Matrices como transformaciones del plano

En este video explicaremos cómo se  puede interpretar una matriz de 2 x   2 como representación de una transformación en el  plano coordenado, así que comencemos con algunos   ejemplos o algunas ideas conceptuales. La primera  idea conceptual es que cualquier punto en nuestro   plano coordenado -este, por supuesto es el eje X  y este es el eje Y- se puede representar mediante   una combinación de dos vectores. Podríamos tener  este vector aquí, que tiene exactamente 1 unidad   en la dirección horizontal, podemos representarlo  como un vector como este: 1-0. Cuando escribimos   un vector verticalmente como éste, la convención  dice que el número superior es lo que estamos   haciendo en la dirección X, y luego el número  de abajo, el 0 en este caso, es lo que estamos   haciendo en la dirección vertical o la dirección  Y, por lo que este es el vector 1-0. Y luego,   a este que tenemos aquí, ¿cómo lo llamaríamos?  Bueno, lo llamaríamos el vector 0-1 porque no se   mueve en absoluto en la dirección X, sólo sube 1  en la dirección Y. Ahora, sólo para convencernos de   que cualquier punto en el plano coordenado puede  representarse como una suma ponderada de éstos,   vamos a elegir un punto al azar. Digamos que  tenemos este punto por aquí, llamémosle punto A;   y podríamos representar este punto como un vector  que se ve algo así, lo haremos como una línea   punteada. Pero éste podría estar representado como  un vector de posición como este, y, por supuesto,   si lo pensamos en coordenadas, simplemente  diríamos que está en la coordenada 3,1:   la coordenada X es 3, la coordenada Y es 1; pero  si queremos expresarlo en términos de un vector,   podríamos escribirlo como 3-1: nos  estamos moviendo 3, desde el origen,   en la dirección X -3 positivo-, y nos estamos  moviendo 1 en la dirección Y para llegar aquí.   Y vamos a ver que podemos representar esto como  la suma ponderada de estos dos vectores. Podemos   escribirlo como esto = 3 [1-0] + 1 [0-1]. Podemos  apreciarlo visualmente: este vector amarillo que   apunta al punto A tiene 3 veces este vector: uno,  dos, tres, y una vez el vector naranja. Ahora,   dijimos que explicaremos cómo una matriz de  2 x 2 puede representar una transformación,   y la forma en que podríamos pensar en ello es  que si tenemos una matriz de 2 x 2 que se ve   así -déjenme dibujar la matriz-, donde la primera  columna es 1-0 y la segunda columna es 0-1, esto   nos dice qué hacer con estos dos vectores. Sé que  puede resultar un poco confuso al principio pero   vamos a analizarlo juntos. Por la forma en que lo  hemos representado, esta primera columna nos dice   cuál es la transformación que deseamos aplicar  en este vector 1-0; este primer vector azul,   bueno, sólo lo mantendremos en 1-0, no lo vamos  a cambiar, es lo mismo. Aquí tenemos el vector   1-0 y aquí tenemos el vector 1-0, de la misma  forma aquí tenemos el vector 0-1 y aquí tenemos   el vector 0-1; entonces, esta matriz de 2  x 2 en realidad representa lo que a veces   se conoce como transformación identidad, mapea  cualquier punto del plano coordenado en sí mismo,   sin cambiar los puntos. Les enseño esto porque  ahora voy a mostrar una matriz de 2 x 2 que   no representa la transformación identidad. Por  ejemplo -déjenme dibujar la matriz nuevamente-,   digamos que tengo la matriz, y en lugar de 1-0  aquí vamos a escribir un 2-1, y en lugar de 0-1   vamos a escribir 1-2, de modo que en esta  transformación lo que estamos haciendo es   convertir este vector 1-0 en un vector 2-1. En un  momento veremos de lo que estoy hablando. Así que,   ¿cómo se ve un vector 2-1? Bueno, nos movemos 2  en la dirección X y 1 en la dirección Y, entonces   se verá así. Y ¿cómo se ve un vector 1-2?  Bueno, nos movemos 1 en la dirección X y 2 en la   dirección Y, por lo que se ve así. Y la forma en  la que esto representa una transformación es que   cualquier cosa que fuera una suma ponderada de los  vectores 1-0 y 0-1 originalmente, ahora lo podemos   ver como una suma ponderada de los vectores 2-1  y 1-2. Y ahora podemos pensar en otro punto A',   que no va a ser 3 de 1-0 y 1 de 0-1. Podemos  pensar en esto como -lo voy a escribir por aquí-,   como 3 [2-1] + 1 [1-2], uno de éste. Entonces,  ¿en dónde quedaría eso? Lo que vamos a hacer   es poner 3 [2-1], así que este es uno de ellos,  este es el segundo y este es el tercero; y luego   vamos a tener 1 del vector 1-2, de este vector  naranja que tenemos justo aquí, así que vamos a   tener uno de esos y esto nos llevará a A'. Este  es el nuevo punto después de la transformación,   es el punto A', así que hemos pasado de este punto  A a este punto A', y esta matriz de 2 x 2 nos dice   cómo hacer la transformación. Ahora podemos hacer  eso con múltiples puntos. Si nos referimos a un   punto aquí, en el origen, que inicialmente estaba  en el punto de origen B, bueno, es el 0 del vector   naranja, y es el 0 de los vectores azules;  incluso después de la transformación va a ser   0 en el vector 2-1 y 0 en el vector 1-2, así que  simplemente se mantendrá en su lugar, simplemente   se mapeará a sí mismo. Entonces B es igual a B'.  Y también podríamos imaginar otro punto, digamos,   que tenemos este punto aquí, al que llamaremos C.  Bueno, el punto C es originalmente igual a dos de   los vectores azules y a ninguno de los vectores  naranjas, de modo que después del mapeo serán dos   del vector 2-1 y ninguno del vector 1-2; entonces  son 2 del vector 2-1 -uno, dos-, y ninguno del   vector 1-2 . Y vamos a obtener C' justo aquí.  Observen que si originalmente tuviéramos un   triángulo entre AB y C -déjenme dibujarlo así-,  si originalmente tuviéramos este triángulo ABC,   ¿cómo se mapearía ahora? Bueno ahora está mapeado  en un gran triángulo. Haré todo lo posible para   dibujarlo relativamente recto hasta el punto.  Entonces tenemos este lado, luego este lado,   que va de B' a C', y luego conectamos este lado  C' con A'. Ahora podrían estar diciendo "¿Cómo   sabemos que estas líneas se mapean en estas otras  líneas? ¿Cómo sabemos que esta transformación no   hizo de repente que esta fuera una línea ondulada  o en zigzag?" Y esta es una de las propiedades   interesantes del tipo de transformación del que  estamos hablando: una matriz de 2 x 2 representará   una transformación lineal. Y hay dos formas de  pensar en este contexto: una transformación lineal   siempre mapeará el origen sobre sí mismo y siempre  mapeará una línea en otra línea, no convertirá a   esa línea en una curva o en zigzag. Ahora, lo  último que tal vez se estarán preguntando es:   "¿Qué pasa con todas estas transformaciones  que vimos en geometría? ¿Estas transformaciones   de semejanza, como rotaciones, reflexiones,  homotecias, se pueden hacer con matrices?"   Y la respuesta simple es sí, se pueden hacer  siempre que mantengan el origen en su lugar,   y podemos usar una matriz de 2 x 2, idear toda  una serie de transformaciones lineales que son,   digamos, mucho más exóticas que las  rotaciones, reflexiones y homotecias.