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¿La multiplicación de matrices es conmutativa?

Verificamos si la propiedad conmutativa aplica para la multiplicación de matrices. In otras palabras, si para cualesquiera dos matrices A y B, A*B=B*A (la respuesta es NO, por cierto). Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

sabemos que la multiplicación de números escalares es conmutativa y eso quiere decir por poner un ejemplo sabemos que 5 por 11 es exactamente igual que 11 por 5 esta es tal cual la propiedad conmutativa y todos los números escalares la cumplen podemos poner otro ejemplo o sea también 3 x menos 7 es exactamente igual a poner primero por aquí el menos 7 y multiplicar de este lado por el 3 y ese es el chiste de la propiedad conmutativa de la multiplicación que no importa en qué orden estamos multiplicando los números o sea por ejemplo si queremos ser super generales podemos poner el escalar y multiplicarlo por el escalar b y eso es exactamente igual a tomar el escalar de primero y multiplicar de este lado por el escalar y lo que quiero hacer en este vídeo es ver si hay algo parecido pero para las matrices o sea si la multiplicación entre dos matrices es conmutativa lo que quiero que nos preguntemos en este vídeo es si tomamos una matriz y aquí está la matriz a y la multiplicamos por una matriz de la matriz de si esta multiplicación de estas dos matrices en este orden es igual a tomar primero a la matriz b esta es la matriz p y luego multiplicar la por la matriz a ok lo que estamos haciendo es cambiar el orden en el que estamos multiplicando a estas dos matrices y nos preguntamos si esos dos productos son iguales si fueron iguales eso sería lo equivalente a la propiedad conmutativa los escalares de la que estábamos hablando ahora para poder decir que la multiplicación entre matrices es conmutativa necesitamos que esto pase pero para todas las matrices as y todas las matrices vez ok no puede ser nada más para algunas cuentas entonces la pregunta es si esto siempre es cierto y te sugiero que le pongas pausa al vídeo y trates de averiguar si esto siempre es cierto o no bueno podemos empezar por pensar en algunas cosas digamos que tenemos por aquí un ejemplo de una matriz y que esta matriz es una matriz de dimensiones 5 x 2 y queremos multiplicar esta matriz a por una matriz b que es una matriz de 2 x 3 entonces si estamos multiplicando dos matrices y nos fijamos y vemos que el número de columnas de la matriz a es exactamente igual al número de filas de la matriz be entonces sabemos que si podemos multiplicar estas dos matrices y que además la multiplicación de estas dos matrices va a ser otra matriz a la cual le vamos a llamar la matriz ce que tiene el mismo número de filas que la matriz a o sea que tiene cinco filas y el mismo número de columnas que la matriz b o sea que tiene tres columnas bueno pero qué pasa cuando multipliquemos ve por a ver vamos a ver voy a copiar y pegar la matriz b y la queremos multiplicar por la matriz a que la queremos por aquí entonces qué pasa cuando multiplicamos primero b y después a pues tenemos aquí que esta multiplicación no está definida porque porque tenemos que el número de columnas de b que es este 3 de aquí no es igual al número de filas de la matriz a que es este 5 de aquí entonces esta multiplicación no está definida no está definida y ya con esto ya tenemos un ejemplo de cómo esta propiedad conmutativa no siempre es cierta o sea a veces ni siquiera está definido lo que significa b por a entonces esto no siempre sucede ok el orden en el que multiplicamos a las matrices si importa pero bueno podríamos llegar a pensar que esta propiedad si se cumple siempre que esta multiplicación esté definida por ejemplo si estamos tomando matrices cuadradas o si definimos a las matrices de cierta forma así es que vamos a ver un caso más concreto donde esta multiplicación si está definida pero donde esta propiedad conmutativa no se da entonces tenemos por aquí la matriz 1 2 - 3 menos 4 y la vamos a multiplicar por la matriz menos 200 menos 3 y eso pues nos va a dar una matriz que también va a ser una matriz de 2 x 2 de esta matriz de 2 por 2 y a ver vamos a sacar esta entrada de la primera columna y primera fila así es que tenemos que tomar la primera fila de esta matriz y la primera columna de esta otra matriz y tomamos menos dos por uno menos dos más dos por cero y simplemente un -2 y ahora para sacar esta entrada tenemos que multiplicar la primera fila por la segunda columna 1 por 0 0 + 2 por menos 3 menos 6 ahora vamos con esta entrada que está en la primera columna y segunda fila segunda fila y primera columna y nos queda menos 3 por menos 2 más menos 4 por 0 6 y finalmente la última entrada tomamos la segunda y la segunda columna y nos queda menos 3 por 0 más menos 4 por menos 3 12 y ahora vamos a ver qué pasa pero si los multiplicamos con otro orden aunque entonces por aquí primero a la matriz morada menos 200 menos 3 y multiplicamos de este lado esta otra matriz qué es la matriz 12 menos tres menos cuatro y eso pues nos va a dar otra matriz de dos por dos entonces a ver primera entrada tenemos que multiplicar esta fila por esta columna nos queda 1 pero menos 2 - 2 + 0 por menos tres menos dos y mira hasta ahorita con lo que llevamos si nos están quedando parecidas claro que llevamos una entrada de cuatro no deberíamos emocionarnos tanto ahora vamos con esta entrada que es la primera fila y la segunda columna menos dos por dos menos cuatro más cero por menos cuatro entonces nos queda simplemente un -4 y mira ya nos quedaron distintas estas dos matrices porque aquí tenemos un -4 y aquí tenemos un -6 entonces este es un ejemplo de dos matrices que si las multiplicamos con cierto orden nos queda una matriz pero que si cambiamos el orden en el que las estamos multiplicando a otra matriz así es que no siempre sucede eso de que la multiplicación de las matrices sea conmutativa ok no sucede el orden de la multiplicación de dos matrices es muy importante pero bueno hay que terminar de hacer esta multiplicación solo para no dejarla inconclusa entonces esta entrada es la primera columna y segunda fila 1 por 0 0 menos tres por menos 3 es un 9 mira también son distintas en esta entrada y finalmente última fila por última columna 2 por 0 0 menos tres por menos 4 12 así es que aquí tenemos un ejemplo donde la multiplicación de dos matrices está definida sin importar el orden en el que los estemos multiplicando o sea si ponemos primero la verdad y luego la morada o primero la morada y luego laver de la multiplicación si está definida pero no son iguales y entonces este es un ejemplo que muestra que la multiplicación entre matrices no es conmutativa