Trabajar con matrices como transformaciones del plano

En un video anterior hablamos sobre cómo se  puede usar una matriz de 2 x 2 para definir   una transformación para todo el plano coordenado.  Lo que vamos a hacer en este video es experimentar   un poco y ver si podemos pensar en cómo diseñar  matrices de 2 x 2 para hacer algunas de las   transformaciones con las que podrían estar  familiarizados, como rotaciones, homotecias   o reflexiones. Este es un sitio web administrado  por la Universidad de Texas: web.ma.utexas.edu,   aquí tenemos la URL, los invito a que lo visiten  y lo usen ustedes mismos. Lo que tenemos aquí   son dos vectores con los que se puede definir  cualquier punto en nuestro plano coordenado   con alguna combinación de estos dos vectores:  este rojo que tenemos aquí es el vector 1-0,   va 1 de la dirección X, 0 en la dirección Y, y  podemos ver que es la primera columna que está   aquí en esta matriz identidad; y este vector azul  es el vector 0-1, que es la segunda columna de   esta matriz identidad, va 0 en la dirección X  y 1 en la dirección Y. Ahora, para diseñar una   transformación, podríamos preguntarnos ¿qué le  haría esta transformación a estos dos vectores?   y luego cambiar los números de acuerdo a la  respuesta. Por ejemplo, digamos que queremos   tener una reflexión sobre el eje X, entonces,  si hiciéramos una reflexión sobre el eje X,   este vector rojo no cambiaría, se quedaría 1-0;  pero ¿qué pasaría con este vector azul?, en lugar   de ser 0-1 sería 0 - 1, de modo que en esta matriz  de transformación, si en la matriz identidad en   lugar de 0-1 ahora ponemos -1, aquí ya no será la  matriz identidad, y cuando presionamos Enter este   vector azul se debería voltear sobre el eje X, y  esencialmente se daría la vuelta a todo lo demás.   Así que probémoslo: voy a presionar Enter y ahí  lo tienen, este pequeño y lindo golden retriever   ahora está volteado. Entonces, nuestra intuición  resultó verdadera, así que volvamos a lo que   estábamos haciendo antes. Eso fue una reflexión  y podríamos pensar en lo que tendríamos que hacer   si quisiéramos voltear sobre el eje Y. Ahora,  ¿qué pasa con una homotecia?, ¿qué pasaría si   quisiéramos reducir todo en un factor de 2?, ¿cómo  deberíamos modificar esta matriz para hacer eso?   Pausa en el video y piénsenlo. Bueno, si vamos  a reducir todo, especialmente si tiene un factor   de 2, lo que queremos es que cada uno de estos  vectores tenga la mitad de su longitud, entonces,   en lugar de 1-0 y 0-1 haríamos 0.5-0 y 0-0.5.  Déjenme presionar Enter y veamos qué pasa. Ahí   lo tienen, funcionó; en realidad el vector rojo se  debería ver más pequeño y también el vector azul   debería ser más pequeño, pero espero que entiendan  la idea. Tal vez siempre se muestren lo que   podríamos llamar vectores unitarios, pero volvamos  al original. Y ahora pensemos en una rotación,   eso es interesante. Pausa en este video y  piensen en lo que tendríamos que hacer si   quisiéramos rotar la imagen 90° en el sentido de  las manecillas del reloj. Muy bien, si giramos   90° en el sentido de las manecillas del reloj,  este vector rojo ya no sería 1-0, se volvería   0 - 1 -déjenme escribir eso: 0 - 1-, y el vector  azul se movería a donde está el vector rojo y se   convertiría en 1-0. Entonces, veamos si lo hicimos  de la manera correcta, voy a presionar Enter,   y ahí lo tienen, conseguimos nuestra rotación  de 90°. Estos fueron algunos ejemplos de cómo se   puede hacer una rotación pura, una homotecia pura  o una reflexión pura; pero se pueden imaginar que   también podemos hacer combinaciones de estas  transformaciones manipulando esta matriz. Y   los invito a que lo intenten. Si quieren pueden  hacer algunas transformaciones exóticas. Veamos   qué pasa si ponemos aquí un 1 y presionamos  Enter. ¡O, eso es interesante! ¿Qué pasa si   ponemos un 2? Es interesante. Observen que  podemos hacer todo tipo de transformaciones   lineales realmente interesantes. Y, como  recordatorio, una transformación lineal es   aquella en la que el origen siempre se mapea a sí  mismo y cualquier línea se mapea en otras líneas,   no necesariamente la misma línea, pero  como quiera que se mapee, seguirá alineada.