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Transcripción del video

después de haber lidiado con muchos de estos problemas de examen de ingreso me di cuenta que hay problemas en los que sólo esperan que se pasa algo y de hecho eso es lo que voy a cubrir en este vídeo una de esas cosas que sólo esperan que sepas lo que voy a hacer es desarrollar la relación entre secciones cónicas y en particular nos enfocaremos en la hipérbola y una línea tangente hicimos esto en un problema anterior pero no era el caso general así que si tenemos digamos que tenemos una hipérbole la que abre a la izquierda ya la derecha por lo que tenemos la ecuación x cuadrada sobre a cuadrada - ye cuadrada sobre b cuadrada es igual a 1 si quiero graficar esa hipérbola se vería algo así ese es el eje x éste es elegir ye abre hacia la derecha y abre hacia y abre a la izquierda y en caso de que seas curioso este punto de click si dices que lles igual a cero este punto de aquí es a coma cero y este otro es a negativa a negativa coma cero lo que quiero hacer es encontrar una relación entre éstas y vez y la ecuación de una línea tan gente así que digamos que tengo una línea tan gente que se ve algo así esto es tan gente sólo en este punto de aquí y entonces se vería algo algo así y digamos que la ecuación para esta línea tan gente es ye igual a m x donde m es la pendiente más y en lugar de decir b para la ordenada al origen normalmente llamaríamos a la ordenada al origen b para una línea pero ya usamos la ve aquí en la ecuación de la hipérbola por lo que deja me llamara está ese entonces la ce y esto es un poco inusual esta va a ser la intersección llegue así que veamos si podemos encontrar una relación entre la semes la ces la paz y las vez y estamos de hecho utilizando un problema tipo examen de ingreso sospecho que el próximo problema que haga también va a utilizar lo mismo se han visto muchos de mis videos de cómicas verán qué suelo demostrar las cosas desde los primeros principios porque la vida no puede solo memorizar fórmulas no sabrá de dónde vienen las memorizadas mal y no entenderán lo que significan realmente pero si vas a tomar un examen de ingreso te recomendaría que y sólo porque se el poco tiempo que dan a estos problemas y si tienes que demostrar desde los primeros principios no serás capaz de aprobarlos por lo que te sugiero que utilizamos una relación déjame dejar de hablar o más bien déjame dejar de hablar sin dibujar así que sólo veamos dónde se intersectan lo importante aquí es que sólo baninter secar sólo baninter secar en un punto así que lo que haré aquí es resolver para aquí cuadrada por aquí podemos multiplicar a ambos lados de esta ecuación multiplicamos ambos lados de la ecuación porque cuadrada negativa por lo que tenemos menos de cuadrada sobre a cuadrada por equis cuadrada más llegue cuadrada y ya multiplique por de cuadra negativa es igual a menos es igual a menos b cuadrada y ahora sumemos esto ambos lados de la ecuación y tenemos ye cuadrada y es igual a b cuadrada sobre a cuadrada por equis cuadrada - b cuadrada así que sólo reescribir la ecuación de la híper bola y escribamos esto también en términos de llegó adrada y luego las podemos igualar una con otra por acá por acá en este color amarillento si elevamos al cuadrado ambos lados tenemos ye cuadrada es igual a m cuadrada x cuadrada más dos veces el producto de ambos términos así que es más 2 m s x + + se cuadrada entonces para qué se intercepten ambos tienen que estar en el mismo lugar en alguna x sigue por lo que podemos igualar esta llegada a esa che cuadrada y luego intentar resolver para x y aún así no podré resolver para x porque hay muchas variables pero podemos encontrar una relación entre ésta está ve esta m y ésta se para que sólo haya un punto de intersección que por definición deberá de estar en la línea tangente hagamos eso tenemos m cuadrada m cuadrada x cuadrada más 2 m s x más se cuadrada es igual a es igual a b cuadrada sobre a cuadrada x cuadrada - b cuadrada y escribió un ejercicio muy similar a éste en el video pasado de exámenes de ingreso pero aquí me quiero enfocar en el caso más general para que tengamos algo que podamos añadir a nuestra caja de herramientas así que escribamos esto en términos de una ecuación cuadrática en x entonces si restamos