Ejemplo resuelto: punto donde una función no es continua

tenemos la función fx la cual es una función continua por pedazos observa que está definida para algunos intervalos por aquí para cero menor que x menor o igual que 2 f x es igual al logaritmo natural de x y para los valores mayores que 12 para x mayor que 2 f x es igual a x cuadrada por el logaritmo natural de x y lo que queremos hacer es encontrar el límite de fx cuando x tiende a 2 y lo que es interesante de este límite es que nos piden el límite en la frontera de estos dos intervalos así quisiéramos solamente evaluar efe 2 entonces qué haríamos en este intervalo de aquí porque 2 es mayor que 0 10 menor o igual que 2 entonces efe de 2 serían poner 2 en este primer caso y me quedaría el logaritmo natural de 2 pero esto no es necesariamente lo que el límite tiene que ser para saber el límite tendremos que saber el límite que se aproxima por la derecha y el límite que se aproxima por la izquierda ver si ambos existen y si son iguales solamente si existen y son iguales tendremos el límite bien definido entonces vamos a hacerlo primero pensemos en el límite de fx cuando x tiende a 2 por la izquierda por valores menores que 2 y bueno ese va a ser el caso en donde vamos a operar en este intervalo de aquí vamos a trabajar con valores menores que 2 y nos vamos a aproximar a 2 por la izquierda bueno pues este caso es continuo en el intervalo bajo el cual estamos operando para valores mayores que 0 y menores o iguales que 2 para esos valores va a ser igual a simplemente en evaluar ese valor en esta función porque es continuo sobre todo ese intervalo entonces simplemente será el logaritmo natural de 2 el logaritmo natural de 2 o keith ahora pensemos en el otro caso pensemos en el límite de fx cuando x tiende a 2 por la derecha para valores mayores que 2 entonces el límite de fx cuando x tiende a 2 por la derecha como lo sacamos bueno aunque 2 cae en este primer escenario tan pronto como tomemos cualquier valor mayor que 2 caemos en este segundo escenario entonces vamos a estar aproximándonos a 2 esencialmente usando este segundo caso y una vez más este caso de aquí es continuo para toda x no sólo mayores que 2 de hecho para mayores o iguales a 2 pero regresando a este límite podemos seguir este mismo argumento que acabamos de mencionar y entonces decir que este límite va a ser igual a esta función evaluada en 2 porque una vez más si vamos a evaluar esta función en 2 nos va a dar este caso de aquí pero si nos aproximamos a 2 x la derecha para valores mayores que 2 entonces estamos tratando con este segundo caso así que vamos a evaluar en este segundo caso el valor de 2 porque sabemos que es continua para valores mayores iguales que 2 entonces tendremos 2 al cuadrado por el logaritmo natural de 2 lo cual bueno es 4 veces el logaritmo natural de 2 y ahora observa ya podemos ver que el límite por la derecha existe y también podemos ver que el límite por la izquierda existe pero lo que debe de causarte ruido es que estos dos valores son distintos nos aproximamos a valores distintos por la derecha como los que obtuvimos por la izquierda es decir si quisieras replicar estos verías un salto en la gráfica actual tendrías una discontinuidad justo ahí en el valor de 2 y entonces este problema en particular donde tenemos una discontinuidad que es alta nos está diciendo que este límite que buscábamos no existe porque el límite cuando extiende a 2 por la izquierda no es el límite que tiende a dos por la derecha entonces podemos concluir que el límite de fx cuando x 32 no existe