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Ecuación de una hipérbola trasladada

Transcripción del video

hola que tal veamos si podemos abordar un nuevo problema de cómo obtener la gráfica de una hipérbola pero un poco más complicado donde la función es x menos 1 al cuadrado sobre 16 sobre 16 menos y más 1 todo esto al cuadrado sobre 4 sobre 4 igual a 1 así que la primera cosa que podemos reconocer es que debe quedar claro es que la ecuación de una hipérbola que hemos estado trabajando desde vídeos previos donde a diferencia de la elipse tenemos un menos afectando nuestro segundo término así que también puedes identificar qué tipo de sección de cónica es y como segundo paso sería identificar cuál es su gráfica así que aquí tenemos la ecuación de una hipérbola como lo habíamos dicho y espero ya no haya problemas con ella y una forma fácil como habíamos dicho de reconocer es por el menos que está afectando a la aie cuadrada y de hecho nosotros podemos cambiarlo y obtener la clásica ecuación rizada de la hipérbola y tenemos por aquí que sería x cuadrada sobre 16 - ye cuadradas sobre 4 igual a 1 y todo esto para obtener una facilidad mayor de como entender las cosas y bien acabo de escribir como sabemos esta área centrada en el 0 0 y éstas tendrían en común las mismas así en total sólo que esta segunda bueno esta primera que escribimos estaría centrada en el 1,21 donde vendría siendo x igual a 1 e igual a menos 1 y la forma de pensar esto es que si x es igual a 1 es para que dicho término se convierta en 0 y por eso es parte del centro y lo mismo para allí igual a menos uno hace todo el dicho término igual a cero y aquí por supuesto el centro es el origen el centro es el 0 0 una forma sencilla de graficar esto es graficando primero la estandarizada y luego viendo que cambia para cuando nuestro centro es el 1 - 1 así que hagamos esto vamos a figurar nos cuál sería la pendiente de dichas a sin total y luego enviarla o adaptarla para nuestra otra ecuación entonces si vamos con esta resolvamos x ya que es como siempre se empieza y entonces tendríamos lo siguiente a la hora de restar de ambas partes de la ecuación x cuadrada sobre 16 nos queda de este lado al menos 10 cuadrada sobre 4 igual a menos x cuadradas sobre 16 más 1 y trabajando sobre esta hipérbola vamos a ahora a multiplicar ambos lados de nuestra ecuación x menos 4 y luego entonces tendríamos que esto es igual a 10 cuadrada igual a al menos 4 por el menos x cuadradas que sé que algo positivo entonces es x cuadradas sobre 44 entre 16 nos queda un cuarto menos 4 y entonces ahora si es igual a más menos la raíz cuadrada de ese término de x cuadrada sobre 4 menos 4 así que ahora para figurar nos lajas into estás sólo tendríamos que pensar qué pasaría si x se aproxima a más infinito oa menos infinito si x toma un valor muy grande positivamente o muy grande negativamente y dicho análisis lo hemos hecho demasiadas veces anteriormente y yo creo que sea importante ahora ver cómo se comportaría dicha fórmula y no es importante memorizarlo pues siempre va a cambiar así que ahora por nuestra intuición veamos qué dice la ecuación que nos puede decir cuando x se aproxima a más menos infinito la función o cómo se va a poder comportar nuestra gráfica entonces ya se estaría aproximando en este caso una vez más podemos observar que este término va a dominar dicha función que esté menos 4 cuando tomemos valores muy muy grandes positivos o negativos este valor en realidad no mueve tanto a nuestra función por lo que entonces podríamos decir que conforme nos estamos aproximando a infinito o menos infinito va a ser aproximadamente más menos la raíz cuadrada de x cuadrada sobre 4 y al calcular la raíz de esto es más x sobre 2 así que hagámoslo si dibujamos nuestras asín todas estas as in total estarán representadas de la siguiente forma recuerda que esto que acabamos de hacer es justo para encontrarlas entonces ahora por supuesto tendríamos que ver más adelante como serían para cuando el centro es igual a 1 - 1 así que voy a dibujar dichas líneas pero bueno en realidad los síntomas no cambiarían simplemente está como recorriendo el centro de dicha hipérbola así que aquí tenemos nuestro eje de leyes y por acá estará nuestro eje de las x luego entonces busquemos el centro uno menos uno y por aquí tenemos el uno