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¿La multiplicación de matrices es conmutativa?

Transcripción del video

sabemos que la multiplicación de números escalares es conmutativa y eso quiere decir por poner un ejemplo sabemos que cinco por once es exactamente igual que 11 por cinco esta es tal cual la propiedad conmutativa y todos los números escala es la cumplen podemos poner otro ejemplo o sea también tres por -7 es exactamente igual a poner primero por aquí el -7 y multiplicar de este lado por el 3 y ese es el chiste de la propiedad conmutativa de la multiplicación que no importa en qué orden estamos multiplicando los números o sea por ejemplo si queremos ser súper generales podemos poner el escalar a y multiplicarlo por el escalar b y eso es exactamente igual a tomar el escalar b 1º y multiplicar de este lado por el escalar a lo que quiero hacer en este vídeo es ver si hay algo parecido pero para las matrices o sea si la multiplicación entre dos matrices es conmutativa lo que quiero que nos preguntemos en este vídeo si tomamos una matriz a que está la matriz a y la multiplicamos por una matriz ve la matriz de si esta multiplicación de estas dos matrices en este orden es igual a tomar primero a la matriz ve esto es la matriz pp y luego multiplicarla por la matriz a lo que estamos haciendo es cambiar el orden en el que estamos multiplicando a estas dos matrices y nos preguntamos si esos dos productos son iguales si fueran iguales eso sería lo equivalente a la propiedad conmutativa de los escaladores en la que estábamos hablando ahora para poder decir que la multiplicación entre matrices conmutativa necesitamos que esto pase pero para todas las matrices sas y todas las matrices vez ok no puede ser nada más para algunas cuantas en entonces la pregunta es si esto siempre es cierto y te sugiero que le pongas pausa el video y traté de averiguar si esto siempre es cierto o no mañana podemos empezar por pensar en algunas cosas digamos que tenemos por aquí un ejemplo de una matriz a y que esta matriz es una matriz de dimensiones 5 x 2 y queremos multiplicar esta matriz por una matriz ve que es una matriz de dos por tres entonces sí estamos multiplicando dos matrices y nos fijamos y vemos que el número de columnas de la matriz a es exactamente igual al número de pilas de la matriz ve entonces sabemos que sí podemos multiplicar estos dos matrices y que además la multiplicación de estas dos matrices va a ser otra matriz a la cual le vamos a llamar la matriz c que tiene el mismo número de filas que la matriz a sea que tiene cinco filas y el mismo número de columnas que la matriz de o sea que tiene tres columnas bueno pero qué pasa cuando multiplicamos ve ahora a bérgamo sabe voy a copiar y pegar la matriz b y la queremos multiplicar por la matriz que la queremos por aquí entonces qué pasa cuando multiplicamos 1º b y después a pues tenemos aquí que esta multiplicación no está definida porque tenemos que el número de columnas debe que es este 3 de aquí no es igual al número de pilas de la matriz que este 5 de aquí entonces esta multiplicación no está definida no está definida y ya con esto ya tenemos un ejemplo de cómo esta propiedad conmutativa no siempre es cierta o sea a veces ni siquiera está definido lo que significa ve por ahora entonces esto no siempre sucede ok el orden en el que multiplicamos a las matrices sí importa pero bueno podríamos llegar a pensar que esta propiedad si se cumple siempre que esta multiplicación esté definida por ejemplo si estamos tomando matrices cuadrada o si definimos a las matrices de cierta forma me así es que vamos a ver un caso más concreto donde esta multiplicación si está definida pero donde esta propiedad conmutativa no se va entonces tenemos por aquí la matriz 12 - 3 - 4 y la vamos a multiplicar por la matriz menos 200 menos tres y eso pues nos va a dar una matriz que también va a ser una matriz de dos por dos usted matriz de dos por dos y a ver vamos a sacar esta entrada de la primera columna y primera file así es que tenemos que tomar la primera hilera de esta matriz y la primera columna de esta otra matriz y tomamos menos dos por uno menos dos más dos por cero simplemente un -2 y ahora para sacar esta entrada tenemos que multiplicar la primera chile por la segunda columna 1 por 0 0 +2 0 - 3 - 6 ahora vamos con esta entrada que está en la primera columna y segunda chile segunda fila y primera columna y nos queda menos tres por menos dos más menos 4 por 0 6 y finalmente la última entrada tomamos la segunda fila y la segunda columna nos queda menos tres por cero más menos 4 por lo menos 312 y ahora vamos a ver qué pasa pero si lo multiplicamos con otro orden aunque entonces por aquí primero a la matriz morada que es menos 200 menos tres y multiplicamos de este lado esta otra matriz que es la matriz 12 - 3 - cuatro y eso pues nos va a dar otra matriz de dos por dos entonces saber primera entrada tenemos que multiplicar esta fila por esta columna nos queda uno pero menos dos menos 20 por menos 3 - 2 y mira hasta ahorita con lo que llevamos si nos están quedando parecidas claro que llevamos una entrada de 4 no deberíamos emocionarnos tanto ahora vamos con esta entrada que es la primera fila y la segunda columna menos 2 x 2 - 4 + 0 por lo menos 4 entonces nos queda es simplemente un -4 y mira ya nos quedaron distintas estos dos matrices porque aquí tenemos un -4 y aquí tenemos un -6 entonces este es un ejemplo de dos matrices que si los multiplicamos con cierto orden nos queda una matriz pero que si cambiamos el orden en el que las estamos multiplicando nos queda otra matriz así es que no siempre sucede eso de que la multiplicación de las matrices sea conmutativa keith no sucede el orden de la multiplicación de dos matrices es muy importante pero bueno hay que terminar de hacer esta multiplicación sólo para no dejar la inconclusa entonces esta entrada la primera columna y segunda fila 1 por 0 0 - 3 por menos 3 es un nueve mira también son distintos en esta entrada y finalmente última fila por última columna 2 por 0 0 - 3 por menos 412 así es que aquí tenemos un ejemplo donde la multiplicación de dos matrices está definida sí importar el orden en el que las estamos multiplicando o sea si ponemos primera ola verde y luego la morada o primero la morada y luego laver de la multiplicación si está definida pero no son iguales y entonces éste es un ejemplo que muestra que la multiplicación entre matrices no es conmutativa