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La propiedad asociativa en la multiplicación de matrices

Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es mostrar que la multiplicación entre matrices es asociativa y bueno por lo menos lo voy a demostrar para matrices de dos por dos aunque en realidad todo lo que vamos a hacer se puede extender para matrices de cualquier dimensión siempre y cuando la multiplicación entre estas matrices esté bien definida aunque hay entonces vamos a poner por aquí dos matriz e tenemos aquí a la matriz a de c d y luego tenemos aquí otra matriz f g h i la última matriz y aunque ésta y no es el número imaginario raíz de menos uno de ellos simplemente un número al igual que ésta no es el número es simplemente una que hay una variable entonces estas matrices i j k l y bueno vamos a tener dos casos entonces déjame copio y pego todo esto y lo colocamos por acá entonces lo que vamos a hacer en este caso es multiplicar primero la matriz naranja con la matriz amarilla ser esta multiplicación y después multiplicar lo que nos que ve por la matriz morada y en este caso vamos a hacer algo muy similar pero primero vamos a multiplicar la matriz amarilla con la matriz morada vamos a hacer esta multiplicación y lo que nos quede lo vamos a multiplicar por la matriz naranja y si lo que nos queda de estos dos productos es igual entonces habremos demostrado que la multiplicación de matrices por lo menos de matrices de dos por dos si es asociativa y bueno ya vimos que la multiplicación entre matrices no es conmutativa y ahorita pues vamos a ver si es asociativa te recomiendo que le pongas pausa al vídeo y tratar de resolverlo tú solito y luego regrese saber cómo lo resuelvo y yo pero bueno te digo desde ahorita que la multiplicación de matrices si es asociativa pero hay que demostrarlo paso por paso entonces vamos a empezar multiplicando estas dos matrices y tenemos aquí que nos va a quedar una matriz de 2 x 2 pero voy a dejar este paréntesis abierto porque van a hacer muchas letras en cada entrada entonces todavía no voy a cerrar la matriz pero en esta entrada es esta fila por esta columna y entonces nos queda a más de g la segunda entrada es esta fila por esta columna y nos queda a efe más de h esta entrada es esta fila por esta columna y nos queda ese más de g y finalmente esta fila por esta columna que es ese efe más de h esto es la matriz que nos queda de multiplicar estas dos matrices y ahora lo que vamos a hacer es multiplicar la multiplicación de estas dos matrices por esta otra matriz ya la copia y la pegué y la ponemos por aquí y ahora vamos a multiplicar estas dos matrices nos queda a ver la primera entrada es esta fila por esta columna entonces tenemos que multiplicar la y por todo esto de aquí más que deja medio una vez distribuyó la y dentro de ésta asume y nos queda y a más y por b por g nada y ahora lo que nos queda de multiplicar esta entrada por acá porque estamos haciendo esta fila por esta columna aquí tenemos y por esta entrada y nos falta acá por esta entrada y nos queda cada por a por cada por b por h y ahora vamos con esta entrada que está en la primera fila y según una columna entonces tenemos que multiplicar esta primera fila por esta segunda columna y lo que nos queda es j por todo esto y más l por todo esto que entonces vamos a escribirlo j apuré me j por b por g j orbe por g me el epp ahora por efe l por a por efe mas el epp orbe por hache o por be por h bueno y entonces vamos con esta entrada que está en la segunda fila y primera columna entonces tomamos la segunda fila y la multiplicamos por la primera columna nos queda y por todo esto no sea y por porsche más y por de por g más acá por todo esto de aquí no sea porsche por efe mas k por de por h listo ya ahora vamos con la última entrada que está en la segunda fila según una columna o sea que vamos a multiplicar segunda fila por segunda columna entonces j por todo esto entonces obtenemos j por porsche me j por de por g me duele por todo esto o sea el de porsche por efe mas l por de por h y listo el único problema es que nos estamos acabando este espacio entonces vamos a hacer un poquito más pequeña entonces esta matriz es el resultado de multiplicar estas tres matrices con este orden donde primero multiplicamos la matriz naranja y amarilla que es lo que nos indica este paréntesis y después multiplicamos por la matriz morada y ahora