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Contenido principal

Introducción a las matrices cero

Aprende qué es una matriz cero, y cómo se relaciona con la suma, resta y multiplicación por escalares.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Una matriz es un arreglo rectangular de números en renglones y columnas.
Las dimensiones de una matriz indican el número de renglones y columnas de la matriz en ese orden. Como la matriz A tiene 2 renglones y 3 columnas, se le llama una matriz de 2, times, 3.
Si esto es nuevo para ti, quizá quieras revisar nuestra introducción a matrices. También deberías asegurarte de saber cómo sumar y restar matrices y cómo multiplicar una matriz por un escalar.

Definición de la matriz cero

Una matriz cero es una matriz en la que todas las entradas son 0. A continuación hay algunos ejemplos.
3, times, 3 matriz cero: O3×3=[000000000]\qquad O_{3\times 3}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array}\right]
2, times, 4 matriz cero: O2×4=[00000000]\qquad O_{2\times 4}=\left[\begin{array}{rrrr}0 & 0 &0&0 \\ 0 & 0&0&0 \end{array}\right]
Una matriz cero está indicada por O y se puede agregar un subíndice para indicar las dimensiones de la matriz si es necesario.
Las matrices cero juegan un papel similar en operaciones con matrices al que tiene el número cero en operaciones con números reales. Veamos.

Investigación: ¿qué pasa cuando sumas una matriz cero?

Recuerda que para sumar dos matrices, simplemente sumamos las entradas correspondientes.
Ahora intenta los siguientes problemas de suma de matrices. Observa que cada problema involucra la suma de una matriz con una matriz cero.
1)
[4513]+[0000]=\left[\begin{array}{rr}{4} &5 \\ 1& 3 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0 \end{array}\right]=

2)
[000000]+[234817]=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0\\0&0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{-2} &3 \\ 4& 8 \\-1&7 \end{array}\right]=

La conclusión

Cuando sumamos la matriz cero de m, times, n a cualquier matriz A de m, times, n, obtenemos la misma matriz A. En otras palabras, A, plus, O, equals, A y O, plus, A, equals, A.
Aquí no se dan explícitamente las dimensiones de la matriz cero. Se entiende que las dimensiones de la matriz cero coinciden con las dimensiones de la matriz A.

Pregunta para reflexionar

¿Cuáles son las dimensiones de la matriz cero en la ecuación B, plus, O, equals, B dado que B=[256818]B=\left[\begin{array}{rr}{-2} &5 &6 \\ 8& 1&8 \end{array}\right]?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Investigación: ¿qué pasa cuando sumamos matrices opuestas?

La opuesta de una matriz A es la matriz minus, A, en la cual cada elemento es el opuesto del elemento correspondiente en la matriz A.
Por ejemplo, si A=[4162]A=\left[\begin{array}{rr}{4} &1 \\ -6& 2 \end{array}\right], entonces A=[4162]-A=\left[\begin{array}{rr}{-4} &-1 \\ 6& -2 \end{array}\right].
Ahora intenta los siguientes problemas de suma de matrices. Observa que cada problema involucra la suma de una matriz con su opuesta.
3)
[4387]+[4387]=\left[\begin{array}{rr}{4} &-3 \\ 8& 7 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{-4} &3 \\ -8& -7 \end{array}\right]=

4)
[425132]+[425132]=

La conclusión

Cuando sumamos cualquier matriz de m, times, n a su opuesta, obtenemos la matriz cero de m, times, n. Así que sí A es cualquier matriz, tenemos A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, equals, O y minus, A, plus, A, equals, O.
También es verdad que A, minus, A, equals, O. Esto es porque restar una matriz es como sumar su opuesta.

Investigación: ¿qué pasa cuando multiplicamos una matriz por el escalar 0?

Cuando multiplicamos una matriz por un escalar, cada entrada en la matriz se multiplica por el escalar dado.
Ahora intenta los siguientes problemas de multiplicación de matriz por escalar. Observa que cada problema involucra multiplicar una matriz por el escalar 0.
5)
0[5491]=0\cdot {\left[\begin{array}{rr}{5} &4 \\ 9&1 \end{array}\right]}=

6)
0[2410715342]=0\cdot {\left[\begin{array}{rrr}{-2} &4 &10 \\ 7&-1&5\\-3&4&2 \end{array}\right]}=

La conclusión

Cuando multiplicamos cualquier matriz de m, times, n por el escalar 0, obtenemos la matriz cero de m, times, n.
Matemáticamente, esto significa que 0, A, equals, O.

Resumen: comparar la matriz cero con el número real cero

En el análisis anterior, vimos que una matriz cero se comporta como el número real cero.
En particular, podemos hacer las siguientes conexiones:
El número ceroLa matriz cero
Sumar cero a cualquier número a da el mismo número a. (p.ej. a+0=a\\a+0=a)Sumar una matriz cero a cualquier matriz A da la misma matriz A. (p.ej. A, plus, O, equals, O, plus, A, equals, A)
Sumar cualquier número a su opuesto dará cero. (p.ej. a, plus, left parenthesis, minus, a, right parenthesis, equals, 0)Sumar cualquier matriz a su opuesto dará una matriz cero. (p.ej. A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, equals, O)
Cualquier número por cero es cero. (p.ej. a, dot, 0, equals, 0).La multiplicación escalar de una matriz por 0 dará una matriz cero. (p.ej. 0, A, equals, O)
¡Entender estas conexiones puede ayudar a hacer los cálculos que involucran a la matriz cero más fácilmente!

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