Introducción a las inversas de matrices

ya hemos aprendido acerca de suma de matrices resta de matrices multiplicación de matrices por lo que quizás te estés preguntando si hay un equivalente a la división de matrices pero antes de que veamos eso déjame introducir algunos conceptos y después veremos que hay algo parecido no es exactamente pero es análogo a la división de matrices así que antes de que hagamos eso voy a introducir el concepto de la matriz identidad así que la matriz identidad es una matriz la voy a denotar por la letra i mayúscula y es una matriz tal que cuando ya lo multiplicó por otra matriz digamos la matriz y no sé si deba usar este punto aquí pero bueno cuando multiplico la matriz ciencia por la matriz a obtengo la misma matriz de la misma manera si multiplico a por la matriz y también voy a obtener la misma matriz a y es importante darnos cuenta que cuando hacemos multiplicación de matrices importa el orden de hecho aquí te estoy dando más información no podemos suponer como pasaba en la multiplicación regular que cuando multiplicamos a por d es siempre igual a multiplicar b por a es importante cuando estamos haciendo multiplicación de matrices verificar que importa el orden en el cual estamos haciendo la multiplicación en fin esto de aquí funciona en ambos sentidos solo si estamos tratando sólo si estamos tratando con matrices cuadradas esto va a funcionar en un sentido o en otro si esta matriz no es cuadrada pero no va a funcionar en ambos y puedes recordar por qué pasa eso de cuando aprendimos multiplicación de matrices en fin he definido esta matriz ahora bien en qué consiste esta matriz de hecho es bastante simple por ejemplo la matriz identidad de 2 por 2 es la matriz que consiste en 1 001 la matriz identidad de 3 por 3 es la matriz 1 0 0 0 1 0 0 0 1 aquí ya estamos viendo un patrón si creamos la matriz identidad de 4x4 esta es 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 como puedes ver la matriz identidad lo que es para cualquier n esto lo puedes extender para cualquier matriz de n por n consiste de unos a lo largo de esta que es la diagonal principal y los demás elementos son 0 así que una vez dicho esto probemos que esto realmente funciona tomemos esta matriz y vamos a multiplicar la por cualquier otra matriz para confirmar que esa matriz no cambia tomemos entonces la matriz 1 0 0 1 tomemos una matriz en general para que veamos que funciona para cualesquiera números b c d y esto a que es igual vamos a multiplicar primero este este renglón por esta columna 1 por 0 por c es igual a luego este renglón por esta columna 1 por d + 0 por d es igual a d luego este renglón por esta columna 0 por a más 1 por c es igual a c finalmente este renglón por esta columna 0 por b más uno por d es igual a de ahí lo tenemos y puede ser un ejercicio divertido hacerlo en el otro sentido de hecho un mejor ejercicio es probar esto para una matriz de 3 x 3 verás que también funciona y un muy buen ejercicio para ti es pensar porque esto es así y si te fijas bien es porque estás obteniendo la información del renglón de aquí la información de la columna de aquí básicamente cada que multiplicas digamos este vector por este vector de aquí estás multiplicando los términos correspondientes y después los está sumando correcto aquí tenemos un 1 y un 0 el 0 cancela todo excepto el primer término el vector columna por eso que nos resulta también aquí cancela todo excepto el primer término el vector columna resulta ver lo mismo aquí pero en este caso sólo dejar el segundo término por eso resulta aquí se esto por esto es igual hace y esto por esto es igual a de y lo mismo aplica para matrices de tres por tres o matrices de n por en esto de las matrices inversas es realmente interesante completamos nuestra analogía pensemos en esto en matemáticas normalmente tenemos que uno por a es igual a a y también qué 1 entre ahora y esto es matemáticas normal nada que ver con matrices esto es igual a 1 y como sabes llamamos a este el inverso de a que lo mismo que está dividiendo entre el número a entonces existe una analogía en matrices déjame cambiar de color he estado usando mucho el color verde existe entonces una matriz una matriz que si yo la multiplicó por la matriz a llamemos de la inversa de a la cual si yo la multiplicó por la matriz a obtengamos no el número uno sino el equivalente en matrices que es la matriz identidad y estaría perfecto si pudiéramos invertir el orden del producto es decir si multiplicó a por la inversa de a obtenga también la matriz identidad y si lo piensas bien si ambas de éstas se cumplen entonces no tan sólo hay inversa es inversa de a sino que a es inversa de a inversa lo que quiero decir es que ambas son inversas mutuamente y resulta que si existe esa matriz se llama la matriz inversa de a como ya lo he mencionado 3 y ahora te voy a mostrar cómo calcularla hagamos eso y nos daremos cuenta que calcularlo para matrices de 2 por 2 es bastante simple aunque quizás pienses que es un poco misterioso en cómo la gente llegó a la mecánica del cálculo o el algoritmo de esto 3 x 3 es un poquito más