La propiedad asociativa en la multiplicación de matrices

lo que quiero hacer en este vídeo es mostrar que la multiplicación entre matrices es asociativa y bueno por lo menos lo voy a demostrar para matrices de 2 por 2 aunque en realidad todo lo que vamos a hacer se puede extender para matrices de cualquier dimensión siempre y cuando la multiplicación entre estas matrices esté bien definida entonces vamos a poner por aquí dos matrices tenemos aquí a la matriz de se dé y luego tenemos aquí otra matriz efe h y la última matriz aunque está ahí no es el número imaginario raíz de menos 1 es simplemente un número al igual que este no es el número es simplemente una e aunque hay una variable entonces esta matriz es i j k l y bueno vamos a tener dos casos entonces déjame copio y pego todo esto y lo colocamos por acá entonces lo que vamos a hacer en este caso es multiplicar primero la matriz naranja con la matriz amarilla hacer esta multiplicación y después multiplicar lo que nos quede por la matriz morada y en este caso vamos a hacer algo muy similar pero primero vamos a multiplicar la matriz amarilla con la matriz morada vamos a hacer esta multiplicación y lo que nos quede lo vamos a multiplicar por la matriz naranja y si lo que nos queda de estos dos productos es igual entonces habríamos demostrado que la multiplicación de matrices por lo menos de matrices de 2 por 2 si es asociativa y bueno ya vimos que la multiplicación entre matrices no es conmutativa y ahorita pues vamos a ver si si es asociativa te recomiendo que le pongas pausa el vídeo y trates de resolverlo tú solito y luego regresas a ver cómo lo resuelvo yo pero bueno te digo desde ahorita que la multiplicación de matrices si es asociativa pero hay que demostrarlo paso por paso entonces vamos a empezar multiplicando estas dos matrices y tenemos aquí que nos va a quedar una matriz de 2 por 2 pero voy a dejar este paréntesis abierto porque van a hacer muchas letras en cada entrada entonces todavía no voy a cerrar la matriz pero bueno esta entrada es esta fila por esta columna y entonces nos queda más de que la segunda entrada es esta fila por esta columna y nos queda a efe más de h esta entrada es esta fila por esta columna y nos queda es más de g y finalmente esta fila por esta columna que es c efe más de h ok esto es la matriz que nos queda de multiplicar estas dos matrices y ahora lo que vamos a hacer es multiplicar la multiplicación de estas dos matrices por esta otra matriz ya la copia y la pegué y la ponemos por aquí y ahora vamos a multiplicar estas dos matrices nos queda a ver la primera entrada es esta fila por esta columna entonces tenemos que multiplicar la y por todo esto de aquí nada más que déjame de una vez distribuyó la y dentro de esta suma y nos queda y a más y por ver por qué más y ahora lo que nos queda de multiplicar esta entrada porque aunque porque estamos haciendo esta fila por esta columna aquí tenemos y por esta entrada y nos falta que por esta entrada y nos queda acá por a por f más que por b por h y ahora vamos con esta entrada que está en la primera fila y segunda columna entonces tenemos que multiplicar esta primera fila por esta segunda columna y lo que nos queda es j por todo esto más l por todo esto porque entonces vamos a escribirlo jota por apure más jota por ver porque no está por ver por qué más l ahora por efe l por a por efe mas l por b por h o por b por h bueno y entonces vemos con esta entrada que está en la segunda fila y primera columna entonces tomamos la segunda fila y la multiplicamos por la primera columna nos queda y por todo esto ósea y por porsche más y por d por g más acá por todo esto de aquí o sea que porsche por efe mas k por d por h listo ya ahora vamos con la última entrada que está en la segunda fila segunda columna o sea que vamos a multiplicar segunda fila por segunda columna entonces es jota por todo esto entonces obtenemos jota por porsche más por de por qué más por todo esto o sea el porsche por efe mas l por d por h y listo el único problema es que nos estamos acabando este espacio entonces vamos a hacerla un poquito más pequeña bueno entonces esta matriz es el resultado de multiplicar estas tres matrices con este orden donde primero multiplicamos la matriz naranja y la amarilla que es lo que nos indica este paréntesis y después multiplicamos por la matriz morada y ahora vamos a multiplicar