vamos a multiplicar estas tres matrices pero con este otro orden donde primero multiplicamos la matriz amarilla con la morada y después multiplicamos por la nada entonces vamos a empezar multiplicando estas dos matrices la primera entrada aquí es esta fila por esta columna entonces nos queda y por más efe por acá la segunda entrada es esta fila por esta columna y nos quedaba hot más l efe esta entrada de aquí es esta fila por esta columna entonces y g más acá por la h y esta entrada de aquí es esta fila por esta columna así es que nos queda g j h por l ya multiplicamos estas dos matrices y ahora su producto lo tenemos que multiplicar por la matriz a b c d a me sé de qué íbamos a poner esa matriz por a que la primera entrada resulta de multiplicar esta fila con esta columna entonces tenemos que multiplicar a por todo esto de aquí más de por todo esto de aquí y de una vez vamos a usar la propiedad distributiva y nos queda simplemente por y por más por eso porque a por efe porque nada más de por esta cosa de aquí que es de por y jorge más ve porque por h para obtener esta entrada tenemos que multiplicar esta pila por esta columna nos quedaba por y por más por efe porque más que eso por todo esto de aquí más de por todo esto de aquí que es de por sí y por g más de por acá por h y ahora vamos a múltiples esta fila con esta columna y nos que ve apure por jota más a por él por efe a por l por efe mas ve porque por jota de por g por j más ve por h por l b por h por l y finalmente esta fila por esta columna nos que ve se por por jote más se por l por efe más dé por todo esto de aquí que es de jorge por jote me dé por h por l y listo ya terminamos de multiplicar estas tres matrices multiplicando primero estas dos y después está entonces lo que tenemos que hacer es ver si estas dos matrices son iguales bueno y para ver eso tenemos que ver que sean iguales entrada por entrada o sea que todo esto sea igual a todo esto vamos a ver tenemos aquí y e y por aquí tenemos a y e y sabemos que estas dos cosas son iguales porque éstos ya son simplemente escalares y los escalares si son conmutativo entonces y si es igual a y e bueno pues es nada más un elemento de la asume también tenemos que ver si hay un y vejez para que iu pues está aquí el b y g que son iguales acá efe es igual a efe que y cabe h es igual la beca chih entonces esta entrada y es exactamente igual a esta entrada pero nos falta ver que eso suceda en todas estas entradas así es que vamos a ver jota jota jota de je je je hot l a s p a él el pp aquí se me fue un error de dedo tenemos aquí nada más una b h y aquí tenemos un bebé h l pero a ver antes de tirar todo nuestro trabajo en la basura tenemos que ver qué pasó intentaba o sea porque no puede ser que nada más tengamos dos letras por aquí entonces a ver esta entrada salió de multiplicar la primera chile con la segunda columna entonces tenemos que multiplicar j por todo esto y más l por todo esto que dijo está por todo esto está aquí muy bien pero a la hora de multiplicar el 'por todo esto se me pasó por la chj la l ya tenemos el epp ahora por efe que ya está el epp ahora por efe pero luego tenía que poner el dépor b por h nada más puse bh entonces aquí va una él y ahora si el dépor b por h es igual a b x h por l bueno en esta entrada tenemos y por el porsche sé por y pobre y deje de ig case efe cfk cade h de caché y luego las últimas dos entradas tenemos l d h de hl lcf cl efe p j deje de gj y finalmente js j entonces estos dos matrices son exactamente iguales entrada por entrada y esto lo que significa es que no importa el orden en que hagamos la multiplicación o sea que las matrices si cumplen la propiedad asociativa ahora algo muy importante es que aquí no estamos cambiando el orden de las matrices aquí tenemos primero naranja luego amarillo y luego morado y de este lado tenemos también naranja amarillo y morado lo único que estamos cambiando es que de este lado primero hacemos la multiplicación de la primera y segunda matriz y después a lo que nos queda la multiplicamos por la tercera matriz y de este lado primero multiplicamos la segunda y la tercera matriz y lo que nos queda lo multiplicamos por la primera matriz keith nada de cambiar de lugar las matrices que ya vimos en el video pasado que las matrices no son conmutativa sas y que no las podemos cambiar de lugar bueno pero este vídeo demuestra que las matrices si son asociativas