de la ecuación poderla dividir entre 36 o bien que es la misma cosa que dividir entre 4 por 9 entonces este término de aquí este término de aquí a dividir entre 4 por 9 se nos van a cancelar y entonces nos lleva a tener solamente 9 por m cuadrada por b cuadrada y recordemos que todo lo estamos dividiendo entre 36 entonces nos va a ir este menos 4 x menos 9 y nos quedan simplemente más estas cosas y entonces hay que resolver este producto de estos dos términos lo que nos va a dar el 4 x b cuadrada nos va a dar más 4 b cuadrada pero déjame lo pongo mejor otro color para que se distinga el otro término entonces sería más 4 b cuadrada luego 4 x 4 + 16 luego tenemos menos 9 me cuadrada por b cuadrada nos quedan menos 9 m cuadrada por b cuadrada y luego menos 9 cuadrada por el más 4 lo que eso nos da menos 36 y todo esto menos 36 m cuadrada y todo esto igual a 0 y ahora si observas por suerte estos dos términos se nos cancelan y ahora ahora todo esto si puedes ver nos queda divisible entre 4 entonces no nos afecta en nada entonces esto nos va a quedar 4 b cuadrada entre 4 no es clave cuadrada que ese es el primer término menos menos 36 entre 4 nos va a quedar 9 en 9m cuadrada y finalmente es este término de puerta y finalmente 16 entre 4 nos quedan más 4 y todo esto será entre 4 nos va a quedar igual a 0 y una vez más podemos usar la fórmula general para resolver esto pero bueno de hecho aquí no es necesario necesario utilizar la fórmula nosotros lo podemos resolver para ver pues esto es podemos separar esto como en dos partes y entonces vamos a tener que ver cuadrada es igual a la raíz de 9 m cuadrada menos 4 no haber esperar ya me equivoqué no b cuadrada no va a ser igual a esto es que están aquí arreglando unas cosas y me está distrayendo creo que no me está dejando trabajado concentrar muy bien pero vamos a hacerlo bien y olvidemos este paso que estuvo fatal entonces será be cuadrada igual a 9 m cuadrada menos 4 es como está despejando y entonces ahora sí ahora sí ve cuadrada es igual a esto entonces al despejar no nos va a quedar b igual a la raíz de 9 me cuadrada menos 4 y si observamos esto luce bastante bastante bien pues ahora hay que ver la situación no dejemos la situación donde ve tiene que tender hacia la hipérbola convirtiéndose en esto pues a lo largo la tangente también lo fue del círculo entonces esto lo vimos en el vídeo anterior que era lo mismo que hacerlo para ver así que ahora déjame pegarlo por aquí ve tenemos que era igual a eso en cuanto al círculo vamos a pegar la vez del círculo por aquí y entonces podemos establecer que son iguales con una con otra y resolver lo que tenemos ayudándonos para sacar la m y obtener la pendiente de dicha línea tangente seguir adelante y resolverlo para ver lo cual en el siguiente vídeo