estas tres matrices pero con este otro orden donde el primero multiplicamos la matriz amarilla con la morada y después multiplicamos por la naranja entonces vamos a empezar multiplicando estas dos matrices la primera entrada aquí es esta fila por esta columna entonces nos queda y por el más efe por acá la segunda entrada es esta fila por esta columna y nos queda j + l efe esta entrada de aquí es esta fila por esta columna entonces es ig más acá por h y esta entrada de aquí es esta fila por esta columna así es que nos queda gj más h por l ya multiplicamos estas dos matrices y ahora su producto lo tenemos que multiplicar por la matriz abc de a b c y vamos a poner esa matriz ahora qué la primera entrada resulta de explicar esta fila con esta columna entonces tenemos que multiplicar por todo esto de aquí más b por todo esto de aquí y de una vez vamos a usar la propiedad distributiva y nos queda simplemente a x y por e más a por efe porque a por efe por k mas ve por esta cosa de aquí que es b por i por g más b por acá por h mono y para obtener esta entrada tenemos que multiplicar esta fila por esta columna y nos queda se por y por y más se por efe porque más eso sé por todo esto de aquí más d por todo esto de aquí que es de x y por g más de por acá por h y ahora vamos a multiplicar esta fila con esta columna y nos queda apure por jota más a por él o por efe a por l por efe mas b porque por j b por g por jota más b por h por el b por h por el y finalmente esta fila por esta columna y nos queda ce por e por j más c por l por efe mas d por todo esto de aquí que es de por g por j más de por h por l y listo ya terminamos de multiplicar estas tres matrices multiplicando primero estas dos y después esta entonces lo que tenemos que hacer es ver si estas dos matrices son iguales bueno y para ver eso tenemos que ver que sean iguales entrada por entrada o sea que todo esto sea igual a todo o esto vamos a ver tenemos aquí y por aquí tenemos a él y sabemos que estas dos cosas son iguales porque estos ya son simplemente escalares y los escalares si son conmutativo entonces y si es igual a a y bueno pero eso es nada más un elemento de la suma también tenemos que ver si hay un eje por acá y pues hasta aquí el eje que son iguales acá efe es igual a efe que y cabe h es igual a bk h entonces esta entrada si es exactamente igual a esta entrada pero nos falta ver que eso suceda en todas estas entradas así es que vamos a ver j eh j&j vejez pgj el a efe a él efe aquí se me fue un error de dedo tenemos aquí nada más un ave h y aquí tenemos un b h l pero a ver antes de tirar todo nuestro trabajo en la basura tenemos que ver qué pasó en esta entrada o sea porque no puede ser que nada más tengamos dos letras por aquí entonces a ver esta entrada salió de multiplicar la primera fila con la segunda columna entonces teníamos que multiplicar j por todo esto más l por todo esto keiko está por todo esto está aquí muy bien pero a la hora de multiplicar l por todo esto se me pasó ponerle aquí la l ya tenemos el epp ahora por efe que ya está el epp ahora por efe pero luego tenía yo que poner el porve por h y nada más puse vih entonces aquí va una y ahora si el por ver por h es igual a b por h por l bueno en esta entrada tenemos y por el porsche sé por y porque y de g le dije casi efe cf que cada h de acá h y luego las últimas dos entradas tenemos l de h de h l l c efe cl efe jd g de g j y finalmente j s c j entonces estas dos matrices son exactamente iguales entrada por entrada y eso es lo que significa es que no importa el orden en que hagamos la multiplicación ok o sea que las matrices si cumplen la propiedad asociativa ahora algo muy importante es que aquí no estamos cambiando el orden de las matrices porque aquí tenemos primero naranja luego amarillo y luego morado y de este lado tenemos también naranja amarillo y morado lo único que estamos cambiando es que de este lado primero hacemos la multiplicación la primera y segunda matriz y después a lo que nos queda la multiplicamos por la tercera matriz y de este lado primero multiplicamos la segunda y la tercera matriz y lo que nos queda lo multiplicamos por la primera matriz ok nada de cambiar de lugar las matrices que ya vimos en el vídeo pasado que las matrices nuevas son conmutativa y que no las podemos cambiar de lugar bueno pero este vídeo demuestra que las matrices si son asociativas