Matrices invertibles y determinantes

Vamos a profundizar un poco más en las  matrices y sus inversas. Y en particular,   vamos a explorar las situaciones en las que  podría no haber una inversa para una matriz. Solo como un repaso, recuerda que si  tenemos una matriz A, entonces existe   otra matriz que podríamos llamar A inversa  tal que al hacer la composición entre ellas,   si vemos a cada una como transformaciones,  terminaríamos con la transformación identidad. O si tomamos el producto de las  dos, se obtiene la matriz identidad. Y también podemos pensarlo de la siguiente  forma: bueno, si A inversa deshace A,   entonces A debería deshacer A inversa y así  también obtendríamos la matriz identidad. Otra forma de pensar en esto,  es que si tomo una región en   el plano de coordenadas… por lo que  este es el eje x, este es el eje y. Vamos a suponer que la región original se ve  algo así, y que le aplicamos la transformación A,   y obtenemos otra región que se parece a  esta. Estoy inventando un caso hipotético. Así que si aplico la transformación A,  me lleva de esta región a esta otra. Entonces tiene sentido pensar que,   si le aplicamos A inversa a esta región  púrpura, nos regresa a donde empezamos. Porque si comenzamos con esta pequeña región azul  y hacemos la composición, entonces solo estamos   aplicando la transformación identidad, por lo  que solo nos regresa a esta región azul de aquí. Ahora bien, todo esto podría hacerte pensar en  los determinantes, porque podemos recordar que   el determinante de una matriz nos indica cuál es  el factor de escala que se aplicará a una región. En este caso específico, digamos que la matriz A   toma una región que tiene un área de, no  sé, llamémosla área b y la transforma en   un área de 5 veces b. El área de aquí es 5b. Bien, sabemos que ese factor de escala de 5   se puede saber a partir del  determinante de la matriz A. Eso nos diría que el valor absoluto del  determinante de la matriz A va a ser igual   a 5. Pero ¿qué nos dice eso sobre el valor  absoluto del determinante de la inversa de A? Bueno, si A aumenta el área por 5, entonces  la inversa de A debe reducir el área entre 5. Así que el valor absoluto del determinante  de la inversa de A debe ser 1 sobre 5. Y así ahora tenemos una propiedad general.  Acabo de usar el número cinco en este ejemplo,   pero en general, si la matriz A tiene inversa,  entonces el valor absoluto del determinante de   la matriz A, debe ser igual a 1 sobre el valor  absoluto del determinante de la inversa de A. Y por supuesto podemos escribirlo al revés. El  valor absoluto del determinante de la inversa   de A debe ser igual a 1 sobre, o el recíproco  de, el valor absoluto del determinante de A. Esto se obtiene directamente de esta propiedad  de que el valor absoluto del determinante de   una matriz te dice cuál es el factor  de escala que se aplicará a un área. Bien, sabiendo que ambas afirmaciones tienen que  ser ciertas para cualquier matriz A que tenga   inversa, podemos obtener al menos una pista para  descartar matrices que podrían no tener inversa. Si te digo que el determinante de la  matriz A es cero, ¿tendrá inversa? Bueno, no puede tener inversa porque  si esta cantidad de aquí es cero,   o esta cantidad de aquí es cero, entonces  tendríamos que el valor absoluto del   determinante de la inversa de la matriz tiene que  ser uno sobre cero, que es un valor indefinido. Y así tenemos una conclusión interesante por aquí.   Si el determinante de una matriz es igual a  cero, no vamos a tener una matriz inversa,   porque supongamos que una transformación  tiene determinante cero, entonces en lugar   transformar algo que ocupa un área bidimensional  en otra cosa que ocupa otra área bidimensional,   transformaríamos algo que ocupa un área  bidimensional en algo que no ocupa área alguna. Es decir, tal vez la transforma  en una curva como esa,   que no ocupa área alguna o una recta o un punto. Y después, imagina que la transformación nos lleva   hasta una recta, ¿cómo podríamos  transformarla nuevamente en un área? Tendrías que escalar el área infinitamente  para que ocupe un espacio bidimensional. Así que, la gran conclusión de este  video es que si el determinante   de una matriz es igual a cero, no  vamos a tener una matriz inversa. Y en realidad resulta que, para cualquier otra  matriz que no tenga un determinante de cero,   se puede encontrar su inversa, pero no  vamos a demostrar eso en este video. Dejaremos las cosas por aquí,   espero que este principio te haya  quedado claro con esta explicación.