que avanzamos y el menos uno nuestro centro de dicha hipérbola estaría por aquí así que nuestro resultado obtenido tendríamos más o menos un medio así que lleguemos a la parte positiva y lo que significa para cuando tenemos dos unidades hacia la derecha en realidad nos estaríamos moviendo una dada la gráfica no entonces ésta será la primera tendremos una dos unidades que sería en este punto de por aquí y nuestra sin total atravesaría por acá pero vamos a extenderla para que sea más gráfico y luego entonces si trazamos nuestras into está negativa la de pendiente negativa veamos también en dónde se sitúa el centro uno menos uno y respecto a esto vamos a trazar nuestro punto de la asín total y la veríamos reflejada por este lado de acá entonces como es pendiente negativa se va hacia la izquierda y también la vamos a extender un poco para que se vea más gráfico esto y en fin estas son nuestras y en total ya para nuestro centro 1 coma menos 1 bueno y ahora que tenemos nuestras a síntomas de la hipérbola la pregunta sería será una hipérbola vertical u horizontal y una forma sencilla de ver esto bueno en realidad existen dos formas de ver esto si solo vemos la ecuación de aquí cuando tomamos la raíz positiva este va a ser ligeramente por debajo de la a sin total la cinta es esto de por aquí bueno lo que me quiero referir es que este menos 4 va a abarcar diferencia para cuando estemos ligeramente por arriba de la 5ta o ligeramente por abajo de nuestra así dependiendo de la raíz que tomemos pero bueno lo que me dice mi intuición sería que vamos a estar un poco por debajo de la raíz negativa pero en realidad lo que voy a hacer es checarlo de la otra manera y lo haré como en el último vídeo que pasa para cuando este término es cero este término de por aquí para cuando x es igual a 1 eso puede siempre pasar pues x1 si x es igual a 1 aquí dicho término se hace cero y luego tenemos la situación para cuando x es igual a 1 y esto es seguramente 0 entonces vamos a tener menos de uno bueno ye más un al cuadrado pero ese término en realidad es negativo por lo que x no va a ser igual a 1 pues no podemos tener el término negativo pero ahora veamos el otro caso que pasa para cuando llegue es igual a menos 1 y se nos hace este segundo término aquí vemos que nos queda el término al primer término de las equis positivo por lo tanto jesse puede ser igual a menos 1 entonces nos quedaría x menos 1 al cuadrado sobre 16 igual a uno simplemente cancelamos el segundo término y luego podríamos multiplicar ambos lados por 16 tendríamos esto de aquí x menos 1 al cuadrado sobre 16 igual a 1 multiplicamos ambos lados por 16 lo que vamos a ir haciendo es ir simplificando nuestra ecuación y al multiplicar por 16 tenemos x menos 1 al cuadrado igual a 16 y luego podemos sacar la raíz cuadrada de ambos lados tendríamos x menos 1 igual a más menos 4 luego entonces si x es igual a más 4 entonces al despejar el 1 sumarle de ambos lados uno tenemos que x es igual a 5 y luego para el otro caso si x es igual a 4 le restamos 1 tenemos que x es igual a 3 y entonces veamos en la gráfica donde se situaría dicho punto serán los puntos 5 menos 1 y el 31 entonces al buscarlos por aquí tendríamos 5 coma menos 1 el 331 pero espere un momento no expliquen y no de acá más bien están bien mis puntos pero una parte puede ser x igual a más 4 o x igual a menos 4 para cuando x es igual a 4 y despejó bueno sumo de ambas partes el 1 entonces nos queda que x es igual a 5 pero para el caso en el que x es igual a menos 4 y le sumamos 1 entonces nos queda x menos 3 y entonces ese otro punto se sitúa por acá así que estos dos puntos están representando parte de nuestra hipérbola y entonces nuestra intuición es correcta ahora lo que pasa es lo que comenté esto va a ser cierto un poco por debajo para la raíz positiva y queda por debajo de la cinta está entonces obtenemos una curva que luce algo así y luego por acá es exactamente lo mismo quedamos muy cercanos a la 5ta de esta forma mi hipérbola y por supuesto nuestras asín totales se mantienen por siempre y si quieres puedes intentarlo con otros puntos para afirmar lo que acabamos de comentar la parte complicada de esto en realidad es identificarlas a síntomas y lograr observadas y es una hipérbola horizontal o una hipérbola vertical así que nos vemos en el próximo vídeo