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Encontrar el área de la figura después de la transformación usando el determinante

En este ejemplo trabajado, Sal encuentra el área de la imagen de un rectángulo después de una transformación definida por una matriz dada. Esto se hace encontrando el área de la preimagen y multiplicando por el determinante de la matriz. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

Nos dicen que consideremos esta transformación  matricial o de matrices. Esta es una matriz que,   como podemos ver, representa una transformación  en todo el plano coordenado. Y luego nos dicen que   "La transformación se realiza en el siguiente  rectángulo", así es que este es el rectángulo   antes de la transformación; y nos preguntan  "¿cuál es el área de la imagen del rectángulo   después de esta transformación?" Entonces, la  imagen del rectángulo es en lo que se convierte   el rectángulo después de la transformación. Pausen  el video y traten de responder antes de resolverlo   por nuestra cuenta. Muy bien, lo más importante  a considerar es que si tenemos una transformación   matricial o una matriz de transformación  como esta, y tomamos el valor absoluto de   su determinante, ese valor nos dice cuánto aumenta  el área de las figuras con esa transformación. Así   que evaluemos el valor absoluto del determinante.  El valor absoluto del determinante será el valor   absoluto de 5 x 8 - 9 x 4, 9 x 4. Recuerden  que para una matriz de 2 x 2 el determinante   es igual a esto por esto menos esto por esto,  así que será igual al valor absoluto de 40 - 36,   que es igual al valor absoluto de 4, que es  igual a 4. De modo que esto nos indica que esta   transformación aumentará proporcionalmente el área  en un factor de 4. ¿Cuál es el área antes de la   transformación? Bueno, podemos ver que esto mide  5 unidades de alto y 7 unidades de ancho, así que   esto tiene un área de 35 unidades cuadradas antes  de la transformación; después de la transformación   simplemente multiplicamos el área por el valor  absoluto del determinante, veamos: 4 x 30 =   120 + 4 x 5 son otros 20, entonces esto nos da un  área de 140 unidades cuadradas y hemos terminado.