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Matrices inversas y ecuaciones de matrices

En otros videos, vimos que las matrices pueden representar sistemas de ecuaciones, y también vimos que las matrices cuyo determinante es cero no tienen un inverso. En este video, conectamos estos dos conocimientos y al hacerlo así comprendemos cómo podemos resolver sistemas de ecuaciones con matrices. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

En un video anterior hablamos sobre la manera en  que podemos representar un sistema de ecuaciones   como una ecuación matricial. Por ejemplo,  aquí tengo dos ecuaciones con dos incógnitas   xy. Supongamos que conocemos el valor de a, b,  p, c, d y q, y podemos representar este tipo   de sistema como una ecuación vectorial matricial  como esta, donde los coeficientes de las x están   en esta primera columna, los coeficientes de las  yes están en la segunda columna; y luego vemos   nuestras variables desconocidas -tal vez para las  que queremos resolver esto- como este vector que   tenemos aquí, por lo que podríamos considerarlo  como el vector bidimensional desconocido. Y luego   sabemos que, cuando lo pensamos como una  transformación en este vector desconocido,   obtenemos este vector conocido, obtenemos el  vector [p, q]. O podemos pensar en esto como una   multiplicación de matrices: cuando multiplicamos  este vector por esta matriz, obtenemos este vector   [p, q]. Y en otros videos también hablamos  sobre la idea de inversos; por ejemplo,   si llamamos a esta que tenemos aquí la matriz  A, lo que estamos viendo es que esta matriz A,   multiplicada por el vector [x, y] -lo escribiré  así- es igual al vector [p, q]. (Me limitaré a   un color por conveniencia en este momento.) Y  hablamos acerca de que si tenemos la inversa   de una matriz multiplicada por la matriz,  el resultado será la matriz identidad. Así   que una idea para intentar resolver esta ecuación  vectorial matricial es ¿qué pasa si multiplicamos   ambos lados por la inversa de A?, ¿qué pasaría  si tuviéramos la A¯¹ aquí y si multiplicamos   por la A¯¹ aquí? Bueno, suponiendo que existe  A¯¹ -y ese será el tema central de este video-,   si existe A¯¹, entonces esto de aquí simplemente  se convertirá en la matriz identidad. Esta es la   matriz con la que, si tratamos de transformar  cualquier cosa o si la multiplicamos por algo,   el resultado será eso que teníamos antes. En un  escenario de 2 x 2, la matriz identidad se ve así,   y luego, en el lado derecho, estamos multiplicando  una matriz de 2 x 2 por el vector [p, q], de   modo que en el lado izquierdo la matriz identidad  multiplicada por [x, y] nos va a dar esencialmente   [xy], y en el lado derecho sabríamos a qué equivale.  Eso esencialmente resolvería este sistema cuando   lo representamos de esa manera. Pero eso nos  da una pista sobre si tiene o no solución,   porque si tiene solución tendremos una matriz  inversa aquí, y si no tiene solución no tendremos   una matriz inversa aquí, porque esta matriz A no  tendrá inversa. Entonces, si volvemos a lo que   hemos aprendido en clases anteriores de álgebra  sobre la resolución de sistemas de ecuaciones,   sabemos que hay dos escenarios en los que, o no  obtenemos solución u obtenemos un número infinito   de soluciones. Déjenme dibujar un pequeño eje de  coordenadas aquí. Sabemos que si las líneas tienen   diferentes pendientes, si una línea se ve así y  luego la otra línea podría verse de cualquier otra   forma siempre que tenga una pendiente diferente,  van a intersecarse exactamente en un punto:   dos líneas con diferentes pendientes se intersecan  en un punto exactamente. El escenario en el que el   sistema no tiene solución es cuando las dos líneas  tienen la misma pendiente, porque líneas paralelas   como éstas no se intersecan. La