Ejemplo resuelto: punto donde una función es continua

tenemos que x está definida como el logaritmo de 3x para 0 menor que x menor que 3 y por otra parte 4x por el logaritmo de 9 cuando x es mayor o igual a 3 así que basándonos en esta definición deje de x queremos encontrar el límite cuando extiende a 3 de x observa que este 3 está justo en medio entre estos dos casos vamos al primer caso donde x está entre 0 y 3 cuando es mayor que será menor que 3 y luego vamos a ver el otro caso donde tocamos a 3 en el y para encontrar el límite queremos encontrar el límite del lado izquierdo así que estaremos trabajando con este caso con el caso de arriba ya que si tenemos a x menor que 3 entonces estamos en este caso pero también queremos encontrar el límite del lado derecho lo cual nos pondría en el segundo caso y si ambos límites existen y son iguales entonces ese valor va a ser el límite que buscamos vamos a hacerlo permíteme primero ir por el lado izquierdo entonces me voy a tomar el límite cuando existente a 3 con valores menores que 3 así que nos vamos a aproximar por la izquierda de heather x bueno esto es equivalente a decir que queremos encontrar el límite cuando x tiende a 3 - cuando x es menor que 3 nos estamos aproximando a 3 por la izquierda y entonces estamos en este caso de aquí así que vamos a estar operando con este pedazo eso es lo que es gd x cuando x es menor que 3 entonces me quedaría el logaritmo de 3x y ya que esta función de aquí está definida y es continua sobre el intervalo que nos interesa ya que es continua para todas las x mayores que 0 entonces podemos simplemente sustituir 3 aquí y ver a qué se estaría aproximando entonces esto sería igual a el logaritmo de 3 por 3 o el logaritmo del 9 y bueno recuerda cuando se escribe simplemente loco sin escribir la base es implícito que aquí la base es 10 entonces tenemos el logaritmo 10 el logaritmo en base ty es el logaritmo en base 10 el logaritmo en base 10 y lo menciono porque es algo importante de saber y que a veces no éramos bien ahora vamos a plantear el otro caso vamos a plantear la situación donde nos aproximamos a 3 por el lado derecho por los valores mayores que 3 y por lo tanto ahora vamos a estar en este escenario de aquí entonces esto va a ser igual al límite cuando extiende a 3 por la derecha deje de x en este caso cuando x es mayor que 3 y entonces me quedaría 4 - x por el logaritmo de 9 y al principio esto parece algún tipo de expresión logarítmica hasta que te das cuenta de que el logaritmo entre 9 es una constante lugar y que en base 19 va a ser algún número cercano a 1 y esta expresión en realidad definiría una recta para x mayor o igual a 3 que x es sólo una recta aunque parezca un poco más complicada y de hecho esto estará definido para todos los números reales y además es continuo para cualquier x que pongas adentro así que para encontrar este límite a qué se va a aproximar esta expresión mientras nos aproximamos a tres en la dirección positiva bien podemos simplemente evaluarla en tres donde me quedarían cuatro menos tres por el logaritmo de nueve lo cual es uno por el logaritmo de nueve entonces todo esto es simplemente el logaritmo en base 10 de 9 y ya está observa que el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha ambos son el logaritmo de 9 así que la respuesta aquí es logaritmo de 9 y hemos terminado