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Utilizar las matrices identidad y cero

Resolvemos un problema en el cual hay que determinar si una matriz desconocida es cero o la identidad para que una ecuación sea verdadera. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

tenemos aquí una ecuación de matrices tenemos por aquí una matriz a que está multiplicando a esta matriz nada una matriz b por esta otra matriz más una matriz c por esto y resulta que esta suma es igual a esta matriz de dos por dos ok esto es un acertijo y además tenemos una pista que es que cada una de estas matrices abc o es una matriz identidad o es una matriz cero ok como las que acabamos de ver bueno entonces veamos yo creo que lo más fácil es ir entrada por entrada así es que como le vamos a hacer para obtener por aquí un número dos a ver estas matrices abc pueden ser o la matriz identidad o la matriz 0 si alguna de estas fuera la matriz identidad entonces cuando hacemos la multiplicación de estas dos matrices lo que nos queda es simplemente esta matriz y por otro lado si una de estas matrices es la matriz 0 pues lo que nos queda de esta multiplicación es simplemente otra matriz 0 que pues a la hora de sumar las entradas pues vamos a estar sumando 0 entonces es como si desapareciera esta matriz de la ecuación entonces pues como tenemos aquí un 2 sabemos que queremos sumar únicamente dos de estas matrices así es que dos matrices van a ser la matriz identidad y otra de esas matrices va a ser la matriz cero que podría ser una de esas identidades y entonces tendríamos que sumar ésta entrada y se podría ser otra de esas matrices identidades y entonces estaríamos sumando esta entrada y pues nos queda uno más uno dos y bueno eso nos podría hacer creer que las matrices que tienen que ser la identidad son las matrices b y c y la matriz a tiene que ser cero sin embargo si ponemos que cese a la matriz cero esta matriz desaparece de la ecuación y la matriz a es la matriz identidad entonces también tenemos que sumar esta entrada y también nos queda 1 más 1 igualados así es que todavía no tenemos suficiente información como para saber cuáles son las matrices identidad y cuáles son los matrices 0 ahora todavía tenemos otras tres entradas que nos pueden dar información entonces vamos a ver qué nos dice esta entrada ok cómo le vamos a hacer para que la suma de estas matrices tenga un 4 en esta entrada a ver vamos a ver pongamos que la matriz a y la matriz b son matrices identidad y la matriz ce es una matriz 0 entonces después tenemos la identidad por esta matriz nos queda simplemente esta matriz luego la identidad por esta matriz y nos queda simplemente esta matriz y finalmente un 0 por esta matriz así es que esto se convierte en una matriz de puros ceros y entonces cuando sumamos estas entradas para poder obtener esta entrada nos queda tres menos cinco menos dos que es distinto de cuatro cierto entonces estas dos matrices a y b no pueden ser la matriz identidad y c la matriz 0 así es que tenemos que tratar con otro a ver vamos a ver qué tal que la matriz de y la matriz se son las matrices identidad y la matriz a es la matriz 0 entonces esta multiplicación se convierte en la matriz 0 y para obtener esta entrada tenemos que sumar esta entrada con esta entrada y nos queda menos 4 pero pues el menos 4 tampoco es igual al 4 así es que este escenario tampoco nos sirve y ahora si el único escenario que nos queda es cuando esta es la matriz identidad está también esa identidad y esta es la matriz 0 entonces hay que checar si eso sí hace que estas entradas sumen esto y pues si no 3 más 14 bueno entonces parece que estamos cerca parece ser que éstas tienen que ser la matriz identidad y está la matriz 0 pero pues tenemos que verificar este resultado entonces a ver estamos diciendo que la matriz a la matriz identidad y que la matriz c es la matriz identidad y que la matriz b es la matriz 0000 entonces veamos a ver si tenemos la matriz identidad y la multiplicamos por esta matriz nos queda la matriz 1 3 4 - 2 luego tenemos que sumarle una matriz que es pura ceros por otra matriz que termina siendo la matriz de puros ceros de tamaño 2 por 2 que si se la sumamos a esta matriz pues nos queda simplemente esta matriz entonces vamos por aquí tenemos la matriz identidad por esta matriz que nos queda simplemente esta matriz que 11 32 y si hacemos esta suma nos queda 1 1 2 3 1 4437 y menos dos más dos es un 0 así es que si es igual a la matriz a la que queríamos que fuera igual entonces a ese tiene que ser la matriz identidad y b tiene que ser la matriz 0