otra situación  extraña que podemos obtener cuando resolvemos   sistemas es que no sólo las líneas tienen la  misma pendiente, sino que son la misma línea,   entonces eso sería algo como esto: no habría un  resultado de [x, y] único, en realidad habría una   infinidad de resultados [x, y] que satisfarían la  ecuación; de modo que ambas son situaciones en las   que no encontramos una buena solución para nuestro  sistema. Y si pensamos en el mundo de matrices,   puede suceder que no encontremos una A¯¹ que  cuando multipliquemos por [p, q] nos dé una buena   solución en cualquiera de estos escenarios, donde  estas dos ecuaciones tienen la misma pendiente.   Ahora pensemos en lo que sabemos sobre a, b, c, d  cuando tenemos la misma pendiente. Si intentáramos   poner esta ecuación superior en la forma pendiente  intersección, ¿cómo se vería? Bueno, veamos.   Podemos restar ax de ambos lados y tener algo así:  by = p - ax, sólo restamos ax de ambos lados y   luego, si dividimos ambos lados entre b, obtenemos  que y = p/b - a/bx. Y entonces puedes ver que en   esta primera ecuación nuestra pendiente es -a/b.  Ahora, ¿qué pasa con la segunda ecuación? Bueno,   siguiendo la misma lógica, si hacemos lo mismo,  si restamos cx de ambos lados y luego dividimos   entre d, vamos a obtener que y = q/d - c/dx; y  vemos que la pendiente aquí es -c/d. Entonces,   estos escenarios extraños -bueno, no extraños-,  pero estos escenarios en los que no obtenemos   una buena solución única son aquellos en los  que estas pendientes son equivalentes entre sí.   Así que estamos hablando del escenario en el  que -a/b = -c/d. Ahora, para darle un poco de   sentido a eso, digamos que multiplicamos ambos  lados de esta ecuación por -bd para quitar estas   cosas del denominador. Déjenme hacer eso; estoy  multiplicando por un negativo para deshacerme   de los signos negativos -bd. Entonces, en el lado  izquierdo, la b se cancela con la b, un negativo   por un negativo es igual a un positivo, y vamos  a tener ad, y en el lado derecho los negativos se   cancelan, d desaparece, y luego tenemos cb. Otra  forma de pensarlo es que ad - cb = 0, cuando ad   - cb = 0 este sistema de ecuaciones no tiene una  solución única. Ahora, puede ser que estén sonando   las campanas en tu cabeza ahora mismo porque ad,  ad - cb - cb es el determinante de esta matriz A   que tenemos aquí. Así que esto será cierto si y  sólo si el determinante de nuestra matriz A es   igual a 0. De modo que tenemos una pista bastante  clara sobre cuándo no vamos a llegar a una buena   solución de un sistema de ecuaciones representada  como una ecuación vectorial matricial como ésta:   no vamos a tener una buena solución única cuando  el determinante de la matriz A sea igual a 0. Y   como no va a tener una buena solución, no podremos  encontrar una inversa; porque si tuviéramos una   inversa podríamos simplemente multiplicarla. Así  que esta es una situación en la que esto sólo será   cierto -y no lo he probado rigurosamente, pero  espero que lo entiendan-, esta es una situación en   la que la A¯¹ no existe, de modo que hay muchas  cosas interesantes aquí. En un video anterior   vimos una matriz A como una transformación y cómo  su determinante nos dice la manera en que estamos   escalando áreas, pero si su determinante es 0, eso  significa que estamos tomando cosas que tienen un   área bidimensional y las estamos reduciendo  a un área 0. Sería muy difícil ir al revés,   que es lo que haría una matriz de transformación  inversa. Aquí obtenemos el mismo resultado sin   ver la matriz A como una transformación,  pero viéndola como una representación de   un sistema de ecuaciones lineales como  ésta. Una vez más tenemos la misma idea:   que el determinante de A = 0; aquí no obtendremos  una buena solución, entonces la inversa no existe.