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Curso: Precálculo > Unidad 7
Lección 7: Matrices como transformaciones del plano- Matrices como transformaciones del plano
- Trabajar con matrices como transformaciones del plano
- Introducción a la notación y el cálculo de determinantes
- Interpretar determinantes en términos del área
- Encontrar el área de la figura después de la transformación usando el determinante
- Comprender matrices como transformaciones del plano
- Prueba: el determinante de la matriz nos da el área de la imagen del cuadrado unitario bajo el mapeo
- Las matrices como transformaciones
- Matriz a partir de una representación visual de una transformación
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Encontrar el área de la figura después de la transformación usando el determinante
En este ejemplo trabajado, Sal encuentra el área de la imagen de un rectángulo después de una transformación definida por una matriz dada. Esto se hace encontrando el área de la preimagen y multiplicando por el determinante de la matriz. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Nos dicen que consideremos esta transformación
matricial o de matrices. Esta es una matriz que, como podemos ver, representa una transformación
en todo el plano coordenado. Y luego nos dicen que "La transformación se realiza en el siguiente
rectángulo", así es que este es el rectángulo antes de la transformación; y nos preguntan
"¿cuál es el área de la imagen del rectángulo después de esta transformación?" Entonces, la
imagen del rectángulo es en lo que se convierte el rectángulo después de la transformación. Pausen
el video y traten de responder antes de resolverlo por nuestra cuenta. Muy bien, lo más importante
a considerar es que si tenemos una transformación matricial o una matriz de transformación
como esta, y tomamos el valor absoluto de su determinante, ese valor nos dice cuánto aumenta
el área de las figuras con esa transformación. Así que evaluemos el valor absoluto del determinante.
El valor absoluto del determinante será el valor absoluto de 5 x 8 - 9 x 4, 9 x 4. Recuerden
que para una matriz de 2 x 2 el determinante es igual a esto por esto menos esto por esto,
así que será igual al valor absoluto de 40 - 36, que es igual al valor absoluto de 4, que es
igual a 4. De modo que esto nos indica que esta transformación aumentará proporcionalmente el área
en un factor de 4. ¿Cuál es el área antes de la transformación? Bueno, podemos ver que esto mide
5 unidades de alto y 7 unidades de ancho, así que esto tiene un área de 35 unidades cuadradas antes
de la transformación; después de la transformación simplemente multiplicamos el área por el valor
absoluto del determinante, veamos: 4 x 30 = 120 + 4 x 5 son otros 20, entonces esto nos da un
área de 140 unidades cuadradas y hemos terminado.