complicado 4 x 4 te llevará todo el día y una de 5 x 5 definitivamente va a incurrir en muchos errores si la haces a mano lo aconsejable es calcular inversas de 5 por 5 en una computadora en fin cómo calculamos la inversa de una matriz hagamos eso y después verifiquemos que realmente la inversa entonces si tenemos una matriz a dada por b c y d y quiero calcular su inversa su inversa va a ser y ahorita por lo pronto te va a parecer como que sacada de la manga en futuros vídeos te va a dar un poco de la intuición acerca de esto de hecho te mostraré cómo se obtiene por lo pronto lo mejor será que memorice los pasos para que así tengas la confianza de saber cómo puedes calcular un inversa esto es igual a 1 sobre el producto de estos números a por de menos b por c d - bc y esta cantidad de aquí a d - bc vamos a aprender bueno de hecho de una vez podemos mencionar que se llama el determinante de la matriz a y esto lo vamos a multiplicar es un escalar es un número lo vamos a multiplicar por la matriz que resulta vamos a intercambiar a y de los elementos de la diagonal principal sería de i a iii estos dos números de la parte inferior izquierda en la parte superior derecha les vamos a cambiar el signo nos quedaría menos c y menos b y el determinante y de nueva cuenta éste se lo que vas a tener que creerme por el momento en futuros vídeos te prometo explicar temas en torno a esto de hecho es un poco complicado explicar cómo se construye un determinante en las clases de prepa tec en que la prendas de memoria eso es algo con lo que yo no estoy de acuerdo entonces qué es esto esto también se llama el determinante de a quizás te lo puedan preguntar un examen y se denota de manera similar a como denotamos el valor absoluto esto es determinante de a y es igual a d - abc así que aquí tenemos uno sobre el determinante de a por lo cual la inversa de a es igual a 1 sobre determinante de a que multiplica la matriz cuyos elementos son de menos ve menos a como quiera que lo veas pero apliquemos esto un problema real para que veas que no es tan difícil cambiamos letras para que sepas que no siempre tiene que ser una digamos que sea la matriz b igual digamos 3 estoy tomando números al azar menos 4 2 - 5 calculemos entonces la inversa debe la inversa debe está dada por uno sobre el determinante debe que es 3 x menos 5 menos 2 por menos 43 x menos 5 es menos 15 y 2 x menos 4 es menos 8 pero al restar lo obtenemos más 8 y esto multiplicado por esto lo vamos a multiplicar x la matriz cuyos elementos son intercambiamos los elementos de la diagonal principal sería menos 5 3 y luego cambiamos el signo a estos elementos menos 24 era menos 4 cambiando el signo es 4 veamos si puedo simplificar esto un poco la inversa dv va a ser igual menos 15 8 es menos 7 entonces esto resulta menos 1 sobre 7 el determinante es menos 7 vamos a ponerlo por aquí el determinante de b es igual a menos 7 así que esto es igual a menos un séptimo que multiplica a menos 54 menos 23 y esto es igual a menos un séptimo es un escalar podemos multiplicarlo por cada uno de los elementos de la matriz entonces va a ser igual a menos 5 x menos un séptimo sería cinco séptimos menos un séptimo por 4 menos 4 séptimos menos 2 por menos un séptimo sería dos séptimos y finalmente menos un séptimo por tres menos tres séptimos está un poco peliaguda esta matriz acabamos con fracciones y cosas así pero confirmemos que ésta realmente es la inversa de la matriz b hagamos la multiplicación para eso voy a necesitar un poco de espacio por acá voy a borrar esto volvemos acá también hagamos espacio estoy aquí tampoco lo va a necesitar perfecto estamos listos confirmemos que esto x esto o esto x esto de acá resulta en la matriz identidad hagamos lo voy a cambiar de color b inversa es vamos a ponerla por aquí cinco séptimos espero que no haya hecho errores menos cuatro séptimos 2 séptimos y menos 3 séptimos ese nivel se debe voy a multiplicar la por ver qué es 3 - 42 menos 5 y eso es igual a vamos a ponerla por acá necesito espacio para hacer mis cálculos déjame cambiar color nuevamente entonces vamos a multiplicar este renglón por esta columna entonces que tenemos cinco séptimos por tres es tres por cinco séptimos es 15 séptimos más o menos cuatro séptimos por dos menos cuatro séptimos por dos es menos déjame asegurarme de esto cinco séptimos por 315 séptimos menos cuatro séptimos poderoso chelsea está correcto entonces sería menos cuatro séptimos por dos en los cuatro céntimos por dos es menos 8 séptimos aunque si está perfecto ahora vamos a multiplicar este renglón por esta columna de acá que tenemos aquí cinco séptimos por menos cuatro es menos 20 séptimos y luego menos 4 séptimos por menos 5 que tenemos aquí sería 20 séptimos positivo entonces tenemos que sumarle 20 séptimos más 20 séptimos mi mente se ha alentado un poco haciendo multiplicaciones con fracciones y números negativos pero este es muy buen ejercicio para varias partes del cerebro en fin hagamos este término de aquí vamos a multiplicar entonces este renglón por esta columna dos séptimos por 36 séptimos más menos 3 séptimos por 2