Contenido principal

Propiedades de la multiplicación de matrices

Aprende las propiedades de la multiplicación de matrices (como la propiedad distributiva), y cómo se relacionan con la multiplicación de números reales.

Propiedades de la multiplicación de matrices

En esta tabla,

A

B

C

son matrices de

n \times n

I

es la matriz identidad de

n \times n

, y

O

es la matriz cero de

n \times n

Propiedad	Ejemplo
La propiedad conmutativa de la multiplicación $¡no se cumple!$ ‍	$A B \neq B A$ ‍
Propiedad asociativa de la multiplicación	$(A B) C = A (B C)$ ‍
Propiedades distributivas	$A (B + C) = A B + A C$ ‍
	$(B + C) A = B A + C A$ ‍
Propiedad de la indentidad multiplicativa	$I A = A$ ‍ and $A I = A$ ‍
Propiedad multiplicativa de cero	$O A = O$ ‍ y $A O = O$ ‍
Propiedad de la dimensión	El producto de una matriz de $m \times n$ ‍ por una matriz de $n \times k$ ‍ es una matriz de $m \times k$ ‍.

Veamos una multiplicación de matrices para explorar estas propiedades.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

En la multiplicación de matrices, cada entrada en la matriz producto es el producto punto de un renglón en la primera matriz por una columna en la segunda matriz.

Si esto es nuevo para ti, te recomendamos que revises nuestro artículo sobre multiplicación de matrices.

Aquí hay otros artículos relevantes:

La multiplicación de matrices no es conmutativa

Una de las más grandes diferencias entre la multiplicación de números reales y la multiplicación de matrices es que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

En otras palabras, en la multiplicación de matrices, ¡el orden en el que se multiplican las matrices sí importa!

¡Miren ustedes mismos!

Echemos un vistazo a un ejemplo concreto con las siguientes matrices.

A = [\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

1) Encuentra $A B$ ‍ y $B A$ ‍.

$A B =$ ‍	$B A =$ ‍

[¡Necesito ayuda!]

¡Observa que los productos no son los mismos! Como

A B \neq B A

, ¡la multiplicación de matrices no es conmutativa!

Sin embargo, aparte de esta diferencia importante, las propiedades de la multiplicación de matrices son prácticamente similares a la propiedades de la multiplicación de números reales.

Propiedad asociativa de la multiplicación: $(A B) C = A (B C)$ ‍

Esta propiedad indica que puedes cambiar la agrupación en la multiplicación de matrices.

Por ejemplo, puedes multiplicar la matriz

A

por la matriz

B

y luego multiplicar el resultado por la matriz

C

, o puedes multiplicar la matriz

B

por la matriz

C

y luego multiplicar el resultado por la matriz

A

Cuando uses esta propiedad, asegúrate de poner atención al orden en el que se multiplican las matrices, ¡pues sabemos que la propiedad conmutativa no se cumple para la multiplicación de matrices!

[¡Me gustaría ver un ejemplo, por favor!]

Propiedades distributivas

Podemos distribuir matrices al multiplicar de la misma manera que distribuimos números reales.

$A (B + C) = A B + A C$ ‍
$(B + C) A = B A + C A$ ‍

¡Si una matriz

A

se distribuye del lado izquierdo, asegúrate que cada producto en la suma resultante tenga

A

a la izquierda! ¡De forma similar, si una matriz

A

se distribuye del lado derecho, asegúrate de que cada producto en la suma resultante tenga

A

a la derecha!

[¡Me gustaría ver un ejemplo, por favor!]

Propiedad de la identidad multiplicativa

La matriz identidad de

n \times n

, denotada como

I_{n}

, es una matriz con

n

renglones y

n

columnas. Las entradas en la diagonal desde la parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha son todas

1

y el resto de las entradas son

0

Por ejemplo:

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] I_{4} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

La propiedad de la identidad multiplicativa indica que el producto de cualquier matriz

A

n \times n

por

I_{n}

siempre es

A

, sin importar el orden en que se haga la multiplicación. En otras palabras,

A \cdot I = I \cdot A = A

[¡Me gustaría ver un ejemplo, por favor!]

El papel que tiene la matriz identidad de

n \times n

en la multiplicación de matrices es similar al papel que tiene el número

1

en el sistema de números reales. Si

a

es un número real, entonces sabemos que

a \cdot 1 = a

1 \cdot a = a

Propiedad multiplicativa del cero

Una matriz cero es una matriz en la que todas las entradas son

0

. Por ejemplo, la matriz cero de

3 \times 3

O_{3 \times 3} = [\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

Una matriz cero está indicada por

O

y se puede agregar un subíndice para indicar las dimensiones de la matriz si es necesario.

La propiedad multiplicativa del cero indica que el producto de cualquier matriz de

n \times n

por la matriz cero de

n \times n

es la matriz cero de

n \times n

. En otras palabras,

A \cdot O = O \cdot A = O

[¡Me gustaría ver un ejemplo, por favor!]

El papel que tiene la matriz cero de

n \times n

en la multiplicación de matrices es similar al papel que tiene el número

0

en el sistema de números reales. Si

a

es un número real, entonces sabemos que

a \cdot 0 = 0

0 \cdot a = 0

La propiedad de la dimensión

Una propiedad que es única de las matrices es la propiedad de la dimensión. Esta propiedad tiene dos partes:

El producto de dos matrices estará definido si el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz.
Si el producto está definido, la matriz resultante tendrá el mismo número de renglones que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz.

Por ejemplo, si

A

es una matriz de

3 \times 2

y si

B

es una matriz de

2 \times 4

, la propiedad de la dimensión nos dice:

El producto $A B$ ‍ está definido.
$A B$ ‍ será una matriz de $3 \times 4$ ‍.

Comprueba tu comprensión

Ahora que estás familiarizado con la multiplicación de matrices y sus propiedades, veamos si puedes usarlas para determinar expresiones matriciales equivalentes.

Para los problemas siguientes, sean

A

B

C

matrices de

2 \times 2

, y sea

O

la matriz cero de

2 \times 2

2) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes a $A (B + C)$ ‍?

[¡Necesito ayuda!]

3) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes a $I_{2} (A B)$ ‍?

[¡Necesito ayuda!]

4) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes a $O (A + B)$ ‍?

[¡Necesito ayuda!]

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión

Ordenar por:

Sin publicaciones aún.

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Precálculo

Curso: Precálculo > Unidad 7

Propiedades de la multiplicación de matrices