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Curso: Precálculo > Unidad 7
Lección 2: Usar matrices para representar datosUsar matrices para representar datos: ganancias
Las matrices son básicamente tablas de valores numéricos. Pero quizás te sorprenda cuántas situaciones del mundo real puedes representar con esta estructura. Aquí, por ejemplo, representamos las ganancias de un juego: representamos los puntos que obtiene cada jugador en una versión elaborada de piedra, papel y tijera. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Nos dicen: "Violeta y Lennox juegan una versión
elaborada del juego 'piedra, papel o tijeras', donde cada combinación seleccionada otorga
un número distinto de puntos a la ganadora", es decir: "piedra, papel o tijeras" -el juego
popular donde la piedra le gana a las tijeras, las tijeras le ganan al papel y
el papel le gana a la piedra-, pero ellas nos dan esta versión elaborada.
Cuando violeta gana, recibe 2 puntos; cuando Lennox gana con piedra, recibe 3 puntos;
cuando Lennox gana con papel, recibe 2 puntos; cuando Lennox gana con tijeras, recibe 1 punto,
y si ambas jugadoras eligen la misma opción, ninguna recibe puntos, porque nadie gana esa
ronda. Después nos dicen: "Completa la matriz para que represente su sistema de puntuación.
Esta matriz muestra el número de puntos que recibe Violeta (un número negativo representa que
Lennox ganó esos puntos), donde las filas son las opciones que puede elegir Violeta y las columnas
son las opciones que puede elegir Lennox". Bien, y aquí tenemos la matriz a la derecha. Y te invito
a que pauses el video y, si tienes papel y lápiz, intenta completarla por tu cuenta; así que
te invito a que consigas papel y lápiz. Bien, vamos a trabajar juntos. Recuerda: esta
matriz representa cuántos puntos obtiene Violeta con cada combinación y si Lennox gana puntos,
entonces aparecerá como un número negativo para Violeta. Así que veamos, si Violeta
elige piedra y Lennox también elige piedra, entonces estamos en esta entrada, y ¿qué
pasará?, ¿cuántos puntos recibe Violeta? Bueno, recordemos: si ambas jugadoras eligen
la misma opción, ninguna recibe puntos, por lo tanto, si ambas eligen piedra
obtenemos un 0 en esta entrada. Y, de una vez, ya sabemos que ocurre lo mismo
si Violeta elige papel y Lennox también: en este caso Violeta gana 0 puntos, y, si
ambas eligen tijeras, también tendremos un 0 en esa entrada. Ahora, ¿qué pasará si Violeta
elige piedra y Lennox papel?, ¿qué ponemos en esta entrada? Pausa el video y piénsalo:
Violeta elige piedra y Lennox elige papel. Bueno, sabemos que el papel le gana a la piedra,
entonces estamos en el caso donde Lennox gana jugando papel, es decir, estamos en este escenario
donde Lennox obtiene 2 puntos. Ahora, recuerda que esta matriz representa lo que gana Violeta,
entonces Violeta obtiene -2 puntos en este caso, ya que los gana Lennox. Bien, vayamos a la
siguiente entrada. ¿Qué representa? Bueno, representa que Violeta elige piedra y que Lennox
elige tijeras. Sabemos que la piedra le gana a las tijeras, así que estamos en el escenario donde
gana Violeta, y sabemos que siempre que gana Violeta obtiene 2 puntos, por lo tanto, en esta
entrada escribiremos un 2 positivo. Ahora ¿qué hay de esta otra entrada?, ¿qué representa?