esto en ambos lados tenemos m cuadrada m cuadrada - p cuadrada sobre a cuadrada - b cuadradas sobre a cuadrada por equis cuadrada por equis cuadrada aquí sólo le reste a este término este término de acá y luego mi único término de primer grado de x está justo aquí por lo que es más 2 m s x + 2 msx y luego finalmente más más tenemos una se cuadra da y luego de hecho vamos a tener una más de cuadrada por ahí así que esto va a hacer esto va a ser más se cuadrada más se cuadrada más más de cuadrada ahora para que esta ecuación sólo tenga una solución dejan escribir esto va a ser igual a esto va a ser igual a cero para que éstos sólo tenga una solución el discriminante de esta ecuación cuadrática y recuerda si yo cuando haga la ecuación cuadrática y esto es completamente indiferente por lo que menos ve más o menos esto es la fórmula cuadrática la raíz cuadrada de ver cuadrada -4 -se sobre dos a sólo vamos a tener una solución si esta cosa de aquí si esta cosa de aquí si el discriminante de ahí es igual a cero entonces si ve cuadrada -4 hace es igual a cero sólo tendrás esta solución - b entre dos a por lo que en esta situación para la línea tangente puede sólo tener una solución una ex que satisfaga esta ecuación por lo que ve por lo que ve cuadrada -4 hace tiene que ser igual a cero en la ecuación cuadrática éstas son vez así seis diferentes de las que estamos utilizando aquí por aquí por aquí nuestra bebé es esa de ahí el único eficiente en el término de x y eso al cuadrado es 4m cuadrada se cuadrada y le vamos a arrestar a eso menos cuatro por a aes a es todo esto de aquí y sólo para simplificar las cosas déjame hacer esto positivo y luego multiplicar esto por un signo negativo y vamos a invertir el signo entonces queda menos cuatro pongo un más aquí por y ahora multiplicó esto por menos uno y ahora queda de cuadrada sobre a cuadrada - m cuadrada y luego la ce es este término de aquí este de aquí ese se es se cuadrada más de cuadrada y esto va a ser igual a cero si esta línea están gente si sólo tenemos si sólo tenemos una solución veamos la primera cosa que podemos hacer para simplificar esto es dividir ambos lados de la ecuación entre cuatro y si hacemos eso esto se convierte en y quiero hacer eso en negro esto se convierte en uno por lo que podemos ignorar eso y éste se vuelve un 1 por lo que eso significa nuestra ecuación un buen tanto y ahora desarrollaremos la multiplicación de este segundo término así que tenemos de cuadradas sobre a cuadrada porsche cuadrada eso es de cuadrada por c cuadrada sobre a cuadrada y luego es de cuadrada sobre a cuadrada por b cuadrada entonces es más de a la cuarta sobre a cuadrada y luego tienes m cuadrada negativa porsche cuadrada entonces déjame hago esto en otro color entonces tienes menos para la m cuadrada - m cuadrada se cuadrada y luego tienes menos m cuadrada por de cuadrada - m cuadrada b cuadrada y por supuesto que todo esto va a ser igual a cero y tenemos es tm cuadrada se cuadrará aquí adelante m cuadrada se cuadrada aquí y afortunadamente esto se cancela con esto y ahora qué nos queda cada término es divisible entrevé cuadrada así que dividamos cada término entrevé cuadrada esto sólo se volverá un 1 esto será p al cuadrado y éste sólo será uno y ahora multipliquemos todo por la cuadra da para deshacernos de las fracciones cuando multiplicamos todo por la cuadrada este término de aquí se vuelve se cuadrada se cuadrada este término de aquí es sólo de cuadrada y luego y luego todo lo que nos queda es y tenemos esta - m cuadrada recuerda que estamos explicada por la cuadrada entonces menos a cuadrada por m cuadrada es igual a cero o podemos sumar esto a ambos lados de la ecuación y tenemos se cuadrada más de cuadrada es igual a es igual a es igual a a cuadra da es igual a la cuadrada m cuadrada y lo que es importante de esto es que ahora tenemos una relación muy simple si sabemos la línea si sabemos la línea si sabemos la ecuación de la línea de aquí sí sabemos lo que me dice son tendremos una relación interesante para a y b si sabemos los valores de ahí ve tendremos una relación interesante para la ecuación de la línea y tal vez si tuviéramos otras restricciones podríamos resolver para ellas pero pero vamos a tomar esto y usarlo en el siguiente problema de examen de ingreso que hagamos