If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:7:59

Transcripción del video

cuando estaba aprendiendo a multiplicar hace muchos muchos años seguramente te encontraste con esta noción de que uno por x es igual a ese mismo x lo cual tiene muchísimo sentido no o sea si tomamos uno de esta cosa pues simplemente nos queda esta cosa ahora sí estamos en un ambiente de aritmética y nos fijamos en este número este número tiene una propiedad muy importante y justo a esta propiedad de que cualquier número por este número es ese mismo número le llamamos la propiedad de identidad de la multiplicación propiedad pie de identidad y en ti dap y ahora que estamos trabajando tanto con las matrices pues nos podemos preguntar si existe alguna matriz que cumpla con esta propiedad o sea a ver para ser más claro vamos a preguntarnos si existe una matriz y tal que si lo multiplicamos por alguna otra matriz por ejemplo una matriz a nos quede exactamente la misma matriz donde esta multiplicación es la multiplicación clásica entre dos matrices y para tener esto de una forma más concreta vamos a ver un ejemplo digamos por ejemplo que tenemos aquí que la matriz a una matriz de 3 x 3 y que sus entradas son 1 2 3 4 5 6 7 8 y 9 y te recomiendo que le pongas una pausa el video y traté de encontrar cómo tendría que ser esta matriz para que se dé esta ecuación por ejemplo puedes empezar por pensar qué dimensiones debería de tener esta matriz pero bueno voy a pensar que yale si usted pausa y existe un montón de cosas para el tratado encontrar esta matriz y entonces pues vamos a empezar por copiar esta matriz y ponerla por aquí y sabemos que queremos multiplicar a esta matriz por la matriz y y además que la multiplicación de estas dos matrices va a ser exactamente igual a la matriz a entonces vamos a multiplicar a la matriz y por una matriz que tiene tres pilas y tres volúmenes y además lo que nos va a quedar es una matriz que tiene tres pilas y tres columnas ahora para que la multiplicación entre estas dos matrices esté bien definida esta matriz tiene que tener el mismo número de columnas que el número de filas que tiene esta matriz para poder hacer este vector producto punto con este vector si no no podríamos multiplicar estos dos matrices entonces sabemos que el número de columnas de esta matriz tiene que ser tres por otro lado también sabemos que el resultado de estas dos multiplicaciones es una matriz que tiene tres pilas y que además el número de pilas que tiene la matriz resultante de la multiplicación es determinado por el número de pilas que tiene esta matriz entonces pues para que esta matriz tenga tres pilas esta matriz tiene que tener tres pilas y bueno el número de columnas que tiene esta matriz es determinado por el número de columnas que tiene esta matriz de aquí que hay entonces para hacer esta multiplicación y que nos lleve esto estos dos números tienen que ser exactamente iguales y el número de filas de esta matriz es igual al número de pilas del resultado y el número de columnas de esta matriz es igual al número de columnas del rey ahora que más sabemos acerca de todo esto pues sabemos cuánto tiene que valer el resultado de estas multiplicaciones o sea tiene que ser esta matriz 1 2 3 4 5 6 7 8 y 9 y además sabemos que éste uno de aquí lo obtenemos multiplicando ésta y la de esta matriz por esta columna de esta matriz que y para obtener este uno tenemos que multiplicar uno por alguna cosa por aquí nada más este 4 por alguna otra cosa por aquí más siete por alguna otra cosa y el resultado de esa multiplicación es una que ya estamos haciendo el producto punto entre la primera y la de la matriz y y la primera columna de la matriz a y eso nos da la entrada 11 de la matriz del producto ahora también podemos pensar en esto de una forma tal vez un poquito ingenua y decir 'bueno si queremos que el producto punto entre estos dos vectores sea igual a uno porque no en esta pila de aquí hacemos que el uno x uno y que el 4 y el 7 se multipliquen por cero y entonces a la hora de hacer producto punto entre esta fila y esta columna para obtener esta entrada lo que nos queda es uno por uno a uno por uno nada cero por 4 + 0 por 7 y eso sí es igual a 1 entonces por lo menos para esta entrada así funciona nuestra simple idea pero pues tenemos que checar que funcione para el resto de las entradas no entonces vamos a ver qué pasa si hacemos el producto punto entre esta columna y esta fila lo que vamos a obtener es esta entrada cierto porque estamos en la primera fila por la segunda columna entonces obtenemos están graba y pues nos quedan dos por uno o dos nadas 0 por 5 +0 por ocho o sea que si nos quedan dos y lo mismo pasa con esta última entrada de la primera fila o sea nos queda 3 por 1 3 +0 por seis nacer o por 9 y eso sí es simplemente el 3 que estábamos buscando pero bueno nuestro recorrido no termina aquí ahora qué pasa con la segunda y la de la matriz pues la segunda y la de la matriz y va a tener mucho que ver con cuánto vale la segunda fila de la matriz producto ahora vamos a ver qué tenemos que poner en esta fila está chile producto punto con esta columna lo que nos va a dar es esta entrada y si te fijas esta entrada es la entrada en medio de esta columna entonces nos queremos es hacer de estos dos valores y para hacer eso pues vamos a multiplicar este vector por el vector 010 y entonces nos queda 1 x 0 01 por 440 por siete entonces en total nos queda cuatro que es justo lo que queríamos y funciona igual para el resto de estas entradas o sea al multiplicar esta y la por esta columna que es lo que nos va a dar esta entrada lo que nos queda es 2001 por 5 5 +0 por 8 y entonces nos queda simplemente el 5 y funciona exactamente igual para esta entrada bueno entonces tenemos una última y en la que tenemos que descifrar y le ayuda a determinar qué valores toman estas entradas para obtener esta entrada tenemos que hacer el producto de esta pyle por esta columna y si lo que queremos es quedarnos con el 7 pues simplemente necesitamos con el 0 0 y 1 y entonces el producto punto de esta fila por esta columna 0 x 1 +0 por cuatro más uno por 7 y termina siendo 7 y fácilmente puedes ver que el producto de esta fila por esta columna es simplemente un 8 y el producto de esta fila por esta columna es el 9 entonces así de fácilmente hemos construido una matriz que tenga esta propiedad de identidad que si lo multiplicamos por esta matriz nos queda exactamente la matriz a ahora en realidad aquí en lugar de la matriz a pudo haber puesto cualquier otra matriz y hubiéramos obtenido el mismo resultado o sea en serio si ponemos aquí cualquier matriz y la multiplicamos por esta matriz nos queda esa matriz que pusimos aquí originalmente entonces la matriz identidad de tres por tres es la matriz 10 0 0 10 y 0 0 1 que iba a saber cuándo construyas más matrices de identidad de distintas dimensiones que todas tienen exactamente la misma estructura por ejemplo la matriz identidad pero de 4x4 la matriz 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 y por ejemplo la matriz identidad de dos por dos simplemente 1001 que todas tienen exactamente la misma estructura que es simplemente tomar una matriz cuadrada de las dimensiones correctas poner puros unos en la diagonal y puro ceros en todas las demás entradas y que es lo importante y bonito acerca de las matrices identidad pues es eso la propiedad que si las multiplicamos por alguna otra matriz nos queda esa otra matriz bueno ya ahora te voy a proponer que hagas algo cuando termine este video y es averiguar qué pasa cuando estamos multiplicando por la matriz y pero en este orden hemos visto en algunos vídeos que el orden en el que multiplicamos en las matrices sí importa entonces la pregunta es qué pasa con esta multiplicación será igual a la matriz