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Curso: Precálculo > Unidad 7

Lección 10: Multiplicar matrices por matrices
Matemáticas
Precálculo
Matrices
Multiplicar matrices por matrices
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Multiplicar matrices

Google Classroom
Cuando multiplicamos una matriz por un escalar (es decir, un solo número) simplemente multiplicamos todos los términos de la matriz por ese escalar. También podemos multiplicar una matriz por otra matriz, pero este proceso es más complicado. Aún así, es muy bonito e interesante. Aprende cómo hacerlo en este artículo.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Una matriz es una arreglo rectangular de números en renglones y columnas. A cada número en una matriz se le conoce como un elemento de matriz o entrada.
Por ejemplo, la matriz A tiene 2 renglones y 3 columnas. El elemento a2,1 es la entrada en el 2o. renglón y la 1a. columna de la matriz A, o sea 5.
Si esto es nuevo para ti, te recomendamos que revises nuestra introducción a las matrices. También deberías asegurarte de que sabes cómo multiplicar una matriz por un escalar.

Lo que aprenderás en esta lección

Cómo encontrar el producto de dos matrices. Por ejemplo, encuentra
[1724]⋅[3352]

Multiplicación escalar y multiplicación de matrices

Cuando trabajamos con matrices, nos referimos a los números reales como escalares.
2⋅[5231]=[2⋅52⋅22⋅32⋅1]=[10462]
El término multiplicación escalar se refiere al producto de un número real por una matriz. En la multiplicación escalar, cada entrada en la matriz se multiplica por el escalar dado.
En contraste, la multiplicación matricial se refiere al producto de dos matrices. Esta es una operación completamente diferente. ¡Es más complicada, pero también más interesante! Veamos cómo se hace.
Entender cómo encontrar el producto punto de dos listas ordenadas de números nos puede ayudar enormemente en esta misión, ¡así que aprendamos acerca de eso primero!

n-tuplas y el producto punto

Estamos familiarizados con pares ordenados, por ejemplo (2,5), y quizás incluso con tripletas ordenadas, por ejemplo (3,1,8).
Una n-tupla es una generalización de esto. Es una lista ordenada de n números.
Podemos encontrar el producto punto de dos n-tuplas de igual longitud al sumar los productos de las entradas correspondientes.
Por ejemplo, para encontrar el producto punto de dos pares ordenados, multiplicamos las primeras coordenadas y las segundas coordenadas y sumamos los resultados.
(2,5)⋅(3,1)=2⋅3+5⋅1=6+5=11
Las n-tuplas ordenadas se indican a menudo por una variable con una flecha encima. Por ejemplo, podemos hacer a→=(3,1,8) y b→=(4,2,3). La expresión a→⋅b→ indica el producto punto de estas dos tripletas ordenadas y se puede encontrar de la forma siguiente:
a→⋅b→=(3,1,8)⋅(4,2,3)=3⋅4+1⋅2+8⋅3=12+2+24=38
Observa que el producto punto de dos n-tuplas de igual longitud es siempre solo un número real.

Comprueba tu comprensión

1) Sean c→=(4,3) y d→=(3,5).
c→⋅d→=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

2) Sean m→=(2,5,−2) y n→=(1,8,−3).
m→⋅n→=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Matrices y n-tuplas

Cuando se multiplican matrices, es útil pensar en cada renglón y columna de la matriz como una n-tupla.
c1→c2→↓↓r1→→r2→→[6423]
En esta matriz, el renglón 1 se denota como r1→=(6,2) y el renglón 2 se denota como r2→=(4,3).
De forma similar, la columna 1 se denota como c1→=(6,4) y la columna 2 se denota como c2→=(2,3).

Comprueba tu comprensión

c1→c2→c3→↓↓↓r1→→r2→→r3→→[162331574]
3) ¿Cuál de las siguientes tripletas ordenadas es c2→?
Escoge 1 respuesta:

Multiplicación de matrices

Ahora estamos listos para ver un ejemplo de multiplicación de matrices.
Dado A=[1724] y B=[3352], encontremos la matriz C=AB.
Para ayudar a nuestro entendimiento, etiquetemos los renglones en la matriz A y las columnas en la matriz B. Podemos definir la matriz producto, la matriz C, como se muestra a continuación.
b1→b2→↓↓a1→→a2→→[1274]⋅[3532]=[a1→⋅b1→a2→⋅b1→a1→⋅b2→a2→⋅b2→]ABC
Observa que cada entrada en la matriz C es el producto punto de un renglón en la matriz A y una columna en la matriz B. Específicamente, la entrada ci,j es el producto punto de ai→ y bj→.
Por ejemplo, c1,2 ies el producto punto de a1→ y b2→.
[1274]⋅[3532]=[a1→⋅b1→a2→⋅b1→17a2→⋅b2→]
Podemos completar los productos puntos para encontrar la matriz producto completa:
C=[38172614]

Comprueba tu comprensión

4) C=[2152] y D=[1436].
Sea F=C⋅D.
a) ¿Cuál de los siguientes es f2,1?
Escoge 1 respuesta:

b) Encuentra F.
F=

5) X=[4123] y Y=[2854].
Encuentra Z=X⋅Y.
Z=

6) M=[283541] y N=[416324].
Sea P=M⋅N.
a) ¿Cuál de los siguientes es p1,2?
Escoge 1 respuesta:

b) Encuentra P.
P=

¿Por qué se define de esta forma la multiplicación de matrices?

Hasta ahora, tal vez hayas encontrado bastante intuitivas las operaciones con matrices. Por ejemplo, cuando sumas dos matrices, sumas las entradas correspondientes.
Pero las cosas no funcionan como lo esperarías con la multiplicación. Para multiplicar dos matrices, no podemos simplemente multiplicar las entradas correspondientes.
Si esto te preocupa, te recomendamos que eches un vistazo a los siguientes artículos, en los que verás la multiplicación de matrices puesta en uso.

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