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Curso: Precálculo > Unidad 7
Lección 5: Propiedades de la suma de matrices y de la multiplicación por escalaresIntroducción a las matrices cero
Aprende qué es una matriz cero, y cómo se relaciona con la suma, resta y multiplicación por escalares.
Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección
Una matriz es un arreglo rectangular de números en renglones y columnas.
Las dimensiones de una matriz indican el número de renglones y columnas de la matriz en ese orden. Como la matriz tiene renglones y columnas, se le llama una matriz de .
Si esto es nuevo para ti, quizá quieras revisar nuestra introducción a matrices. También deberías asegurarte de saber cómo sumar y restar matrices y cómo multiplicar una matriz por un escalar.
Definición de la matriz cero
Una matriz cero es una matriz en la que todas las entradas son . A continuación hay algunos ejemplos.
matriz cero:
matriz cero:
Una matriz cero está indicada por y se puede agregar un subíndice para indicar las dimensiones de la matriz si es necesario.
Las matrices cero juegan un papel similar en operaciones con matrices al que tiene el número cero en operaciones con números reales. Veamos.
Investigación: ¿qué pasa cuando sumas una matriz cero?
Recuerda que para sumar dos matrices, simplemente sumamos las entradas correspondientes.
Ahora intenta los siguientes problemas de suma de matrices. Observa que cada problema involucra la suma de una matriz con una matriz cero.
La conclusión
Cuando sumamos la matriz cero de a cualquier matriz de , obtenemos la misma matriz . En otras palabras, y .
Aquí no se dan explícitamente las dimensiones de la matriz cero. Se entiende que las dimensiones de la matriz cero coinciden con las dimensiones de la matriz .
Pregunta para reflexionar
Investigación: ¿qué pasa cuando sumamos matrices opuestas?
La opuesta de una matriz es la matriz , en la cual cada elemento es el opuesto del elemento correspondiente en la matriz .
Por ejemplo, si , entonces .
Ahora intenta los siguientes problemas de suma de matrices. Observa que cada problema involucra la suma de una matriz con su opuesta.
La conclusión
Cuando sumamos cualquier matriz de a su opuesta, obtenemos la matriz cero de . Así que sí es cualquier matriz, tenemos y .
También es verdad que . Esto es porque restar una matriz es como sumar su opuesta.
Investigación: ¿qué pasa cuando multiplicamos una matriz por el escalar ?
Cuando multiplicamos una matriz por un escalar, cada entrada en la matriz se multiplica por el escalar dado.
Ahora intenta los siguientes problemas de multiplicación de matriz por escalar. Observa que cada problema involucra multiplicar una matriz por el escalar .
La conclusión
Cuando multiplicamos cualquier matriz de por el escalar , obtenemos la matriz cero de .
Matemáticamente, esto significa que .
Resumen: comparar la matriz cero con el número real cero
En el análisis anterior, vimos que una matriz cero se comporta como el número real cero.
En particular, podemos hacer las siguientes conexiones:
El número cero | La matriz cero | |
---|---|---|
Sumar cero a cualquier número | Sumar una matriz cero a cualquier matriz | |
Sumar cualquier número a su opuesto dará cero. (p.ej. | Sumar cualquier matriz a su opuesto dará una matriz cero. (p.ej. | |
Cualquier número por cero es cero. (p.ej. | La multiplicación escalar de una matriz por |
¡Entender estas conexiones puede ayudar a hacer los cálculos que involucran a la matriz cero más fácilmente!
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- encuentre B tal que AB = C(2 votos)
- El escalar cero por una matriz será equivalente a multiplicar la matriz por su opuesta, entonces ¿cero es igual a la opuesta de la matriz dada?(1 voto)
- Si no me equivoco , creo que el escalar cero por una matriz es igual a cero ( 0A = 0 ) Mientras que la suma de una matriz por su opuesta también da cero. Espero haber ayudado :)(3 votos)
- ¿entonces todo lo que se suma si es un numero negativo por el posivo da 0 o si se multiplica por 0 ?(1 voto)
- Siento que esto es innecesario como para que nos expliquen paso a paso.(0 votos)