Representar sistemas de ecuaciones con matrices

Me encanta analizar el mismo  problema de diferentes maneras. Por ejemplo, si tuviera un sistema de  tres ecuaciones con tres incógnitas,   déjame inventar uno,  3x - 2y - z = -1, esa es una ecuación. Y en  tres dimensiones, esto representaría un plano. Y luego tengo otra, 2x + 5y + z = 0. Eso representaría otro plano. Ahora, si tuviéramos dos planos no paralelos,  se intersecarían entre sí y formarían una recta. Pero si tuviéramos un tercer plano, vamos a escribirlo -4x - y = 8,  entonces es posible, aunque  no siempre va a ser el caso,   de que todos ellos se intersequen en  exactamente una coordenada x, y, z. Ahora, en otros videos ya hemos hablado sobre  cómo resolver sistemas de ecuaciones como este,   con tres ecuaciones y tres incógnitas. Pero lo que quiero hacer en este video  es relacionar esta idea con la noción   de matrices y multiplicación de matrices,  que ya también hemos visto en otros videos. Así que podemos pensar en este mismo  problema de la siguiente manera.   Tomemos todos los coeficientes y creemos  una matriz de tres por tres con ellos. Vamos a hacerlo. Por ejemplo, tomaremos todos  los coeficientes para x, un 3, un 2 y un -4,   y los pondremos en esta primera  columna aquí, 3, 2 y -4. Después hacemos lo mismo con todos los  coeficientes y, - 2, 5 y -1. - 2, 5 y -1. Y por último, pero no por eso menos  importante, todos los coeficientes z,   un -1, un +1 y luego, implícitamente  tenemos 0z por aquí. No se puede ver.  Así que sería -1, +1 y luego un 0. Así que estos son los coeficientes para x en   púrpura, para y en amarillo y en  color salmón para z justo aquí. Ahora bien, vamos a multiplicar esta matriz por  un vector desconocido x, y y z, y lo vamos a   igualar a un segundo vector tridimensional,  que sí conocemos, y que es -1, 0 y 8. Y sé que estás pensando en un montón de  cosas en este momento. Piensas: “Sal,   esto parece algo mágico. Acabas de tomar los  coeficientes, y poner las x, y, z por aquí,   y después colocaste lo que está a la derecha  del signo de igual, es decir, los lados que   no tienen las variables en él, por acá. ¿Tiene  realmente sentido todo esto? ¿Funciona realmente?” Y para validar esto, vamos a multiplicar  el lado izquierdo de esta ecuación. En otros videos, hemos hablado de cómo multiplicar  una matriz de tres por tres, en este caso, por   una matriz de tres por uno. Esto nos va a dar una  matriz de tres por uno. Así que eso ya se ve bien. Y sabemos que estos dos tienen  que coincidir en orden para   que la multiplicación pueda estar definida. Entonces, las dimensiones del  producto van a ser tres por uno. Pero vamos a multiplicar todo esto. Para empezar,   solo vamos a centrarnos en el lado izquierdo  y una forma de construirla es tomar esta fila   y esta columna y luego tomar la suma del  producto de los términos correspondientes. Así que esto va a ser 3 veces x, que es 3x, menos  2 veces y, -2y, menos 1 vez z, -1z. Justo así. Y luego, para obtener la siguiente vamos a tomar  toda esta fila y multiplicarla por esta columna. Así que va a ser 2 veces x, y  esto es solo un repaso de cómo   multiplicar matrices, más 5 veces  y, más 5y, más 1 vez z, más 1z. Y luego, por último pero no por eso menos  importante, si tomamos esta fila y esta   columna obtenemos -4 veces x, -4x, menos 1 vez y,  –y, y luego 0 veces z, que podría o no escribirlo. Vamos a escribirlo para que  todo quede claro. Y así,   el producto de lo que tenemos en  el lado izquierdo es esto de aquí. Cuidado, podría parecer una matriz de tres por  tres, pero en realidad es un vector de tres por   uno por aquí, ya que si tenemos algún valor para  x, y y z, esto se va a evaluar a un cierto número. Del mismo modo, esto se va a evaluar a algún otro  número, y esto se va a evaluar a otro número. Y sabemos, de esta ecuación de una matriz  por un vector que hemos establecido,   que esto, el lado izquierdo, este  producto, tiene que ser igual a lo   que tenemos en el lado derecho. Tiene que ser igual a -1, 0 y 8. Lo que significa, y creo que  ya empieza a tener sentido,   que esto tiene que ser igual a eso,  y que esto tiene que ser igual a eso,   y por último pero no menos importante,  -4x - y + 0z tiene que ser igual a ocho,   que es exactamente lo que ese sistema  original de ecuaciones nos estaba diciendo. Ahora, es probable que estén rondando algunas  preguntas por tu cabeza. Una de las preguntas es:   “bueno, todo eso está muy bien, has encontrado  una forma diferente de representar este sistema,   pero ¿esto es una nueva forma de resolverlo?”. Y la respuesta que te daré por ahora es que sí,   esto nos llevará a una nueva forma  de resolverlo. Porque si lo piensas,   estamos tomando el producto de una matriz  y un vector aquí para obtener otro vector. Si existe alguna manera de desenrollar  la multiplicación de esta matriz,   entonces podríamos hacerlo, porque después  podríamos aplicarlo a este vector de la derecha,   y luego hallar este vector desconocido de aquí. Y esta es la forma en que, por ejemplo,  las computadoras, utilizando un montón   de algoritmos, tratan de resolver problemas  como este, representándolos como matrices. Ahora, otro aspecto interesante de  la representación en sí es que te   hace pensar este problema de  una forma un poco diferente. Podrías ver esto como tres planos en  tres dimensiones y la coordenada x,   y, z como el punto en donde se podrían intersecar,   o podrías ver esta matriz de tres por tres aquí  como una matriz de transformación que se le está   aplicando a este otro vector tridimensional  desconocido, y bajo esta transformación del   vector tridimensional desconocido obtenemos  este vector tridimensional conocido, - 1, 0 y 8. Así la pregunta para resolver esto sería:   ¿podemos hacer una transformación inversa en el  lado derecho para hallar este vector desconocido? Así que te dejaré por aquí, continuaremos con  este tipo de razonamiento en futuros videos.