Bueno, representa que Violeta elige papel y Lennox piedra, y sabemos que el papel le gana
a la piedra, así que estamos en otro escenario donde Violeta gana y recibe 2 puntos: en cualquier
escenario en el que ella gane, recibe 2 puntos. Ahora, ¿qué hay de este otro caso? Pausa el video
y piénsalo. Bueno, en este escenario Violeta elige papel y Lennox tijeras; sabemos que las tijeras le
ganan al papel porque pueden cortarlo -supongo-, por lo tanto Lennox gana eligiendo las tijeras, y
podemos ver por aquí que, cuando Lennox gana con tijeras, recibe 1 punto. Entonces, ten cuidado,
podemos estar tentados a escribir un 1 por aquí, pero hay que recordar que toda esta matriz
representa cuántos puntos obtiene Violeta, y mencionamos que tendríamos un número negativo si
el punto lo obtiene Lennox. Bien, ahora pensemos en nuestra última fila. ¿Qué representa esta
entrada y qué valor deberíamos obtener? Bueno, aquí tenemos el caso donde Violeta elige
tijeras y Lennox, piedra. Sabemos que la piedra gana a tijeras porque supongo que puede
golpearlas y, por lo tanto, en este caso, Lennox gana utilizando la opción piedra; y
sabemos que, cuando Lennox gana con piedra recibe 3 puntos. Si Lennox gana tres puntos y toda
esta matriz representa lo que obtiene Violeta, entonces pondremos -3 en esta entrada, porque
son tres puntos para Lennox. Recuerda: un número negativo representa que Lennox ganó esos puntos. Y
ahora tenemos esta última entrada. ¿Qué representa esta entrada y qué valor deberíamos obtener?
Bueno, esta entrada representa que Violeta elige tijeras y Lennox, papel. Sabemos que las tijeras
le ganan al papel porque pueden cortarlo y también sabemos que cualquier escenario donde gana Violeta
obtiene 2 puntos, así que aquí pondremos 2 puntos, justo así. Muy bien, una vez que llenamos la
matriz, es momento de responder esta pregunta: suponiendo que Lennox elige su opción de manera
completamente aleatoria, ¿qué opción debería elegir Violeta para maximizar sus posibilidades
de obtener la mayor cantidad de puntos? Pausa el video y observa si esta matriz es útil para
encontrar esta respuesta. Bien, en definitiva este no es un ejercicio de probabilidad, pero como un
pequeño repaso, una forma de pensarlo es que -no sé-, cuando Violeta elige piedra, aquí tenemos los
posibles resultados que puede obtener. Ahora bien, nos dicen que Lennox elige de forma aleatoria,
por lo tanto, existe ⅓ de probabilidad de que elija piedra, ⅓ de probabilidad de que elija
papel y ⅓ de probabilidad de que elija tijeras, y dado que la probabilidad de que ocurra cada
una de estas es la misma porque, dicen que Lennox las elige de manera aleatoria, entonces,
por aquí podemos obtener lo que se conoce como el valor esperado si calculamos el promedio
entre estos tres valores, es decir, podemos obtenerlo multiplicando ⅓(0) + ⅓(-2) + ⅓(2) para
esta primera fila. Si quieres saber más sobre el tema del valor esperado, puedes estudiarlo en
Khan Academy. Pero otra forma de pensarlo es, simplemente, hacer la suma de estos tres valores
y dividirla entre 3. En esta primera fila, si calculamos la suma será 0 - 2 + 2, lo que nos
da 0, y al dividirlo entre 3 obtendremos un valor esperado de 0, en el escenario en el que Violeta
elige piedra y Lennox elige de manera aleatoria. Ahora, para este segundo escenario, calculemos
el promedio: si realizamos la suma obtenemos 2 + 0 - 1, que es 1 / 3, nos da un valor esperado
de ⅓ para esta opción de Violeta. Y en este último escenario, si sumamos estos tres valores
obtendremos -1 / 3, que es -⅓; por lo tanto, podemos ver que el mejor valor esperado para
Violeta es cuando ella elige papel, suponiendo que Lennox elige siempre de manera aleatoria. En
este caso tenemos un valor esperado de ⅓ positivo, entonces ¿qué opción debería elegir Violeta para
maximizar sus posibilidades de obtener la mayor cantidad de puntos? Papel. Ojo, es importante
recordar que en este caso asumimos que Lennox siempre elige de manera aleatoria; obviamente
si Lennox descubriera que Violeta siempre elige papel, entonces ajustaría su estrategia,
pero esto se vuelve un poco más complicado.