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Usar matrices para transformar un vector 4D

Las matrices de 4X4 pueden definir transformaciones del espacio 4D. En este ejemplo trabajado, vemos cómo encontrar la imagen de un vector 4D dado bajo la transformación definida por una matriz dada. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

Ya hemos estudiado bastante cómo una matriz de  transformación de 2 x 2 puede mapear cualquier   punto en el plano coordenado en cualquier otro  punto, o cualquier vector bidimensional en   cualquier otro vector bidimensional. Y lo que  vamos a hacer en este video es generalizar un   poco y darnos cuenta de que los mismos principios  se pueden utilizar para espacios de dimensión n.   Ahora, sé que esto suena un poco sofisticado, y  en cierta forma lo es, aunque realmente son las   mismas ideas. Así que, por ejemplo, extendamos  lo que conocemos sobre dos dimensiones a cuatro   dimensiones, entonces vamos a escribir un vector  de cuatro dimensiones por aquí. Y, bueno, sé que   es difícil visualizar cuatro dimensiones, así que  no seas duro contigo si tienes problemas con ello.   Visualizar dos dimensiones no es tan difícil, tres  dimensiones tampoco, pero cuatro dimensiones es   mucho más difícil de visualizar, tal vez tengamos  que pensar en el tiempo como la cuarta dimensión; pero en el mundo de las matrices, o en el mundo  de los vectores, es bastante fácil representarlos   aún cuando es difícil visualizarlos. Entonces,  en un vector de cuatro dimensiones simplemente   tendremos cuatro números, veamos: -1, -3, sólo  estoy poniendo números al azar, -5 y 1. Éste es un   vector de cuatro dimensiones, y podemos verlo como  la suma ponderada de los vectores unitarios en las   diferentes dimensiones de un espacio de cuatro  dimensiones. Supongo que podemos decirlo de esta   forma, jajaja. Es decir, esto es lo mismo que, de hecho,  hacemos un código de color, esto es lo mismo que:   -1 por el vector [1, 0, 0, 0] + -3 por el vector  [0, 1, 0, 0] + -5 por el vector [0, 0, 1, 0] -y   creo que ahora puedes ver el patrón-. Por último,  pero no por eso menos importante, tenemos +1 por   el vector [0, 0, 0, 1]. Ahora, al escribirlo  de esta forma, es posible que empieces a darte   cuenta de inmediato y digas "Oh, creo que sé cómo  hacer transformaciones por aquí". Por ejemplo,   si te diera la siguiente matriz de transformación,  y esta será una matriz de transformación en cuatro   dimensiones, por lo tanto, será una matriz de 4 x  4, y anotaré algunos números al azar por aquí: 1,   0, -3, -1, 2, 0, -3, 1, 3, 2, 0, 2, 3, -1, 0 y 3.  Entonces, mi pregunta para ti es: ¿cuál será el   mapeo de este vector de cuatro dimensiones cuando  le apliquemos esta transformación al espacio   de cuatro dimensiones?, ¿cuál será el resultado?  Pausa el video y piénsalo. Bueno, es completamente   análogo a lo que hemos realizado en el mundo de 2  x 2, en un espacio bidimensional. Hemos dicho que   en lugar del vector unitario [1, 0, 0, 0] usaremos  este vector; en lugar del vector unitario [0, 1,   0, 0] usaremos este otro vector; en lugar del  vector unitario de color verde azul [0, 0, 1,   0] usaremos este otro vector, y por último, pero  no por eso menos importante, en lugar del vector   unitario [0, 0, 0, 1] usaremos este otro vector.  Ahora bien, otra forma de pensar en esto es que   el mapeo de nuestro vector original [-1, -3, -5,  1] será este vector prima, y ¿en qué se mapea   después de aplicar la transformación? Bueno, será  -1, y en lugar de escribir este vector unitario,   lo multiplicaremos por la primera columna de la  matriz de transformación, así que será: -1 [1, 2,   3, 3], y después, en lugar de más -3, escribiremos  sólo -3 por la segunda columna: [0, 0, 2, -1];   después tenemos -5 [-3, -3, 0, 0] (puedes observar  que más dimensiones implican un poco más de   trabajo que hacer); más 1 por esta cuarta columna:  [-1, 1, 2, 3]. Entonces ¿a qué será igual esto? De   hecho, creo que es buen momento para que de nuevo  pauses este video y lo intentes por tu cuenta.   Bueno, esto será igual a, y en esta primera  parte sólo tenemos que hacer negativas todas   estas entradas: [-1, -2, -3, -3], y a eso le  sumaremos... Y veamos, si multiplicamos cada   entrada por -3 obtendremos: [0, 0, -6 y 3];  y si después multiplicamos todo esto por -5   obtendremos: [15, 15, 0, 0]; y por último si  multiplico todo esto por 1, bueno, simplemente   obtendremos todo esto sin cambio alguno: [-1, 1,  2, 3], y llegamos a la recta final. Ahora podemos   sumar todos los términos correspondientes,  eso será igual a: -1 + 0 + 15 - 1,   que es lo mismo que 15 - 2 que es igual a 13;  después tenemos -2 + 0 + 15 + 1 esto es 16 - 2,   lo cual es 14; después tenemos -3 - 6, que es  -9 + 0 + 2, es decir, -9 + 2 lo que nos da -7;   y por último tenemos -3 + 3, eso es 0 + 0 es 0  + 3 es 3. Y lo logramos, encontramos el mapeo de   este vector de cuatro dimensiones basado en esta  matriz de transformación de 4 x 4. Es genial.