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Curso: Precálculo > Unidad 7
Lección 13: Introducción a las inversas de matricesMatrices inversas y ecuaciones de matrices
En otros videos, vimos que las matrices pueden representar sistemas de ecuaciones, y también vimos que las matrices cuyo determinante es cero no tienen un inverso. En este video, conectamos estos dos conocimientos y al hacerlo así comprendemos cómo podemos resolver sistemas de ecuaciones con matrices. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
En un video anterior hablamos sobre la manera en
que podemos representar un sistema de ecuaciones como una ecuación matricial. Por ejemplo,
aquí tengo dos ecuaciones con dos incógnitas xy. Supongamos que conocemos el valor de a, b,
p, c, d y q, y podemos representar este tipo de sistema como una ecuación vectorial matricial
como esta, donde los coeficientes de las x están en esta primera columna, los coeficientes de las
yes están en la segunda columna; y luego vemos nuestras variables desconocidas -tal vez para las
que queremos resolver esto- como este vector que tenemos aquí, por lo que podríamos considerarlo
como el vector bidimensional desconocido. Y luego sabemos que, cuando lo pensamos como una
transformación en este vector desconocido, obtenemos este vector conocido, obtenemos el
vector [p, q]. O podemos pensar en esto como una multiplicación de matrices: cuando multiplicamos
este vector por esta matriz, obtenemos este vector [p, q]. Y en otros videos también hablamos
sobre la idea de inversos; por ejemplo, si llamamos a esta que tenemos aquí la matriz
A, lo que estamos viendo es que esta matriz A, multiplicada por el vector [x, y] -lo escribiré
así- es igual al vector [p, q]. (Me limitaré a un color por conveniencia en este momento.) Y
hablamos acerca de que si tenemos la inversa de una matriz multiplicada por la matriz,
el resultado será la matriz identidad. Así que una idea para intentar resolver esta ecuación
vectorial matricial es ¿qué pasa si multiplicamos ambos lados por la inversa de A?, ¿qué pasaría
si tuviéramos la A¯¹ aquí y si multiplicamos por la A¯¹ aquí? Bueno, suponiendo que existe
A¯¹ -y ese será el tema central de este video-, si existe A¯¹, entonces esto de aquí simplemente
se convertirá en la matriz identidad. Esta es la matriz con la que, si tratamos de transformar
cualquier cosa o si la multiplicamos por algo, el resultado será eso que teníamos antes. En un
escenario de 2 x 2, la matriz identidad se ve así, y luego, en el lado derecho, estamos multiplicando
una matriz de 2 x 2 por el vector [p, q], de modo que en el lado izquierdo la matriz identidad
multiplicada por [x, y] nos va a dar esencialmente [xy], y en el lado derecho sabríamos a qué equivale.
Eso esencialmente resolvería este sistema cuando lo representamos de esa manera. Pero eso nos
da una pista sobre si tiene o no solución, porque si tiene solución tendremos una matriz
inversa aquí, y si no tiene solución no tendremos una matriz inversa aquí, porque esta matriz A no
tendrá inversa. Entonces, si volvemos a lo que hemos aprendido en clases anteriores de álgebra
sobre la resolución de sistemas de ecuaciones, sabemos que hay dos escenarios en los que, o no
obtenemos solución u obtenemos un número infinito de soluciones. Déjenme dibujar un pequeño eje de
coordenadas aquí. Sabemos que si las líneas tienen diferentes pendientes, si una línea se ve así y
luego la otra línea podría verse de cualquier otra forma siempre que tenga una pendiente diferente,
van a intersecarse exactamente en un punto: dos líneas con diferentes pendientes se intersecan
en un punto exactamente. El escenario en el que el sistema no tiene solución es cuando las dos líneas
tienen la misma pendiente, porque líneas paralelas como éstas no se intersecan. La otra situación
extraña que podemos obtener cuando resolvemos sistemas es que no sólo las líneas tienen la
misma pendiente, sino que son la misma línea, entonces eso sería algo como esto: no habría un
resultado de [x, y] único, en realidad habría una infinidad de resultados [x, y] que satisfarían la
ecuación; de modo que ambas son situaciones en las que no encontramos una buena solución para nuestro
sistema. Y si pensamos en el mundo de matrices, puede suceder que no encontremos una A¯¹ que
cuando multipliquemos por [p, q] nos dé una buena solución en cualquiera de estos escenarios, donde
estas dos ecuaciones tienen la misma pendiente. Ahora pensemos en lo que sabemos sobre a, b, c, d
cuando tenemos la misma pendiente. Si intentáramos poner esta ecuación superior en la forma pendiente
intersección, ¿cómo se vería? Bueno, veamos. Podemos restar ax de ambos lados y tener algo así:
by = p - ax, sólo restamos ax de ambos lados y luego, si dividimos ambos lados entre b, obtenemos
que y = p/b - a/bx. Y entonces puedes ver que en esta primera ecuación nuestra pendiente es -a/b.
Ahora, ¿qué pasa con la segunda ecuación? Bueno, siguiendo la misma lógica, si hacemos lo mismo,
si restamos cx de ambos lados y luego dividimos entre d, vamos a obtener que y = q/d - c/dx; y
vemos que la pendiente aquí es -c/d. Entonces, estos escenarios extraños -bueno, no extraños-,
pero estos escenarios en los que no obtenemos una buena solución única son aquellos en los
que estas pendientes son equivalentes entre sí. Así que estamos hablando del escenario en el
que -a/b = -c/d. Ahora, para darle un poco de sentido a eso, digamos que multiplicamos ambos
lados de esta ecuación por -bd para quitar estas cosas del denominador. Déjenme hacer eso; estoy
multiplicando por un negativo para deshacerme de los signos negativos -bd. Entonces, en el lado
izquierdo, la b se cancela con la b, un negativo por un negativo es igual a un positivo, y vamos
a tener ad, y en el lado derecho los negativos se cancelan, d desaparece, y luego tenemos cb. Otra
forma de pensarlo es que ad - cb = 0, cuando ad - cb = 0 este sistema de ecuaciones no tiene una
solución única. Ahora, puede ser que estén sonando las campanas en tu cabeza ahora mismo porque ad,
ad - cb - cb es el determinante de esta matriz A que tenemos aquí. Así que esto será cierto si y
sólo si el determinante de nuestra matriz A es igual a 0. De modo que tenemos una pista bastante
clara sobre cuándo no vamos a llegar a una buena solución de un sistema de ecuaciones representada
como una ecuación vectorial matricial como ésta: no vamos a tener una buena solución única cuando
el determinante de la matriz A sea igual a 0. Y como no va a tener una buena solución, no podremos
encontrar una inversa; porque si tuviéramos una inversa podríamos simplemente multiplicarla. Así
que esta es una situación en la que esto sólo será cierto -y no lo he probado rigurosamente, pero
espero que lo entiendan-, esta es una situación en la que la A¯¹ no existe, de modo que hay muchas
cosas interesantes aquí. En un video anterior vimos una matriz A como una transformación y cómo
su determinante nos dice la manera en que estamos escalando áreas, pero si su determinante es 0, eso
significa que estamos tomando cosas que tienen un área bidimensional y las estamos reduciendo
a un área 0. Sería muy difícil ir al revés, que es lo que haría una matriz de transformación
inversa. Aquí obtenemos el mismo resultado sin ver la matriz A como una transformación,
pero viéndola como una representación de un sistema de ecuaciones lineales como
ésta. Una vez más tenemos la misma idea: que el determinante de A = 0; aquí no obtendremos
una buena solución, entonces la inversa no existe.